Вища математика1 / metod_matem_1
.pdfV. Обчислити площу трикутника АВС, якщо дано координати його вершин
1. |
А(1;0;1), B(2;1;0), C(3;2;1) |
16. |
А(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;2;-1) |
2. |
А(1;1;0), B(1;2;0), C(0;1;2) |
17. |
А(2;2;2), B(1;3;3), C(1;3;2) |
3. |
А(1;2;0), B(2;1;0), C(2;1;1) |
18. |
А(1;2;-1), B(0;1;3), C(1;2;1) |
4. |
А(2;3;0), B(1;2;0), C(1;1;1) |
19. |
А(2;1;-3), B(2;1;-2), C(3;2;1) |
5. |
А(1;0;1), B(0;1;1), C(1;1;0) |
20. |
А(1;2;1), B(2;3;2), C(1;0;1) |
6. |
А(2;1;1), B(1;0;2), C(2;2;1) |
21. |
А(1;2;-2), B(-1;1;-2), C(1;1;-1) |
7. |
А(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) |
22. |
А(1;2;-2), B(2;1;-3), C(3;0;-2) |
8. |
А(1;1;1), B(2;2;2), C(3;0;3) |
23. |
А(1;2;1), B(3;-1;1), C(2;1;1) |
9. |
А(1;0;1), B(2;1;0), C(1;2;0) |
24. |
А(2;-1;2), B(2;1;-1), C(2;2;-1) |
10. |
А(1;1;1), B(2;1;1), C(1;3;1) |
25. |
А(3;2;0), B(4;1;2), C(3;0;2) |
11. |
А(2;1;1), B(3;0;1), C(2;-1;3) |
26. |
А(1;3;2), B(1;2;3), C(3;2;1) |
12. |
А(1;1;-2), B(2;0;-1), C(1;1;0) |
27. |
А(2;-3;1), B(1;-3;1), C(2;-1;3) |
13. |
А(2;1;2), B(3;0;3), C(1;1;2) |
28. |
А(1;2;-2), B(2;2;-3), C(2;0;-4) |
14. |
А(0;1;-2), B(1;3;-1), C(3;3;0) |
29. |
А(1;-1;2), B(2;0;4), C(3;1;4) |
15. |
А(0;0;1), B(2;2;1), C(0;2;3) |
30. |
А(2;1;-1), B(3;1;0), C(0;1;3) |
VI. Обчислити об’єм трикутної піраміди АВСD, якщо дано координати її вершин
1.A(0;2;-1), B(1;2;3), C(3;-1;2), D(0;2;1)
2.А(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;1), D(0;1;1)
3.А(0;1;3), B(2;3;0), C(1;0;1), D(0;0;1)
4.A(1;1;1), B(0;0;-1), C(2;3;-1), D(1;3;1)
5.А(4;1;1), B(2;1;1), C(5;3;1), D(0;0;2)
6.A(-1;-1;0), B(0;1;2), C(3;3;2), D(3;2;2)
7.A(-1;1;2), B(0;-1;0), C(2;-1;3), D(0;1;1)
- 41 -
8.А(1;1;2), B(-2;1;0), C(4;0;-1), D(1;2;1)
9.A(-1;1;2), B(3;-3;4), C(1;0;6), D(0;0;3)
10.A(-2;0;3), B(0;-3;2), C(-1;1;1), D(1;2;1)
11.A(-1;1;4),B(3;3;-2), C(1;-2;1), D(2;2;1)
12.A(2;-1;2), B(3;3;4), C(4;2;6), D(3;2;1)
13.A(1;-2;0), B(1;4;0), C(-2;1;1), D(0;2;0)
14.А(2;0;2), B(4;1;3), C(4;3;2), D(0;1;0)
15.A(1;2;2), B(2;1;2), C(-3;0;6), D(0;2;0)
16.A(5;0;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4), D(0;2;-1)
17.A(0;1;-1), B(1;1;3), C(2;-1;2), D(3;2;1)
18.А(1;-1;0), B(0;2;2), C(1;0;2), D(0;1;2)
19.А(0;3;3), B(2;3;0), C(1;1;1), D(0;2;1)
20.A(1;0;1), B(0;0;-1), C(2;1;-1), D(1;3;1)
21.А(4;1;1), B(3;1;1), C(5;3;1), D(4;0;2)
22.A(-1;1;0), B(0;1;2), C(3;2;2), D(3;0;2)
23.A(-1;1;2), B(0;0;0), C(2;-1;3), D(0;3;1)
