Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

828.8 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Пустьdim L = dimV = n, e = (e1 , e2 ,..., en ) – базис V , e¢ = (e1¢, e2¢ ,..., en¢ ) –

базис L. Рассмотрим системы из n +1 векторов e1¢, e2¢,..., e¢, ei (i = 1; n).

Они линейно независимы, т.к. dimV = n. Значит, ei Î L (e1¢, e2¢,..., en¢ ) "i =1; n. Отсюда "x ÎV Þ x = L (e1¢, e2¢,..., en¢ ) Þ x Î L. Таким образом, L совпадает V .

Если исключить из рассмотрения нулевое подпространс, тво самыми простыми являются одномерные подпространства, порожденные одним вектором.

Еслиe1 – базисный вектор, то одномерное подпространство,

порожденное этим вектором – это множество векторов вида le1 (l ÎC ).


Def.	Совокупность	векторов	видаx = x0 + le1 ,		где x0 , e1 ÎV , l ÎC,
называется прямой в линейном пространстве V .
Def.	Совокупность	векторов		видаx = x0 + le1 + me2 ,		где

x0 , e1 , e2 ÎV , l, m ÎC, называется плоскостью в линейном пространстве V .

Сумма и пересечение подпространств. Разложение пространства в прямую сумму подпространств.

	ПустьW , W – подпространства линейного пространства V .
		1	2					(W1 ÇW2 )
Def.	Пересечением			подпространств W1		и	W2	(W1 ÇW2 )	называется
совокупность векторов, которые принадлежат W1							и W2 .
Def.	Суммой подпространств W1 и W2				(W1 +W2 )			называется совокупность
векторов x,		которые представимы в виде x = x1 + x2 ,						где x1 ÎW1 и x2 ÎW2 .

Th. 4.4		Если W1 , W2 – подпространства линейного пространства V , то
			dim (W1 +W2 ) = dimW1 + dimW2 - dim (W1 ÇW2 )						(4.3)

Доказательство.
	Перепишем соотношение(4.3)в виде
			dimW1 + dimW2 = dim (W1 +W2 )+ dim (W1 ÇW2 ).
	Пусть			a1 , a2 ,..., an0 – базис W0 = W1 ÇW2 .					(4.4)
				a1 , a2 ,..., an0 – базис W0 = W1 ÇW2 .					(4.4)
	Дополним		этот	базис до базисовW и W :
				1	2
				a1 , a2 ,..., an0 , bn0 +1 ,..., bn1		– базис W1.			(4.5)

			a1 , a2 ,..., an0 , cn0 +1 ,..., cn2			– базис W2 .			(4.6)
Покажем, что		система		векторов
			a1 , a2 ,..., an0 ,bn0 +1 ,..., bn1			, cn0 +1 ,..., cn2			(4.7)
образует базис W1 +W2 . Пусть
x1 ÎW1	Þ x1		= a1a1	+a2 a2 +... +an0 an0		+ bn0 +1bn0 +1 + ... + bn1 bn1 ;
x2 ÎW2	Þ x2		= l1a1	+ l2a2 +... + ln	an	+ g n	+1cn +1 +... + g n		cn .
				0	0	0	0	2	2
Тогда x = x1 + x2		– линейная комбинация				векторов(4.7).		Покажем, что

векторы (4.7) линейно независимы. Составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

l1a1 + l2a2 + ... + ln0 an0 + mn0 +1bn0 +1 +... + mn1 bn1 +un0 +1cn0 +1 +... +un2 cn2 = 0				(4.8)
l1a1 + l2a2 + ... + ln0 an0 + mn0 +1bn0 +1 +... + mn1 bn1 = -un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2 .				(4.9)
Левая часть соотношения(4.9) – линейная комбинация векторов(4.5), т.е.
представляет собой вектор изW1 , а правая часть– линейная комбинация
системы векторов (4.6), т.е вектор из W2 . Тогда
x = -un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2 ÎW1 ,W2 Þ x = -un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2 ÎW0			= W1 ÇW2 .
Разложим его по базису W0 :
-un0 +1cn0 +1 -... -un2 cn2	= x1a1 +x2 a2 + ... +xn0 an0
x1a1 + x2 a2 +... + xn0 an0	+un0 +1cn0 +1 +... +un2 cn2	= 0.		(4.10)
(4.10) – линейная комбинация	векторов(4.6). В	силу	их	линейной

независимости ui = 0, x j = 0 ("i =1; n0 , "j = n0 +1; n2 ).

Подставим найденные значения ui в (4.8), получим

l1a1 + l2 a2 +... + ln0 an0	+ mn0 +1bn0 +1 +... + mn1 bn1 = 0	(4.11)
(4.11) – линейная комбинация	векторов(4.5). В силу	их линейной

независимости li = 0, mj = 0 ("i = 1; n0 , "j = n0 +1; n1 ). Таким образом, в (4.8)

равна нулю лишь тривиальная линейная комбинация, т.е. система векторов (4.7) – линейно независима. Следовательно, векторы (4.7) образуют базис

W1 +W2 .

Тогда dimW1 = n1 + n0 , dimW2 = n2 + n0 , dim (W1 +W2 ) = n0 + n1 + n2 , dim (W1 ÇW2 ) = n0 . Откуда и вытекает соотношение(4.3) .

Def. Если	любой векторx ÎU +W	однозначно представим в виде
x = x1 + x2 ,	где x1 ÎU , x2 ÎW , то U +W	называется прямой суммой.
Обозначается U ÅW .

