Paly_I_A__Prikladnaya_statistika_Uchebnoe_po

деклараций за 1967 год.

а) Найти Q , ~ , Q для каждой выборки и объяснить результаты.

1 x 3

б) Подобрать разумные правые границы для последних интервалов, вычислить x и S для каждой выборки и объяснить результаты

21. Построить кривую Лоренца и найти коэффициент Джини для следующих данных:

22. Построить кривую Лоренца и найти коэффициент Джини для следующих данных:

3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Музыку я разъял, как труп. Поверил я алгеброй гармонию.

А. Пушкин. Моцарт и Сальери

3.1. ДВУМЕРНЫЕ ВЫБОРКИ

До сих пор мы считали, что генеральная совокупность Х – одномерная случайная величина. В результате эксперимента такая случайная величина принимает одно значение – х. Но генеральная совокупность может быть и многомерной случайной величиной. Здесь мы ограничимся случаем двумерных случайных величин (Х, Y). Составляющие двумерного вектора

– случайные величины Х и Y - могут быть как зависимыми, так и независимыми. Значения двумерной случайной величины (Х, Y) – это упорядоченные пары чисел (x, y). Выборка объема n из двумерной генеральной совокупности - это набор из n упорядоченных пар (xi,уi), i = =1,2,...,n. Такие выборки называются двумерными. Рассмотрим несколько примеров.

1. Генеральная совокупность (X, Y) – это множество предложений русского языка. Случайная величина Х – число слов в предложении. Случайная величина Y - число букв в предложении. Ниже приводится текст из 10 предложений - отрывок из рассказа А.П. Чехова «Анна на шее». После каждого предложения в скобках указано количество слов (xi) и количество букв (yi) в данном предложении. Пробелы здесь не учитываются.

«Поехали на бал. (3,12) Вот и дворянское собрание, и подъезд со швейцаром. (8,41) Передняя с вешалками, шубы, снующие лакеи и декольтированные дамы, закрывающиеся веерами от сквозного ветра; пахнет светильным газом и солдатами. (19,122) Когда Аня, идя вверх по лестнице под руку с мужем, услышала музыку и увидела в громадном зеркале всю себя, освещенную множеством огней, то в душе ее проснулась радость и то самое предчувствие счастья, какое испытывала она в лунный вечер на полустанке. (41,203) Она шла гордая, самоуверенная, в первый раз чувствуя себя не девочкой, а дамой, и невольно походкою и манерами подражая своей покойной матери. (22,106) И в первый раз в жизни она чувствовала себя богатой и свободной. (12,52) Даже присутствие мужа не стесняло ее, так как, перейдя порог собрания, она уже угадала инстинктом, что близость старого мужа нисколько не унижает ее, а, наоборот, кладет на нее печать пикантной таинственности, которая так нравится мужчинам.

(35,197) В большом зале уже гремел оркестр, и начались танцы. (9,42) После казенной квартиры, охваченная впечатлениями света, пестроты, музыки, шума, Аня окинула взглядом залу и подумала: «Ах, как хорошо!» и сразу отличила в толпе всех своих знакомых, всех, кого она раньше отличала на вечерах и гуляньях, всех этих офицеров, учителей, адвокатов, чиновников, помещиков, его сиятельство, Артынова и дам высшего общества, разодетых, сильно декольтированных, красивых и безобразных, которые уже занимали свои позиции в избушках и павильонах благотворительного базара, чтобы начать торговлю в пользу бедных. (72,43) Громадный офицер в эполетах - она познакомилась с ним на Старо-Киевской улице, когда была гимназисткой, а теперь не помнила его фамилии – точно из-под земли вырос и пригласил ее на вальс, и она отлетела от мужа, и ей уже казалось, будто она плыла на парусной лодке, в сильную бурю, а муж остался далеко на берегу.» (53,247)

В табличном виде выборка выглядит так:

2. Из большого мешка, содержащего монеты одинакового достоинства, случайным образом отобраны 10 монет. Каждая монета была взвешена, и для каждой определен ее возраст:

3.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ

ВЫБОРОК — ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ

Графическое представление одномерной выборки – это гистограмма. Двумерные выборки удобно представлять с помощью так называемых диаграмм рассеяния. Каждый элемент двумерной выборки представляется точкой на плоскости с координатами (xi, yi), i = 1,2,…,n. Диаграммы рассеяния, представляющие двумерные выборки из наших примеров, приведены на рис.3.1 – 3.3.

На рис. 3.1 хорошо видно, что точки на диаграмме рассеяния группируются относительно некоторой прямой, причем чем больше слов в предложении, тем больше в нем букв. В таком случае говорят, что между числом слов и числом букв в предложении существует положительная линейная корреляция (слово “корреляция” означает связь). Во втором случае (см. рис. 3.2) хорошо заметна отрицательная линейная корреляция между массой монеты и ее возрастом. Точки на третьей диаграмме рассеяния (см. рис. 3.3) расположены хаотически. Следует допустить отсутствие связи между числом очков, выпавшим на первом кубике, и числом очков, выпавшим на втором. Другими словами разумно предположить, что случайные величины Х и Y- числа очков, выпавшие на первом и втором кубике соответственно, независимы.

