Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
828.8 Кб
Скачать

Пустьdim L = dimV = n, e = (e1 , e2 ,..., en ) базис V , e¢ = (e1¢, e2¢ ,..., en¢ )

базис L. Рассмотрим системы из n +1 векторов e1¢, e2¢,..., e¢, ei (i = 1; n).

Они линейно независимы, т.к. dimV = n. Значит, ei Î L (e1¢, e2¢,..., en¢ ) "i =1; n. Отсюда "x ÎV Þ x = L (e1¢, e2¢,..., en¢ ) Þ x Î L. Таким образом, L совпадает V .

Если исключить из рассмотрения нулевое подпространс, тво самыми простыми являются одномерные подпространства, порожденные одним вектором.

Еслиe1 – базисный вектор, то одномерное подпространство,

порожденное этим вектором – это множество векторов вида le1 (l ÎC ).

Def.

Совокупность

векторов

видаx = x0 + le1 ,

где x0 , e1 ÎV , l ÎC,

называется прямой в линейном пространстве V .

 

 

 

Def.

Совокупность

векторов

видаx = x0 + le1 + me2 ,

где

x0 , e1 , e2 ÎV , l, m ÎC, называется плоскостью в линейном пространстве V .

Сумма и пересечение подпространств. Разложение пространства в прямую сумму подпространств.

 

ПустьW , W – подпространства линейного пространства V .

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

(W1 ÇW2 )

 

Def.

Пересечением

подпространств W1

и

W2

называется

совокупность векторов, которые принадлежат W1

и W2 .

 

Def.

Суммой подпространств W1 и W2

(W1 +W2 )

называется совокупность

векторов x,

которые представимы в виде x = x1 + x2 ,

где x1 ÎW1 и x2 ÎW2 .

 

 

 

Th. 4.4

 

Если W1 , W2 – подпространства линейного пространства V , то

 

 

 

 

dim (W1 +W2 ) = dimW1 + dimW2 - dim (W1 ÇW2 )

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

Перепишем соотношение(4.3)в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dimW1 + dimW2 = dim (W1 +W2 )+ dim (W1 ÇW2 ).

 

 

Пусть

 

a1 , a2 ,..., an0 базис W0 = W1 ÇW2 .

(4.4)

 

 

 

 

 

 

Дополним

этот

базис до базисовW и W :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 , a2 ,..., an0 , bn0 +1 ,..., bn1

– базис W1.

(4.5)

31

 

 

 

a1 , a2 ,..., an0 , cn0 +1 ,..., cn2

– базис W2 .

 

(4.6)

Покажем, что

система

векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 , a2 ,..., an0 ,bn0 +1 ,..., bn1

, cn0 +1 ,..., cn2

 

(4.7)

образует базис W1 +W2 . Пусть

 

 

 

 

 

x1 ÎW1

Þ x1

= a1a1

+a2 a2 +... +an0 an0

+ bn0 +1bn0 +1 + ... + bn1 bn1 ;

x2 ÎW2

Þ x2

= l1a1

+ l2a2 +... + ln

an

+ g n

+1cn +1 +... + g n

cn .

 

 

 

 

0

0

0

0

2

2

Тогда x = x1 + x2

– линейная комбинация

векторов(4.7).

Покажем, что

векторы (4.7) линейно независимы. Составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

l1a1 + l2a2 + ... + ln0 an0 + mn0 +1bn0 +1 +... + mn1 bn1 +un0 +1cn0 +1 +... +un2 cn2 = 0

(4.8)

l1a1 + l2a2 + ... + ln0 an0 + mn0 +1bn0 +1 +... + mn1 bn1 = -un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2 .

(4.9)

Левая часть соотношения(4.9) – линейная комбинация векторов(4.5), т.е.

представляет собой вектор изW1 , а правая часть– линейная комбинация

системы векторов (4.6), т.е вектор из W2 . Тогда

 

 

 

x = -un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2 ÎW1 ,W2 Þ x = -un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2 ÎW0

= W1 ÇW2 .

Разложим его по базису W0 :

 

 

 

 

-un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2

= x1a1 +x2 a2 + ... +xn0 an0

 

 

x1a1 + x2 a2 +... + xn0 an0

+un0 +1cn0 +1 +... +un2 cn2

= 0.

 

(4.10)

(4.10) – линейная комбинация

векторов(4.6). В

силу

их

линейной

независимости ui = 0, x j = 0 ("i =1; n0 , "j = n0 +1; n2 ).