24.А(1;1;0), B(-2;1;0), C(0;0;-1), D(1;2;1)
25.A(0;1;2), B(3;3;4), C(1;0;6), D(0;0;3)
26.A(-2;-1;3), B(0;-3;2), C(-1;1;1), D(1;2;3)
27.A(-1;1;-2),B(3;3;-2), C(1;-2;1), D(2;2;-1)
28.A(1;-1;2), B(3;3;3), C(4;2;5), D(3;2;2)
29.A(1;-2;2), B(1;4;1), C(-2;1;1), D(0;2;4)
30.А(2;0;0), B(4;1;2), C(4;3;2), D(0;1;1)
VII. Знайти рівняння площини, що проходить через точки А та В паралельно вектору a
1. |
A(2;1;0), |
B(3;2;1), a(1;2;3) |
3. |
A(2;1;0), |
B(2;1;1), a(1;1;1) |
2. |
A(1;2;0), |
B(0;1;2), a(0;0;1) |
4. |
A(1;2;0), |
B(1;1;1), a(0;5;0) |
- 42 -
5.A(0;1;1), B(1;1;0), a(2;1;2)
6.A(1;0;2), B(2;2;1), a(3;2;1)
7.A(0;1;0), B(0;0;1), a(1;1;0)
8.A(2;2;2), B(3;0;3), a(1;1;0)
9.A(2;1;0), B(1;2;0), a(1;3;1)
10.A(2;1;1), B(1;3;1), a(1;1;4)
11.A(3;0;1), B(2;−1;3), a(0;2;0)
12.A(2;0;−1), B(1;1;0), a(2;3;0)
13.A(3;0;3), B(1;1;2), a(1;2;3)
18.A(0;1;3), B(1;2;1), a(2;−1;−1)
19.A(2;1;−2), B(3;2;1), a(2;2;−3)
20.A(2;3;2), B(1;0;1), a(0;3;2)
21.A(−1;1;−2), B(1;1;−1), a(2;3;0)
22.A(2;1;−3), B(3;0;−2), a(3;2;1)
23.A(3;−1;1), B(2;1;1), a(2;1;3)
24.A(2;1;−1), B(2;2;−1), a(0;1;2)
25.A(4;1;2), B(3;0;2), a(4;3;2)
26.A(1;2;3), B(3;2;1), a(2;1;4)
14.A(1;3;−1), B(3;3;0), a(1;2;−2) 27. A(1;−3;1), B(2;−1;3), a(2;−1;4)
15.A(2;2;1), B(0;2;3), a(1;1;2) 28. A(2;2;−3), B(2;0;−4), a(1;3;−2)
16. |
A(2;1;−1), B(1;2;−1), a(1;−1;−3) |
29. |
A(2;0;4), B(3;1;4), a(1;2;4) |
17. |
A(1;3;3), B(1;3;2), a(0;2;3) |
30. |
A(3;1;0), B(0;1;3), a(2;−1;1) |
VIII. Обчислити кут між двома прямими
|
x -1 |
|
y +1 |
|
z - 6 |
|
ì x = -t + 7 |
|||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|||||||||||
1. |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
та |
íy = 3t -10 . |
||
3 |
|
|
-1 |
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î z = 2t -1 |
||
|
|
|
|
|
|
y +12 |
|
|
|
|
ì x = -t + 4 |
|||||
|
x -11 = |
|
|
= z + 6 |
|
ï |
|
|||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
та |
íy = -2t -1. |
||||||||
-1 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
ï |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î z = t -13 |
||
|
|
|
|
y +1 |
|
|
|
|
|
ìx = -3t + 5 |
||||||
3. |
x -8 |
= |
|
= |
|
z |
|
та |
ï |
y = t - 2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
||||||||
|
|
2 |
|
|
-1 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
z = t - 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
||
- 43 -
4. x4 = y-+19 = z -5 2
5. x 4+ 8 = y-+17 = z -3 3
