m08-37

Манна – Уитни и φ* – угловое преобразование Фишера. Рассмотрим критерий G.

G – критерий знаков

Назначение критерия G

Критерий знаков G предназначен для установления общего направления сдвига исследуемого признака.

Он позволяет установить, в какую сторону в выборке в целом изменяются значения признака при переходе от первого измерения ко второму: изменяются ли показатели в сторону улучшения, повышения или усиления или, наоборот, в сторону ухудшения, понижения или ослабления.

Описание критерия G

Критерий знаков применим и к тем сдвигам, которые можно определить лишь качественно (например, изменение отрицательного отношения к чему-либо на положительное), так и к тем сдвигам, которые могут быть измерены количественно (например, сокращение времени работы над заданием после экспериментального воздействия).

Во втором случае, однако, если сдвиги варьируют в достаточно широком диапазоне, лучше применять критерий Т Вилкоксона. Он учитывает не только направление, но и интенсивность сдвигов и может оказаться более мощным в определении достоверности сдвигов, чем критерий знаков.

Для начала мы назовем сдвиги, которые нам кажутся преобладающими, типичными сдвигами, а сдвиги более редкого, противоположного направления, нетипичными. Если значения показателя повышаются у большего количества испытуемых, то этот сдвиг мы будем считать типичным. Если мы исследуем отношение испытуемых к какому-либо событию или предложению, и после экспериментальных воздействии у большинства испытуемых отрицательное отношение сменилось на положительное, то этот сдвиг мы назовем типичным.

Суть критерия знаков состоит в том, что он определяет, не слишком ли много наблюдается «нетипичных сдвигов», чтобы сдвиг в «типичном» направлении считать преобладающим. Ясно, что чем меньше «нетипичных сдвигов», тем более вероятно, что преобладание «типичного» сдвига является преобладающим. Gэмп – это количество «нетипичных» сдвигов. Чем меньше Gэмп, тем более вероятно, что сдвиг в «типичном» направлении статистически достоверен.

Гипотезы:

Н0: Преобладание типичного направления сдвига является случай-

ным.

H1: Преобладание типичного направления сдвига не является случайным.

31

Ограничения критерия знаков

Количество наблюдений в обоих замерах – не менее 5 и не более 300.

Алгоритм расчета G критерия знаков

1.Подсчитать количество нулевых реакций и исключить их из рассмотрения. В результате п уменьшится на количество нулевых реакций.

2.Определить преобладающее направление изменений. Считать сдвиги в преобладающем направлении «типичными».

3.Определить количество «нетипичных» сдвигов. Считать это число эмпирическим значением G.

4.По таблице III приложения 1 определить критические значения G для данного п.

5.Сопоставить Gэмп с Gкр. Если Gэмп меньше Gкр или, по крайней мере, равен ему, сдвиг в типичную сторону может считаться достоверным.

Пример

Проводилось исследование, в котором студенты ранжировали терминальные ценности по методике М. Рокича. В результате были получены иерархии терминальных ценностей на 1-м курсе. Затем был реализован формирующий эксперимент, направленный на повышение значимости ценностей «познание», «развитие», «возможность творчества», после которого вновь было проведено ранжирование терминальных ценностей у этих же студентов. По результатам последнего ранжирования значимость данных ценностей у некоторых студентов возросла, но является ли этот сдвиг неслучайным – неизвестно.

Сформулируем гипотезы:

Н0: преобладание типичного направления сдвига рангов терминальных ценностей является случайным.

Н1: преобладание типичного направления сдвига рангов терминальных ценностей не является случайным.

Представим результаты эксперимента в следующей таблице.

Результаты ранжирования терминальных ценностей до и после эксперимента

32

Уменьшение ранга рассматривается как положительный сдвиг, так как это означает повышение значимости данной ценности.

Рассчитаем значение G критерия для каждой ценности для того, чтобы определить случайность сдвига. Для этого подсчитаем количество положительных, отрицательных и нулевых сдвигов по рангу каждой ценности. Это необходимо для выявления «типичных» знаков изменения оценок.

Ценность «познание»: положительных сдвигов – 9; отрицательных сдвигов – 2; нулевых сдвигов – 6.

Таким образом, типичный сдвиг – положительный. Нетипичных сдвигов – 2. Значит, Gэмп = 2. Нулевые значения мы не рассматриваем. Поэтому n = 9 + 2 = 11. По таблице критических значений для критерия G рассматриваем значение при n = 11.