Подставим найденные значения ui в (4.8), получим

l1a1 + l2 a2 +... + ln0 an0

+ mn0 +1bn0 +1 +... + mn1 bn1 = 0

(4.11)

(4.11) – линейная комбинация

векторов(4.5). В силу

их линейной

независимости li = 0, mj = 0 ("i = 1; n0 , "j = n0 +1; n1 ). Таким образом, в (4.8)

равна нулю лишь тривиальная линейная комбинация, т.е. система векторов (4.7) – линейно независима. Следовательно, векторы (4.7) образуют базис

W1 +W2 .

Тогда dimW1 = n1 + n0 , dimW2 = n2 + n0 , dim (W1 +W2 ) = n0 + n1 + n2 , dim (W1 ÇW2 ) = n0 . Откуда и вытекает соотношение(4.3) .

Def. Если

любой векторx ÎU +W

однозначно представим в виде

x = x1 + x2 ,

где x1 ÎU , x2 ÎW , то U +W

называется прямой суммой.

Обозначается U ÅW .

 

32

Th. 4.5 V = U ÅW тогда и только тогда, когда U ÇW = 0.

Доказательство.

 

Необходимость. Пусть V = U ÅW ,

докажем, что U ÇW = 0.

Предположим, что x ÎU ÇW .

Тогда для вектора x имеем два представления

x = x + 0 = 0 + x в виде суммы векторов из U

и W . В силу единственности

такого представления получаем x = 0.

 

 

 

 

 

Достаточность.

Пусть

U ÇW = 0. Докажем, что V = U ÅW .

Пусть

сумма непрямая (V = U +W ). Тогда

найдется

вектор x ÎV = U +W ,

для

которого существуют два представления

(u1 ,u2 ÎU ; w1 , w2 ÎW ).

 

 

 

 

x = u1 + w1 и x = u2 + w2

(4.12)

Отсюда,

 

 

u1 + w1 = u2 + w2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1 -u2 = w2 - w1.

 

 

 

 

u1 -u2 ÎU ,

w1 - w2 ÎW . Но поскольку U ÇW = 0,

то u1 - u2 = w1 - w2 = 0,

т.е.

u1 = u2 , w1 = w2 . Имеем противоречие с (4.12), т.е. V = U ÅW .

 

 

 

 

 

Th. 4.6

 

V = U ÅW тогда и только тогда, когда dimV = dimU + dimW .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

Выберем e1 , e2 ,..., ek

 

 

Необходимость.

Пусть

V = U ÅW .

базис

пространства U и ek +1 , ek +2 ,..., en – базис пространства W . Если покажем, что

e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en

– базис пространства V = U ÅW , то отсюда будет

следовать утверждение теоремы.

Выберемx ÎV .

Тогда для него существует однозначное представление

x = u + w, u ÎU , w ÎW .

u = a1e1 +a2e2 +... +ak ek , w = ak +1ek +1 +ak +2ek +2 +... +an en . Значит,

x = a1e1 +a2e2 +... +ak ek

+ak +1ek +1 +ak +2 ek +2 + ... +an en .

Таким образом, произвольный

вектор изV = U ÅW

есть линейная

комбинация e1 , e2 ,..., ek , ek +1 ,..., en .

 

 

Покажем, что e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en линейно независимы. Составим их линейную комбинацию, равную нулю:

l1e1 + l2e2 +... + lk ek + lk +1ek +1 + ... + ln en = 0, l1e1 + l2e2 +... + lk ek = -lk +1ek +1 -... - lnen

Отсюда, l1e1 + l2e2 +... + lk ek ; - lk +1ek +1 -... - lnen ÎU ÇW . Согласно

теореме 4.5 U ÇW = 0, следовательно, li = 0 "i = 1; n.

33

Таким образом, e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en

линейно независимы.

 

 

Достаточность. Пусть теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en

 

 

U ÇW = 0,

является базисом

пространства V = U +W .

Если докажем, что

тогда

согласно

теореме4.5

V = U ÅW .

Если x

ненулевой

вектор

из

U ÇW ,

то он линейно выражается через этот, гдебазисне

все

коэффициенты нулевые. С другой стороны,

вектор

x

линейно выражается и

через

базис U ,

и через

базис

W

также

с

ненулевыми наборами

коэффициентов. Сравнивая все три выражения, получим противоречие с линейной независимостью каждой из трех систем векторов .