6. x -11 = y + 7 = z 1 3 5
7.x 5- 4 = y-+15 = z -1 2
8.x 0+ 6 = y-+11 = z -3 3
9.x -3 7 = y 2+ 8 = z 3-1
10.x--22 = y-+12 = z 1-1
11.x--23 = y-+11 = z -2 4
12.x -11 = y-+1 = z - 6 4 1 1
|
ì |
x = 2t |
|
та |
ï |
|
-1. |
íy = 4t |
|||
|
ï |
|
|
|
îz = t -15 |
||
|
ìx = -3t + 3 |
||
та |
ï |
|
|
í y = -t -1 . |
|||
|
ï |
|
- 21 |
|
îz = 4t |
||
|
ì x = t + 5 |
||
та |
ï |
|
|
í y = -t - 8 . |
|||
|
ï |
|
|
|
îz = -2t - 5 |
||
|
ìx = -2t + 7 |
||
та |
ï |
|
-10 . |
íy = 2t |
|||
|
ï |
z = 2 |
|
|
î |
||
|
ìx = -4t +1 |
||
та |
ï |
y = t |
-1 . |
í |
|||
|
ï |
|
-12 |
|
îz = 2t |
||
|
ìx = -5t + 2 |
||
та |
ï |
|
|
í y = 2t - 5 . |
|||
|
ï |
|
-11 |
|
î z = 3t |
||
|
ì x = -t + 6 |
||
та |
ï |
|
-12 . |
íy = 4t |
|||
|
ï |
|
- 7 |
|
î z = 3t |
||
|
ìx = -2t + 3 |
||
та |
ï |
y = t |
- 4 . |
í |
|||
|
ï |
|
|
|
î z = 2t -1 |
||
|
ìx = -4t + 7 |
||
та |
ï |
|
|
í y = -5t -1 . |
|||
|
ï |
|
|
|
îz = -2t + 3 |
||
- 44 -
13.x 3-1 = -y1 = z -3 6
14.x 1+ 7 = y-+11 = z -1 3
15.x - 5 = y + 5 = z - 6 3 - 2 -1
16. x - 5 = y + 5 = z-- 8 3 2 1
17.x +2 2 = y-+13 = z -4 4
18.x--12 = y-+13 = z 2-1
19.x + 5 = y-+ 8 = z-- 4 1 1 4
20.x-+25 = y-−14 = z -2 3
21.x 0+ 6 = y-+17 = 1z
|
ìx = -3t + 7 |
|
та |
ï |
y = t - 3 . |
í |
||
|
ï |
z = t -1 |
|
î |
|
|
ìx = -2t + 4 |
|
та |
ï |
y = t - 4 . |
í |
||
|
ï |
|
|
î z = -t -1 |
|
|
ìx = -t +1 |
|
та |
ï |
|
íy = 3t -1. |
||
|
ï |
|
|
î z = t - 2 |
|
|
ìx = -3t + 6 |
|
та |
ï |
y = t -1 . |
í |
||
|
ï |
z = t - 4 |
|
î |
|
|
ìx = -4t +1 |
|
та |
ï |
|
í y = 2t - 3 . |
||
|
ï |
z = t -1 |
|
î |
|
|
ì x = t + 9 |
|
та |
ï |
|
í y = t -1 . |
||
|
ï |
|
|
îz = 2t -1 |
|
|
ìx = -2t +1 |
|
та |
ï |
y = t - 3 . |
í |
||
|
ï |
|
|
îz = -2t -1 |
|
|
ìx = 3t +1 |
|
та |
ï |
y = 3t . |
í |
||
|
ï |
|
|
îz = 2t - 4 |
|
|
ì x = -4t |
|
та |
ï |
y = 3 . |
í |
||
|
ï |
|
|
îz = 2t +1 |
|
- 45 -
22.x 0+ 6 = y-+17 = 1z
23.x -1 = y-+ 3 = z--1 2 1 1
24. x -11 = y + 7 = z - 2 - 2 -1 4
25. x - 3 = y-+1 = z-- 8 1 1 1
26.x--31 = y-+14 = z -3 3
27.x 4- 5 = y-+32 = z 2-1
28.x -1 = y-+ 3 = z--1 2 1 1
29.x +3 4 = y-+23 = z -1 2
30.x - 5 = y +1 = z - 4 3 - 2 -1
|
ìx = -3t + 7 |
||
та |
ï |
y = 3t -1 . |
|
í |
|||
|
ï |
z = t |
-1 |
|
î |
||
|
ìx = -2t + 7 |
||
та |
ï |
|
-10 . |
íy = 2t |
|||
|
ï |
z = t -11 |
|
|
î |
||
|
ìx = 3t +1 |
||
та |
ï |
|
- 5. |
íy = 5t |
|||
|
ï |
|
-1 |
|
îz = 6t |
||
|
ìx = -2t + 5 |
||
та |
ï |
y = t |
- 7 . |
í |
|||
|
ï |
|
|
|
î z = -t -1 |
||
|