2(ρ ≤ 0,05 ) G кр = 1(ρ ≤ 0,01)

Gэмп = Gкр (ρ ≤ 0,05). Н0 отвергается. Принимается Н1: преобладание типичного направления сдвига рангов ценности «познание» не является случайным.

Ценность «развитие»: положительных сдвигов – 7; отрицательных сдвигов – 3; нулевых сдвигов – 7.

Нулевые сдвиги не рассматриваются, следовательно, n = 10. Типичный сдвиг – положительный. Gэмп = 3. По таблице критических значений сравним Gэмп = 3 с Gкр при n = 10.

1(ρ ≤ 0,05 ) G кр = 0(ρ ≤ 0,01)

Gэмп > Gкр. Принимается Н0: преобладание типичного направления сдвига рангов ценности «развитие» после экспериментальной программы является случайным.

Ценность «возможность творчества»: положительных сдвигов – 8;

33

отрицательных сдвигов – 4; нулевых сдвигов – 5.

Нулевые сдвиги не принимаются в расчет, следовательно, n = 12. Исходя из числа положительных сдвигов – это типичный сдвиг. Gэмп – это число нетипичных сдвигов – 4. По таблице критических значений сравним

Gэмп = 4 с Gкр при n = 12.

2(ρ ≤ 0,05 ) Gкр = 1(ρ ≤ 0,01)

Gэмп > Gкр. Принимается Н0: преобладание типичного направления сдвига рангов ценности «возможность творчества» после экспериментальной программы является случайным.

L – критерий тенденций Пейджа

Назначение L – критерия тенденций

Критерий L Пейджа применяется для сопоставления показателей, измеренных в трех и более условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Критерий позволяет выявить тенденции в изменении величин признака при переходе от условия к условию. Его можно рассматривать как продолжение теста Фридмана, поскольку он не только констатирует различия, но и указывает на направление изменений.

Описание критерия тенденций L

Критерий позволяет проверить наши предположения об определенной возрастной или ситуативно обусловленной динамике тех или иных признаков. Он позволяет объединить несколько произведенных замеров единой гипотезой о тенденции изменения значений признака при переходе от замера к замеру. Если бы не его ограничения, критерий был бы незаменим в «продольных», или лонгитюдных, исследованиях.

К сожалению, имеющиеся таблицы критических значений рассчитаны только на небольшую выборку (n ≤ 12) и ограниченное количество сопоставляемых замеров (с < 6). В случае, если эти ограничения не выполняются, приходится использовать критерий χ² Фридмана.

В критерии L применяется ранжирование условий по каждому испытуемому. Если испытуемый в первом опыте допустил 17 ошибок, во втором – 12, а в третьем – 5, то 1-й ранг получает третье условие, 2-й ранг – второе, а 3-й ранг – первое условие. После того, как значения всех испытуемых будут проранжированы, подсчитываются суммы рангов по каждому условию. Затем все условия располагаются в порядке возрастания ранговых сумм: на первом месте слева окажется условие с меньшей ранговой суммой, за ним – условие со следующей по величине ранговой суммой, и т.д., пока справа не окажется условие с самой большой ранговой суммой.

34

Далее мы с помощью специальной формулы подсчета L проверяем, действительно ли значения возрастают слева направо.

Ограничения критерия Пейджа

1.Нижний порог – 2 испытуемых, каждый из которых прошел не менее 3-х замеров в разных условиях. Верхний порог – 12 испытуемых и 6 условий (n ≤ 12, с ≤ 6). Критические значения критерия L предусматривают три уровня статистической значимости: ρ ≤ 0,05; ρ ≤ 0,01; ρ ≤ 0,001.

2.Необходимым условием применения критерия является упорядоченность столбцов данных: слева должен располагаться столбец с наименьшей ранговой суммой показателей, справа – с наибольшей. Можно просто пронумеровать заново все столбцы, а потом вести расчеты не слева направо, а по номерам, но так легче запутаться.

Алгоритм подсчета критерия тенденций L Пейджа

1.Проранжировать индивидуальные значения первого испытуемого, полученные им в 1-м, 2-м, 3-м и т. д. замерах. При этом первым может быть любой испытуемый, например, первый по алфавиту имен.

2.Проделать то же самое по отношению ко всем другим испытуе-

мым.