Монеты

y

2,88

x=-348,84y+999,4

2,76

Рис. 3.2

Рис. 3.3

3.3. ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ — ЧИСЛОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДВУМЕРНОЙ ВЫБОРКИ

В теории вероятностей числовой мерой линейной связи между случайными величинами Х и Y служит коэффициент корреляции ρ(Х,Y), определяемый по формуле

ρ =M(XY) −MX) M(Y)

(X,Y) σ(X) σ(Y) .

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1.Если X и Y независимы, то ρ(Х,Y) = 0.

2.| ρ(Х,Y) | ≤ 1.

3.| ρ(Х,Y) | = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b.

В математической статистике аналогом является выборочный коэффициент корреляции r, определяемый по формуле

Нетрудно убедиться в следующих свойствах выборочного коэффициента корреляции:

1.| r | ≤ 1.

2.| r |= 1 тогда и только тогда, когда точки (xi, yi) лежат на одной

прямой.

3.Если точки (xi, yi) расположены на диаграмме рассеяния хаотически, то значение r весьма близко к нулю. Значение r может оказаться близким к нулю и в случае группировки точек относительно некоторой кривой, например, параболы.

Вычислим значение выборочного коэффициента корреляции для наших трех случаев. Для удобства будем использовать таблицы.

Пример с текстом (табл. 3.1).

Это значение весьма близко к единице. Число букв и число слов в предложении почти линейно зависят друг от друга.

Пример с монетами (табл. 3.2)

r = 75,353−27,2 2,787 = -0,83 . 15,13 0,036

Такое значение r указывает на достаточно сильную отрицательную линейную зависимость между возрастом монеты и ее массой.

Пример с кубиками (табл. 3.3).

r = 12,9 − 4 3,3 = -0,07 2,05 2,1

Такое маленькое значение r указывает на отсутствие связи между результатами бросаний кубиков, что соответствует интуитивному представлению о независимости бросаний.

и назовем его выборочной ковариацией.

3.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Обратимся к примеру с текстом. На рис. 3.1 хорошо видно, что точки (хi, уi) группируются около прямой. Естественным образом возникает задача подбора уравнения этой прямой. Например, для того, чтобы предсказать, сколько примерно букв будет содержать предложение с заданным количеством слов, можно подобрать два уравнения:

y = ax + b (независимая переменная - число слов, функция – число букв);

x = cy + d (независимая переменная - число букв, функция – число слов).

Каждое из таких уравнений называется уравнением регрессии. (Слово “прогресс” означает развитие, движение вперед, слово “регресс” означает упрощение, движение назад). В случае уравнения y = ax + b говорят о регрессии y на x; в случае уравнения x = cy + d говорят о регрессии x на y.

В нашем примере каждая из переменных, как x, так и y, может быть объявлена независимой. Возможны ситуации, когда независимая переменная определяется однозначно. Например, можно исследовать растворимость некоторого вещества (переменная y) в зависимости от температуры растворителя (переменная x). Здесь x – независимая переменная, ее значение можно установить заранее, а y – статистически зависимая переменная. Исследуется только зависимость y от x.

Допустим, мы хотим подобрать коэффициенты уравнения y = ax + b так, чтобы это уравнение наилучшим образом соответствовало экспериментальным данным (xi, yi); i = 1,2,…,n. Но ведь понятие

«наилучшим образом» не является строгим. Между точками на рис. 3.1 можно провести бесконечно много «хороших» прямых. Какая же из них «лучшая»?

Общепринятым способом определения неизвестных коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов, разработанный А. Лежандром (1806 ) и К. Гауссом (1821 ). Идея метода наименьших квадратов такова. Пусть нужно подобрать неизвестные коэффициенты a1, a2,…,ak уравнения регрессии y = f(a1,a2,...,ak, х). Рассмотрим экспериментальную точку (xi,yi) и вычислим отклонение ординаты уi точки от теоретического значения f(a1,a2,...,ak, хi) (рис.3.4).

Рис. 3.4

di= уi – f(a1,a2,...,ak, хi) , i = l,2,...,n.

Неизвестные значения a1,a2,...,ak подберем из условия минимизации суммы квадратов отклонений di:

Необходимое (здесь и достаточное) условие существования экстремума функции нескольких переменных − равенство нулю всех частных производных.

система из k уравнений для определения k неизвестных чисел a1,a2,...,ak. Составим эту систему и решим ее в случае линейного уравнения

регрессии. Нужно определить два неизвестных коэффициента а и b уравнения прямой y = ax + b. Имеем