ìx = -2t + 7 |
||
та |
ï |
|
|
í y = 2t - 5 . |
|||
|
ï |
|
|
|
î z = -t -1 |
||
|
ì x = t + 2 |
||
та |
ï |
|
|
í y = -t - 3 . |
|||
|
ï |
|
|
|
îz = -2t + 4 |
||
|
ìx = -2t +1 |
||
та |
ï |
y = t |
-1 . |
í |
|||
|
ï |
|
- 5 |
|
î z = 2t |
||
|
ìx = -t + 3 |
||
та |
ï |
|
|
í y = t - 2 . |
|||
|
ï |
|
-1 |
|
î z = 3t |
||
|
ìx = -3t +1 |
||
та |
ï |
|
-12 . |
íy = -t |
|||
|
ï |
|
|
|
î z = -t - 8 |
||
- 46 -
IX. Знайти точку перетину площини та прямої
1.2x − 3y + z − 5 = 0 ,
2.x + 2y − z + 3 = 0,
3.3x − y − z +1 = 0 ,
4.2x + y + 3z − 4 = 0 ,
5.x − y + z + 2 = 0,
6.x − 2y − 3z + 2 = 0 ,
7.3x − y + z +1 = 0,
8.x − y − z +1 = 0,
9.2x − 2y + 3z −1 = 0,
10.3x − y − 2z +1 = 0 ,
11.x − y + 3z +1 = 0,
12.x + 2y + z + 2 = 0,
13.x + y + z = 0 ,
14.x − y + 2z + 2 = 0 ,
15.x + 2y − 3z = 0 ,
x 2−1 = y−+12 = 2z . x1 = y−+11 = z−−11.
x2−1 = y−+13 = z−−11. x −3 2 = −y2 = z 2−1. x +1 = y−+22 = z −1 2 . −x2 = y−+13 = z − 2.
x −3 2 = −y − 2 = z−+12 . x 2−1 = −y1 = z−−11 . x−−21 = y−+11 = z −2 3 . x 0−1 = y−+11 = z . x−+31 = 2y = z −1.
x2 = −y1 = z −2 3 .
x3−1 = y−+11 = z −0 6 . x 0+ 6 = y−+11 = z −3 3 . x4 = y−+13 = z −2 2 .
- 47 -
16.3x + 2y − z − 2 = 0,
17.2x + y + z −1 = 0,
18.2x − 2y − 3z − 5 = 0,
19.x + y − z + 4 = 0,
20.x + y + 2z +1 = 0,
21.x + 2y + 2z − 2 = 0 ,
22.x − y + 2z + 3 = 0 ,
23.2x − 2y − 3z − 5 = 0,
24.2x − y − 3z −1 = 0,
25.x + 2y − z −1 = 0 ,
26.x + y − 3z − 3 = 0 ,
27.x + y + 3z +1 = 0,
28.3x + 2y − 2z = 0 ,
29.x − 2y − z + 3 = 0 ,
30.2x + y + 2z − 2 = 0 ,
x −1 = y 3+ 3 = 2z . x − 3 = y2+1 = −z1.
x−−11 = y−+11 = z − 2 .
x − 2 |
= |
|
y + 2 |
|
|
= |
|
z |
. |
|
||
|
−1 |
|
|
|||||||||
−1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
x − 2 |
= |
y + 2 |
= z −1. |
|||||||||
−1 |
||||||||||||
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x − 2 |
|
= |
y + 2 |
|
= |
z −1 |
. |
|||||
3 |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
||||||
x 3−1 = −y1 = z 3−1 . x +2 2 = y−+13 = z−−11.
x − 3 |
= |
|
|
|
y +1 |
= |
|
z − 2 |
. |
|||||||
− 2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x +1 |
= |
y − 2 |
|
= z − 3. |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
− 2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
x +1 = |
y +1 |
= |
z − 3 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x − 2 |
= |
y + 3 |
= z −1. |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
x−−11 = y−+11 = z − 2 . x3 = y−+22 = −z1.
x 1+ 2 = −y1 = z−−31 .