3.Просуммировать ранги по условиям, в которых осуществлялись замеры. Проверить совпадение общей суммы рангов с расчетной суммой.

4.Расположить все условия в порядке возрастания их ранговых сумм

втаблице.

5.Определить эмпирическое значение L по формуле:

L= ∑(Тj j) ,

где Tj – сумма рангов по данному условию;

j – порядковый номер, приписанный данному условию в упорядоченной последовательности условий.

6. По табл. IV приложения 1 определить критические значения L для данного количества испытуемых п и данного количества условий с. Если Lэмп равен критическому значению или превышает его, тенденция достоверна.

Пример

В эксперименте по решению трех анаграмм приняли участие 5 испытуемых. Анаграммы должны были быть подобраны таким образом, чтобы уровень сложности возрастал. В таблице показатели времени решения анаграмм и их ранги представлены уже в упорядоченной последовательности: анаграмма 1, анаграмма 3, анаграмма 2. Действительно ли время решения увеличивается при такой последовательности предъявления анаграмм?

35

Lэмп > Lкр, следовательно Н0 отклоняется. Принимается Н1: тенденция увеличения индивидуальных показателей от первого условия к третьему не является случайной (ρ < 0,01).

3.3. Многофункциональные статистические критерии

Понятие многофункциональных критериев

Многофункциональные статистические критерии – это критерии, которые могут использоваться по отношению к самым разнообразным данным, выборкам и задачам.

Это означает, что данные могут быть представлены в любой шкале, начиная от номинативной (шкалы наименований).

Это означает также, что выборки могут быть как независимыми, так

и«связанными», то есть мы можем с помощью многофункциональных критериев сравнивать и разные выборки испытуемых, и показатели одной

итой же выборки, измеренные в разных условиях. Нижние границы выборок – 5 наблюдений, но возможно применение критериев и по отношению к выборкам с п = 2, с некоторыми оговорками.

Верхняя граница выборок задана только в биномиальном критерии – 50 человек. В критерии φ* Фишера верхней границы не существует – выборки могут быть сколь угодно большими.

Многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значениях исследуемого признака и сравнения распределений.

Кчислу многофункциональных критериев в полной мере относится критерий φ* Фишера (угловое преобразование Фишера) и, с некоторыми оговорками, – биномиальный критерий m.

Многофункциональные критерии построены на сопоставлении долей, выраженных в долях единицы или в процентах. Суть критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений (реакций, выборов, испытуемых) в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом и какая доля этим эффектом не характеризуется.

Таким эффектом может быть:

а) определенное значение качественно определяемого признака – например, выражение согласия с каким-либо предложением; выбор правой дорожки из двух симметричных дорожек; отнесенность к определенному полу; присутствие фигуры отца в раннем воспоминании и др.;

б) определенный уровень количественно измеряемого признака, например, получение оценки, превосходящей проходной балл; решение задачи менее чем за 20 с; факт работы в команде, по численности превышающей 4-х человек; выбор дистанции в разговоре, превышающей 50 см, и др.;

37

в) определенное соотношение значений или уровней исследуемого признака, например, более частый выбор альтернатив А и Б по сравнению с альтернативами В и Г; преимущественное проявление крайних значений признака, как самых высоких, так и самых низких; преобладание положительных сдвигов над отрицательными и др.

Итак, путем сведения любых данных к альтернативной шкале «Есть эффект – нет эффекта» многофункциональные критерии позволяют решать все три задачи сопоставлений – сравнения «уровней», оценки «сдвигов» и сравнения распределений.

Критерий φ* применяется в тех случаях, когда обследованы две выборки испытуемых, биномиальный критерий m – в тех случаях, когда обследована лишь одна выборка испытуемых.

Критерий φ* – угловое преобразование Фишера

Назначение критерия φ*

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта.

Описание критерия

Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект. Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол φ, а меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь не линейные. При увеличении расхождения между углами φ1 и φ2 и увеличении численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина φ*, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

Н0: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

H1: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

Ограничения критерия φ*

1.Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равной нулю. Формально нет препятствий для применения метода φ в случаях, когда доля наблюдений в одной из выборок равна 0. Однако в этих случаях результат может оказаться неоправданно завышенным.

2.Верхний предел в критерии φ отсутствует – выборки могут быть сколь угодно большими.