ЛЕКЦИЯ 5.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. НЕРАВЕНСТВО КОШИБУНЯКОВСКОГО. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ И ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ПРОЦЕДУРА ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ВЕКТОРОВ.

Евклидовы пространства.

С помощью операцийx + y и lx , введенных в линейном пространстве,

можно ввести понятие прямой, плоскости, размерности, параллельности прямых (плоскостей) и т.д. Однако, этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание евклидовой геометрии. Например, мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами и т..д Ввести эти понятия попытаемся через определение скалярного произведения векторов.

Def. Скалярным произведением в линейном пространствеV над полем R называется функция двух векторных аргументовa,b ÎV , принимающая значения из R (обозначается (a,b) ) для которой выполняются следующие аксиомы:

1.(a,b) = (b, a);

2.(a + b, c) = (a, c) + (b, c);

3.(la, b) = l (a, b), "l Î R;

4.(a, a) ³ 0. Причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.

Def. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение,

называется евклидовым пространством.

34

N. Множество векторов трехмерного пространства (направленные отрезки) с

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

введенным

скалярным

произведением

по

формулеa,b

=

a

 

b

cosj,

является евклидовым пространством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N. Пространство Rn со скалярным произведением,

введенным по формуле

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy = åxi yi ,

является евклидовым пространством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

N. Линейное пространство всех непрерывных на(a;b) функций является

евклидовым пространством, если скалярное произведение векторов задается формулой

b

( f , g ) = ò f (t)g(t)dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

Def.

Длиной (нормой) вектора a

в евклидовом пространстве

называется

число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

=

 

(a, a

)

 

 

(5.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def. Углом между векторами a и b

в евклидовом пространстве называется

число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j = arccos (a,b),

 

(5.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е.

cosj = (a,b) , 0 £ j £ p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def.

Векторы

называются ортогональными,

 

если угол между ними равен

p

,

т.е. если (a,b) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N.

 

Доказать,

 

что функции sin x,

cos x

ортогональны, если

скалярное

произведение векторов задано формулой

2p

( f , g ) = ò f (t)g(t)dt.

0

Решение.

 

 

 

 

 

 

Пусть f = sin x,

g = cos x. Тогда

 

 

 

2p

 

1

2p

1

 

2p

 

 

( f , g ) = ò sin t cos t dt =

ò sin 2t dt = -

cos 2t

 

 

 

 

0

2

0

4

 

0

 

Значит, функции sin x, cos x ортогональны.

= - 1 cos 2p + 1 cos 0 = 0. 4 4

35

Введенные понятия позволяют перенести на евклидовы пространства ряд понятий и теорем элементарной геометрии. Так если x, y ортогональные

векторы,

то x + y естественно считать диагональю

прямоугольника со

сторонами x и y.

 

 

 

 

 

Th. 5.1

(теорема Пифагора) Если x, y ортогональные векторы, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

2 =

 

x

 

2 +

 

y

 

2

 

(5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

x + y 2 = (x + y, x + y ) = (x + y, x) + (x + y, y ) = (x, x +) y,(x + )x, y (+ y,)y ) =(

 

(x, y) = (y, x) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

т.к. x, y -ортогональны

=

 

x

 

2 +

 

y

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, x )=

 

x

 

2 ,( y, y ) =

 

y

 

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

согласно (5.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно обобщить утверждение этой теоремы на любое конечное число

ортогональных векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Th. 5.1

 

(обобщенная

теорема

Пифагора)

Если

 

x1 , x2 ,..., xn попарно

 

 

 

 

ортогональные векторы, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 , +x2 +... + xn

 

 

2

=

 

 

x1

 

2 +

 

x2

 

2 +... +

 

xn

 

 

2 .

 

(5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство Коши-Буняковского.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы

 

 

 

определили

cosчтоj = (a,b).

 

 

Покажем,

что

такое

определение

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корректно. Для этого докажем, что -1 £ (a, b) £ 1 , т.е.

(a, b 2)

£ 1.

Или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

a,b

 

2 £ a, a b, b

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

(

)(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство (5.5) носит название неравенства Коши-Буняковского.

Доказательство.

36

 

 

 

 

Рассмотрим векторa - tb,

 

где t Î R.

 

Согласно

аксиоме4 скалярного

произведения векторов

 

 

 

 

 

(a -tb, a - tb) ³ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем выражение, стоящее в

левой

 

части

неравенства, на

основании аксиом 1-3 скалярного произведения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a, a) -t (a, b) - t (b, a ) + t 2 (b, b) ³ 0 "t Î R,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2 (b,b -) 2t (a,b +) a(, a ³ )0 "t Î R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, для квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства,

 

D £ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(a,b 2)- a,(a b,)b( .