- 48 -
X. Знайти віддаль між двома паралельними площинами
1. |
|
x + y − 3z − 3 = 0 |
та |
x + y − 3z − 3 = 0 . |
||
2. |
|
x + 2y − z −1 = 0 |
та |
x + 2y − z −1 = 0 . |
||
3. |
|
x − y + 2z + 3 = 0 |
та |
x − y + 2z + 3 = 0 . |
||
4. |
|
3x |
+ 2y − 2z = 0 |
та |
3x |
+ 2y − 2z = 0 . |
5. |
2x − 2y − 3z − 5 = 0 |
та |
2x − 2y − 3z − 5 = 0. |
|||
6. |
|
x + 2y + 2z − 2 = 0 |
та |
x + 2y + 2z − 2 = 0 . |
||
7. |
2x + y + 2z − 2 = 0 |
та |
2x + y + 2z − 2 = 0 . |
|||
8. |
2x − y − 3z −1 = 0 |
та |
2x − y − 3z −1 = 0. |
|||
9. |
|
x + y + 3z +1 = 0 |
та |
x + y + 3z +1 = 0. |
||
10. |
x − 2y − z + 3 = 0 |
та |
x − 2y − z + 3 = 0 . |
|||
11. |
x − y + z + 2 = 0 |
та |
x − y + z + 2 = 0. |
|||
12. |
x − 2y − 3z + 2 = 0 |
та |
x − 2y − 3z + 2 = 0 . |
|||
13. |
x + 2y − z + 3 = 0 |
та |
x + 2y − z + 3 = 0 . |
|||
14. |
x − y − z +1 = 0 |
та |
x − y − z +1 = 0. |
|||
15. |
3x |
− y − z +1 = 0 |
та |
3x |
− y − z +1 = 0 . |
|
16. |
3x |
− y − 2z +1 = 0 |
та |
3x |
− y − 2z +1 = 0 . |
|
17. |
2x − 3y + z − 5 = 0 |
та |
2x − 3y + z − 5 = 0 . |
|||
18. |
3x |
− y + z +1 = 0 |
та |
3x |
− y + z +1 = 0. |
|
19. |
2x + y + 3z − 4 = 0 |
та |
2x + y + 3z − 4 = 0 . |
|||
20. |
2x − 2y + 3z −1 = 0 |
та |
2x − 2y + 3z −1 = 0. |
|||
21. |
3x |
+ 2y − z − 2 = 0 |
та |
3x |
+ 2y − z − 2 = 0. |
|
22. |
x − y + 2z + 2 = 0 |
та |
x − y + 2z + 2 = 0 . |
|||
23. |
2x − 2y − 3z − 5 = 0 |
та |
2x − 2y − 3z − 5 = 0. |
|||
24. |
x + 2y − 3z = 0 |
та |
x + 2y − 3z = 0 . |
|||
- 49 -
25. |
x − y + 3z +1 = 0 |
та |
x − y + 3z +1 = 0. |
26. |
x + y + 2z +1 = 0 |
та |
x + y + 2z +1 = 0. |
27. |
x + 2y + z + 2 = 0 |
та |
x + 2y + z + 2 = 0. |
28. |
x + y + z = 0 |
та |
x + y + z = 0 . |
29. |
2x + y + z −1 = 0 |
та |
2x + y + z −1 = 0 . |
30. |
x + y − z + 4 = 0 |
та |
x + y − z + 4 = 0. |
ЛІТЕРАТУРА
1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
М., Наука, 1974.
2.Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2005.
3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1980.
4.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Наука, 1971.
5.Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1. М., Высшая школа, 1967.
6.Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ленинград, изд. ЛГУ, 1977.
7.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1999.
8.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1972.
9.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1971.
10.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.
11.Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1978.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.,
Наука, 1972.
-50 -