Нижний предел – 2 наблюдения в одной из выборок. Однако должны соблюдаться следующие соотношения в численности двух выборок:

38

а) если в одной выборке всего 2 наблюдения, то во второй должно быть не менее 30: n1 = 2 → n2 ≥ 30;

б) если в одной из выборок всего 3 наблюдения, то во второй должно быть не менее 7: n1 = 3 → n2 ≥ 7;

в) если в одной из выборок всего 4 наблюдения, то во второй должно быть не менее 5: n1 = 4 → n2 ≥ 5;

г) при n1, n2 ≥ 5 возможны любые сопоставления.

В принципе возможно и сопоставление выборок, не отвечающих этому условию, например, с соотношением n1 = 2; n2 = 15; но в этих случаях не удастся выявить достоверных различий.

Других ограничений у критерия φ* нет.

Возможно несколько вариантов применения критерия φ*:

1)сопоставление выборок по качественно определяемому признаку;

2)сопоставление выборок по количественно измеряемому признаку;

3)сопоставление выборок и по уровню, и по распределению признака;

4)использование критерия φ* в сочетании с критерием λ Колмогорова – Смирнова в целях достижения максимально точного результата.

Алгоритм расчета критерия φ*

1.Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого «есть эффект» и тех, у кого «нет эффекта». Если признак измерен количественно, использовать критерий λ для поиска оптимальной точки разделения.

2.Начертить четырехклеточную таблицу из двух столбцов и двух строк. Первый столбец – «есть эффект»; второй столбец – «нет эффекта»; первая строка сверху – 1 группа (выборка); вторая строка – 2 группа (выборка).

3.Подсчитать количество испытуемых в первой группе, у которых «есть эффект», и занести это число в левую верхнюю ячейку таблицы.

4.Подсчитать количество испытуемых в первой выборке, у которых «нет эффекта», и занести это число в правую верхнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум верхним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых в первой группе.

5.Подсчитать количество испытуемых во второй группе, у которых «есть эффект», и занести это число в левую нижнюю ячейку таблицы.

6.Подсчитать количество испытуемых во второй выборке, у которых «нет эффекта», и занести это число в правую нижнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум нижним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых во второй группе (выборке).

7.Определить процентные доли испытуемых, у которых «есть эффект», путем отнесения их количества к общему количеству испытуемых в данной группе (выборке). Записать полученные процентные доли соответственно в левой верхней и левой нижней ячейках таблицы в скобках, что-

39

бы не перепутать их с абсолютными значениями.

8.Проверить, не равняется ли одна из сопоставляемых процентных

долей нулю. Если это так, попробовать изменить это, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону1. Если это невозможно или нежелательно, отказаться от критерия φ* и использовать критерий χ2.

9.Определить по табл. V приложения 1 величины углов φ для каждой из сопоставляемых процентных долей.

10.Подсчитать эмпирическое значение φ* по формуле:

где: φ1 – угол, соответствующий большей % доле; φ2 – угол, соответствующий меньшей % доле; n1 – количество наблюдений в выборке 1;

n 2 – количество наблюдений в выборке 2.

11. Сопоставить полученное значение φ* с критическими значениями:

Если φ*эмп ≥ φ*кр, Н0 отвергается. При необходимости определить точный уровень значимости полученного φ*эмп по Табл. VI Приложения 1.

Рассмотрим первый вариант применения критерия – сопоставление выборок по качественно определяемому признаку 2.

В данном варианте использования критерия мы сравниваем процент испытуемых в одной выборке, характеризующихся каким-либо качеством, с процентом испытуемых в другой выборке, характеризующихся тем же качеством.

Пример

Допустим, нас интересует, различаются ли две группы студентов по успешности решения новой экспериментальной задачи. В первой группе из 20 человек с ней справились 12 человек, а во второй выборке из 25 человек – 10. В первом случае процентная доля решивших задачу составит 12 / 20 · 100 % = 60 %, а во второй 10 / 25 · 100 % = 40 %. Дос-

товерно ли различаются эти процентные доли при данных n1 и n 2 ? Казалось бы, и «на глаз» можно определить, что 60 % значительно

выше 40 %. Однако на самом деле эти различия при данных n1 и n 2 недостоверны.

1Для 2–4 вариантов применения критерия.

2Другие варианты применения критерия φ* см.: Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии / Е.В. Сидоренко. – СПб. : Речь, 2003. – 350 с.

40