9. 2. Сложение перпендикулярных колебаний.

9. 2. 1. Сложение перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу. Пусть первое колебание направлено горизонтально вдоль оси , а второе – вертикально вдоль оси. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного из колебаний была равна нулю. При таком условии колебания можно записать так:

(9.14)

и

,

(9.15)

где величина представляет разность фаз обоих колебаний. Первое уравнение можно переписать так:

(9.16)

тогда как второе после преобразования по формуле суммы косинусов двух углов принимает вид

(9.17)

Заменим в уравнении (9.17) значения тригонометрических выражений согласно (9.16) ии получаем:

или

(9.18)

Возводя обе части уравнения (9.18) в квадрат и учитывая, что , получим:

.

(9.19)

Уравнение (9.19) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат (см. рис. 9. 4 а). При ,эллипс вырождается в прямую ( рис.9. 4. б,в и г)

	(9.20)
Рисунок 9. 4.

При разности фаз между колебаниями  оси эллипса совпадают с осями координат ( рис. 9. 4 в ).

9. 2. 2. Сложение перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу.

Если частоты складываемых колебаний отличаются друг от друга, то форма кривой, которую описывает радиус-вектор суммарного колебания становится очень сложной и зависит от соотношения складываемых частот. Для некоторых соотношений частот складываемых колебаний получающиеся фигуры, называемые фигурами Лиссажу, показаны на рис. 9. 5.

Рисунок 9. 5.

9. 3. Понятие о разложении колебаний в ряд Фурье.

В математике существует так называемая теорема Фурье, согласно которой любой периодический процесс с периодомможет быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических колебаний с частотами, кратными величине:

которую принято называть рядом Фурье. Каждая из слагаемых этой суммы представляет собой отдельную гармонику, амплитуда и начальная фаза которой зависит от вида функции . Совокупность амплитуд и частот, на

Рисунок 9. 6.

которые разлагается любое негармоническое колебания, образуют спектр этого колебания. Графическое изображение негармонического колебания и его спектра приведено на рис.10. Как видно из рисунка, каждая составляющая спектра изображается в виде вертикальных линий, основание которых рас­положено в соответствующих местах оси частот , а длина каждой из линий пропорциональна величине амплитуды выбранной гармоники.

Спектральное разложение имеет только математический смысл. В реальных физических процессах, зависящих от времени, всегда удается выделить гармонические колебания, частота и амплитуда которых полностью соответствуют гармоникам разложения в ряд Фурье. Примером спектрального представления может служить разложение импульса длительности , когда величина спектральной частоты определяется соотношением