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

вытекает

 

неравенство(5.5) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности для евклидова пространства направленных отрезков это

неравенство очевидно.

 

 

 

 

 

 

 

непрерывных (a;bна)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

 

пространства

 

 

 

функций

неравенство

Коши-Буняковского принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ b

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

2

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç ò f (x)g(x)dx ÷

£

ò f 2 (x)dx ×ò g 2 (x)dx.

 

 

 

Следствие.

 

 

 

 

 

 

è a

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(неравенство треугольника)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любых векторов x,

y евклидова пространства справедливо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

£

x

+

y

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

2 = (x + y, x + y ) = (x, x +)2 x, (y + y), y )( £ x(, x +)2 (x, x ) (y, y ) + (y, y ) =

 

 

(

x, x

)

x

 

y

 

(

y, y

)

 

(

x

 

 

y

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

+ 2

 

+

 

 

 

=

 

+

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

следует

 

соотношение(5.6) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def. Расстоянием

между

векторами a

и b

в

евклидовом

пространстве

называется число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

a - b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ортогональный и ортонормированный базис. Процедура ортогонализации векторов.

В линейном пространстве все существующие базисы равноправны. В евклидовом пространстве наиболее удобно использование так называемых

37

ортогональных базисов. Они играют ту же роль, что и прямоугольные координаты в аналитической геометрии.

Def. Базис n-мерного

евклидова пространстваe1 , e2 ,..., en

называется

ортогональным, если

вектора

базиса

попарно ортогональны,

т.е.

(ei , ej ) = 0 "i ¹ j.

 

 

 

 

 

 

 

 

Def.

Ортогональный

базис

называетсяортонормированным,

если

 

ei

 

= 1

"i =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1; n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие ортонормированности базиса можно записать :так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ei , ej ) = dij =

ì1,

i = j,

 

 

(5.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

i ¹ j.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î0,

 

 

 

dij

 

называют символом Кронекера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Th. 5.2 В n-мерном евклидовом пространстве любые n ортогональных векторов образуют ортогональный базис

Доказательство.

 

Пустьe , e ,..., e

– попарно ортогональные

векторы.

Составим

их

 

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейную комбинацию и приравняем ее к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1e1 +a2e2 +... +an en = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножим

обе части равенства eна,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 (e1 , e1 ) +a2 (e2 , e1 ) +... +an (en , e1 ) = 0.

1 )

 

 

 

(

 

 

1 )

 

В

силу

 

 

 

(

2

= ... =

 

n

= 0,

 

попарной ортогональности векторовe , e

 

e

, e

откуда

a1 = 0.

Аналогично можно показать, что ai

= 0

 

"i =

 

.

Отсюда

 

1; n

следует

линейная

независимость

векторовe , e ,..., e ,

 

и,

значит,

они

образуют базис .

 

1 2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы доказать

существование

ортогональных

базис, воспользуемсяв

так называемым процессом ортогонализации. Он заключается в том, что из

данных m линейно независимых векторов f1 , f2 ,..., fm строятся m

попарно

ортогональных векторов e1 , e2 ,..., em .

 

 

Пусть векторыf1 , f2 ,..., fm – линейно

независимы. Положим

e1 = f1.

Вектор e2 ищем в виде:

 

 

e2 = f2 +ae1.

 

 

Числоa подберем так, чтобы (e1 , e2 ) = 0.

Таким образом,

 

38

(e1 , f2 +ae1 ) = 0,

(e1 , f2 ) +a (e1 , e1 ) = 0.

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = -

(e1 ,

f2 )

 

 

 

 

 

 

 

(5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e1 , e1 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть построены

 

 

 

 

 

 

 

.

Вектор

попарно

ортогональные

векторыe , e ,..., e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

k -1

 

 

ek ищем в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ek

= fk +a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 ,

 

 

 

 

(5.10)

т.е. «исправляем» вектор

fk

с

помощью

 

линейной

комбинации

векторов

e1 , e2 ,..., ek -1. Коэффициенты этой линейной комбинации находим из условия

(ek , ei ) = 0

 

"i =

 

 

Для этого последовательно умножим обе части

1; k -1.

