5. 2. Момент импульса.

5. 2. 1. Момент импульса(кол-ва движения)материальной точки относительно неподвижной точки.

Моментом импульса (количества движения) относительно неподвижной точки (полюса) называется вектор , равный векторному произведению радиуса-вектора , проведённого из полюса в место нахождения материальной точки на вектор её импульса.

(5.7)

где , ,-масса, радиус-вектор и скорость i-той материальной точки, а N-общее число точек системы.

5. 2. 3. Момент импульса тела относительно неподвижной точки.

Момент импульса тела относительно неподвижной точки О, вокруг которой это тело вращается с угловой скоростью , равен:

(5.8)

- радиус-вектор, проведённый из точки О к малому элементу тела массой dm; -скорость этого элемента тела.

Поскольку

,

то векторы и в общем случае не совпадают по направлению

(5.9)

5. 2. 4. Момент импульса механической системы относительно неподвижной оси.

Моментом импульса системы относительно неподвижной оси называется величина ,равная проекции на эту ось вектора момента импульса системы относительно какой-либо точки О, принадлежащей этой оси:

(5.10)

Выбор положения точки О на оси а не влияет на числовое значение величины .

Под моментом импульса системы относительно неподвижной оси ОZ можно понимать векторную величину

(5.11)

где -орт оси ОZ.

Если скорости всех точек системы лежат в плоскостях перпендикулярных выбранной оси ОZ , то (суммарный (полный) момент импульса системы)момент импульса системы может быть представлен в виде векторного произведения:

(5.12)

5. 2. 5. Момент импульса тела относительно неподвижной оси.

	При вращении твердого тела относительно оси ОZ с угловой скоростью (рис.5.4) каждая элементарная масса , двигаясь по окружности, обладает моментом импульса:
			(5.13)
Рисунок 5.4.

Учитывая, что , получаем:

(5.14)

(Напомним, что в случае вращения тела относительно неподвижной точки (5.9), это может быть не так.)

Следовательно, в то время как векторы импульса элементарных масс вращающегося тела имеют различные направления, векторы момента импульса направлены одинаково.

Полный момент импульса тела (и/или системы материальных точек) равен сумме моментов импульсов его элементарных масс:

(5.15)

Или, при непрерывном распределении массы, получаем:

(5.16)

где - элементарный объём массы dm с плотностью .

В случае однородного твердого тела (=const) имеем:

(5.17)

5. 3. Момент инерции.

5. 3. 1. Момент инерции системы относительно неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно оси

.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси ОZ называется физическая величина , равная сумме произведений масс всех N материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси ОZ:

(5.18)

где и - масса i-той точки и её расстояние до оси.

Момент инерции тела (при непрерывном распределении масс):

(5.19)

где: - масса малого элемента объема dV - тела, - плотность малого элемента объема; - расстояние от объема dV до оси ОZ .

Если тело однородно, т.е. плотность всюду одинакова, то

(5.20)

Момент инерции является мерой инертности во вращательном движении, подобно тому, как масса является мерой инертности при поступательном движении.