Вища математика1 / metod_matem_1

з допомогою яких дана система записується у вигляді AX = B. Матриця А називається основною матрицею системи, В таХ містять її вільні члени та невідомі. Нехай D = det(A) ¹ 0 , тоді існує обернена матриця A−1 і

розв’язок системи у матричному виді дається формулою X = A−1B. Це – матричний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. З нього випливають формули Крамера

x1 = D1 , x2 = D2 ,K,xn = Dn ,

що дають розв’язок даної системи у скалярному вигляді. В цих формулах j (j =1,2,Kn) – визначники, що одержуються з шляхом заміни його j-

того стовбця на матрицю вільних членів В.

Нарешті розглянемо систему m рівнянь з n невідомими

Випишемо основну матрицю цієї системи

- 11 -

Виписуємо розширену матрицю системи, після чого множимо послідовно всі елементи першого її рядка на − 2, − 3, −1 та додаємо до відповідних елементів другого, третього та четвертого рядків. Викреслюємо третій рядок, що має всі елементи пропорційні відповідним елементам другого. Міняємо всі знаки елементів другого рядка на протилежні і нарешті ділимо всі елементи четвертого рядка на 3 та ставимо

- 13 -

Ця система має безліч розв’язків. Вважаючи значення x4 довільним,

маємо, починаючи з останнього зівняння

x3 = 3 − 2x4 , x2 = 2x3 + 2x4 − 2 = 4 − 2x4 , 2x1 = 5 + x2 - 3x3 - 4x4 = 0, x1 = 0.

Відповідь. x1 = 0, x2 = 4 − 2x4 , x3 = 3 − 2x4 , x4 − довільне.

6. Геометричні вектори та прямокутна декартова система координат. Поділ відрізка у даному відношенні

Геометричним вектором називається направлений відрізок у просторі, він позначається символом a . Якщо точки А та В є відповідно початком та кінцем вектора a , то для нього використовують також позначення AB. Довжина вектора a називається його модулем і позначається символом a . Нульовий вектор 0 – це вектор, у якого

початок і кінець співпадають. Два вектори a та b називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину і направлені в одну сторону. Два вектори a та b називаються колінеарними, якщо вони розміщені на одній або на паралельних прямих. Три вектори a , b , c називаються компланарними, якщо вони розміщені на одній або на паралельних

- 14 -

позначати символом ПрUa .

Розглянемо три взаємно перпендикулярні одиничні вектори i, j,k

(i = j = k =1) і помістимо їх початки в одну точку О. Через цю точку та вектори i, j,k проведемо числові осі OX, OY, OZ відповідно. Таким чином буде побудована система відліку, що називається прямокутною декартовою системою координат у просторі. Вектори i, j,k утворюють

базис множини всіх векторів у просторі. При цьому довільний вектор a з цієї множини можна записати у вигляді

a = (a x i + a y j + az k) = (ax ;a y ;az ) ,

що називається розкладом вектора a по базису i, j,k . Числа ax ,a y ,az

називаються координатами a в базисі i, j,k , вони є проекціями a на числові осі OX, OY, OZ відповідно. Координати довільної точки М

розглядаються як координати вектора OM . Точка M(x;y;z) ділить відрізок

M1M2 (M1 = M1(x1;y1;z1), M2 = M2 (x2 ;y2 ;z2 ))

у відношенні λ, якщо M1M = λMM2 . При цьому

Приклад. Знайти точку, що ділить відрізок АВ у відношенні 2:3, якщо

A = A(2;−1;4), B = B(0;1;−2) .

- 15 -

В цьому випадку l = 23 і тому згідно з наведеними формулами маємо

Отже точка M(65 ;- 15;85) ділить даний відрізок у відношенні 2:3.

7. Скалярний добуток двох векторів

Нехай маємо два вектори a = (a x ;a y ;az ), b = (bx ;by ;bz ) .

Скалярним добутком цих векторів називається число a × b = ab cosa , де α – кут між векторами a і b, a Î[0;p]. В прямокутній декартовій системі координат a × b = a x bx + a yby + azbz .

Застосування скалярного добутку

1) Необхідна та достатня умова перпендикулярності двох векторів a × b = 0

2) Обчислення кута α між двома векторами a і b cosa = aa×bb , α [0;π]

3) Обчислення проекції вектора a на напрямок b

Прb a = ab× b

Приклад. Точки A(3, 2, − 3), B(5,1, −1),C(1, − 2,1) є вершинами трикутника. Знайти величину його внутрішнього кута при вершині А.

- 16 -

Позначимо шуканий кут, що є кутом між векторами AB = (2, -1, 2) та

звідки a = arccos 94 .

8. Векторний добуток двох векторів

Застосування векторного добутку

1) Необхідна та достатня умова колінеарності двох векторів a ´ b = 0 ,

- 17 -

або, що те саме, a = lb , де λ – деяке дійсне число.

2)Нехай Sa,b – площа паралелограма, побудованого на векторах a , b як на сторонах, при умові, що початки a , b розміщені в одній точці. Тоді

Sa,b = a ´ b .

В частинному випадку, коли А, В, С – вершини трикутника з площею

SABC , то

= -12i - 24j + 8k = (-12, - 24,8) = 4 × (-3, - 6, 2).

Тепер обчислюємо площу SABC даного трикутника

SABC = 12 AB´ AC = 12 × 49 + 36 + 4 = 14 .

9. Мішаний добуток трьох векторів

Нехай маємо три вектори

a = (a x ;a y ;az ), b = (bx ;by ;bz ), c = (cx ;cy ;cz )

в просторі, де введена прямокутна декартова система координат. Їх мішаним добутком називається число

(a, b,c)= (a ´ b)× c ,

- 18 -

що в декартових координатах обчислюється за формулою

Застосування мішаного добутку

1) Необхідна та достатня умова компланарності трьох векторів

(a, b,c)= 0

2) Нехай Va,b,c – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a , b ,

В частинному випадку, коли А, В, С, D – вершини трикутної піраміди з об’ємом VABCD , то

VABCD = 16 (AB, AC, AD).

Приклад. Обчислити об’єм VABCD трикутної піраміди з вершинами

A(1,1, 2), B(2,3, −1), C(2,− 2, 4), D(−1,1,3).

Знаходимо вектори, що лежать на ребрах даної піраміди та мають спільний початок в одній із її вершин (наприклад, А)

AB = (1, 2, − 3), AC = (1, − 3, 2), AD = (−2, 0,1).

Тепер обчислюємо їх мішаний добуток

- 19 -