равенства (5.10) на векторы ei

(i =

 

 

 

 

1; k -1). Получим систему уравнений

 

 

 

 

 

ì( fk

+a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 , e1 ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïï( fk

+a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 , e2 ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.........................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï( fk

+a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 , ek -1 ) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì( fk , e1 ) +a1 (e1 , e1 )+a2 (e2 , e1 )+... +ak -1 (ek -1 , e1 ) = 0,

 

 

 

 

 

 

ïï( fk , e2 )+a1 (e1 , e2 ) +a2 (e2 , e2 )+... +ak -1 (ek -1 , e2 ) = 0,

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...............................................................................

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï( fk , ek -1 )+a1 (e1 , ek -1 )+a2 (e2 , ek -1 )+... +ak -1 (ek -1 , ek -1 ) = 0.

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 = -

( fk , e1 )

,

a2

= -

( fk , e2 )

,

 

... , ak -1

= -

( fk , ek -1 )

.

 

 

(5.11)

 

 

(e1 , e1 )

(e2 ,e2 )

 

(ek -1 , ek -1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем, что

ek ¹ 0.

Вектор ek

 

 

является

линейной

 

комбинацией

векторов f1 , f2 ,..., fk -1 ,

 

т..е

ek = l1 f1 + l2 f2 +... + lk -1 fk -1

¹ 0, т.к.

 

имеем

нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов.

Продолжая

 

этот

процесс

до тех,

покапор

не

будут

исчерпаны все

векторы

f1 , f2 ,..., fm , получим

систему m

 

отличных

от

нуля и

попарно

ортогональных векторов. Таким образом, доказана следующая теорема.

Th. 5.3

(о существовании ортогонального базиса)

 

 

В n-мерном

евклидовом

пространстве

существуют

 

 

ортогональные базисы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

Замечания.

1. Если в ортогональном базисе e1 , e2 ,..., en заменить ei на векторы

ei¢ =

 

ei

"i =

 

,

 

1; n

 

ei

 

 

 

 

 

 

то получим ортонормированный базис.

2. Нетрудно заметить, что таких базисов можно построить множество. Действительно, построение ортогонального базиса можно было бы начать с любого из векторов fi .

N.

Ортогонализируйте

систему

векторовa = {1;1;1;1}, b = {1;1; 0;1},

c = {1;1;0; 0}.

Решение.

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ищем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e = a =

 

1;1;1;1 .

Вектор e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b, e1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

= b +ae1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a = -

 

 

 

 

1+1+1

 

 

 

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e1 , e1 )

1+1 +1+1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

{

 

 

}

 

 

 

3

{

 

 

 

}

 

 

í

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

1

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, e

 

=

1;1;0;1

-

1;1;1;1

 

=

ì1

;

 

; -

;

 

ü.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

î4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

4 þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор e3

 

ищем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

 

= c +a1e1 +a2e2 , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

= -

 

(c, e1 )

 

= -

1 +1

 

 

 

 

 

= -

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e1 , e1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+1 +1+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 = -

(c, e2 )

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 + 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=) -

2

.

 

 

 

 

 

 

 

(e2 , e2 )

(14 2 +)(14 2 +)(- 34 )2 + (14 2

3

 

 

Тогда e

 

= 1;1; 0; 0

-

1

1;1;1;1

 

 

-

2

ì

1

;

 

1

; -

3

;

1 ü

=

ì1

;

1

; 0; -

 

2

ü.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

í

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

{

 

}

 

 

2

{

 

 

 

}

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 î

4 4 4 4 þ î3 3

 

 

3 þ

 

 

 

 

Ответ.

 

e

 

= 1;1;1;1 ; e

=

ì

1

;

1

; -

3

 

;

1

ü

; e

=

ì

1

;

1

;0; -

 

2

ü.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

{

 

 

}

 

2

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

3

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

4 4 4 4 þ

 

 

 

 

 

 

î3 3

 

 

 

 

 

þ

 

 

 

 

 

 

 

Th. 5.4

 

 

 

Пусть e1 , e2 ,..., en

 

 

 

 

 

 

ортонормированный

 

 

базис

евклидова

 

 

 

 

 

 

пространства

 

 

 

и

в

 

 

 

этом

 

базисе

 

 

 

векторыx

и y

имеют

 

 

 

 

 

 

координаты x = {x1; x2 ;...; xn },

y = {y1; y2 ;...; yn },

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

x, y

 

 

= x y + x y

 

 

+... + x y

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

=

x y .

 

 

(5.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

1

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

 

å i i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.