Th. 4.5 V = U ÅW тогда и только тогда, когда U ÇW = 0.
Доказательство.
Необходимость. Пусть V = U ÅW ,	докажем, что U ÇW = 0.

Предположим, что x ÎU ÇW .			Тогда для вектора x имеем два представления
x = x + 0 = 0 + x в виде суммы векторов из U					и W . В силу единственности
такого представления получаем x = 0.
Достаточность.		Пусть	U ÇW = 0. Докажем, что V = U ÅW .				Пусть
сумма непрямая (V = U +W ). Тогда				найдется		вектор x ÎV = U +W ,		для
которого существуют два представления				(u1 ,u2 ÎU ; w1 , w2 ÎW ).
	x = u1 + w1 и x = u2 + w2						(4.12)
Отсюда,			u1 + w1 = u2 + w2

			u1 -u2 = w2 - w1.
u1 -u2 ÎU ,	w1 - w2 ÎW . Но поскольку U ÇW = 0,					то u1 - u2 = w1 - w2 = 0,		т.е.
u1 = u2 , w1 = w2 . Имеем противоречие с (4.12), т.е. V = U ÅW .

Th. 4.6	V = U ÅW тогда и только тогда, когда dimV = dimU + dimW .

Доказательство.					Выберем e1 , e2 ,..., ek –
Необходимость.		Пусть	V = U ÅW .				базис

пространства U и ek +1 , ek +2 ,..., en – базис пространства W . Если покажем, что

e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en	– базис пространства V = U ÅW , то отсюда будет
следовать утверждение теоремы.
Выберемx ÎV .	Тогда для него существует однозначное представление

x = u + w, u ÎU , w ÎW .

u = a1e1 +a2e2 +... +ak ek , w = ak +1ek +1 +ak +2ek +2 +... +an en . Значит,

x = a1e1 +a2e2 +... +ak ek	+ak +1ek +1 +ak +2 ek +2 + ... +an en .
Таким образом, произвольный	вектор изV = U ÅW	есть линейная
комбинация e1 , e2 ,..., ek , ek +1 ,..., en .

Покажем, что e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en линейно независимы. Составим их линейную комбинацию, равную нулю:

l1e1 + l2e2 +... + lk ek + lk +1ek +1 + ... + ln en = 0, l1e1 + l2e2 +... + lk ek = -lk +1ek +1 -... - lnen

Отсюда, l1e1 + l2e2 +... + lk ek ; - lk +1ek +1 -... - lnen ÎU ÇW . Согласно

теореме 4.5 U ÇW = 0, следовательно, li = 0 "i = 1; n.

Таким образом, e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en				линейно независимы.
Достаточность. Пусть теперь
			e1 , e2 ,..., ek ,ek +1 ,..., en					U ÇW = 0,
является базисом		пространства V = U +W .			Если докажем, что			U ÇW = 0,
тогда	согласно	теореме4.5	V = U ÅW .		Если x	–	ненулевой	вектор	из
U ÇW ,	то он линейно выражается через этот, гдебазисне								все
коэффициенты нулевые. С другой стороны,					вектор	x	линейно выражается и
через	базис U ,	и через	базис	W	также	с	ненулевыми наборами

коэффициентов. Сравнивая все три выражения, получим противоречие с линейной независимостью каждой из трех систем векторов .

ЛЕКЦИЯ 5.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. НЕРАВЕНСТВО КОШИБУНЯКОВСКОГО. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ И ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ПРОЦЕДУРА ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ВЕКТОРОВ.

Евклидовы пространства.

С помощью операцийx + y и lx , введенных в линейном пространстве,

можно ввести понятие прямой, плоскости, размерности, параллельности прямых (плоскостей) и т.д. Однако, этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание евклидовой геометрии. Например, мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами и т..д Ввести эти понятия попытаемся через определение скалярного произведения векторов.

Def. Скалярным произведением в линейном пространствеV над полем R называется функция двух векторных аргументовa,b ÎV , принимающая значения из R (обозначается (a,b) ) для которой выполняются следующие аксиомы:

1.(a,b) = (b, a);

2.(a + b, c) = (a, c) + (b, c);

3.(la, b) = l (a, b), "l Î R;

4.(a, a) ³ 0. Причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.

Def. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение,

называется евклидовым пространством.

N. Множество векторов трехмерного пространства (направленные отрезки) с

(

)

введенным

скалярным

произведением

по

формулеa,b

cosj,

является евклидовым пространством.

N. Пространство Rn со скалярным произведением,

введенным по формуле

xy = åxi yi ,

является евклидовым пространством.

i =1

N. Линейное пространство всех непрерывных на(a;b) функций является

евклидовым пространством, если скалярное произведение векторов задается формулой

( f , g ) = ò f (t)g(t)dt.

Def.

Длиной (нормой) вектора a

в евклидовом пространстве

называется

число

(a, a

)

(5.1)

Def. Углом между векторами a и b

в евклидовом пространстве называется

число

j = arccos (a,b),

(5.2)

т.е.

cosj = (a,b) , 0 £ j £ p.

Def.

Векторы

называются ортогональными,

если угол между ними равен

т.е. если (a,b) = 0.

Доказать,

что функции sin x,

cos x

ортогональны, если

скалярное

произведение векторов задано формулой

( f , g ) = ò f (t)g(t)dt.

Решение.
Пусть f = sin x,	g = cos x. Тогда
2p		1	2p	1		2p

( f , g ) = ò sin t cos t dt =			ò sin 2t dt = -		cos 2t

0	2		0	4		0

Значит, функции sin x, cos x ортогональны.

= - 1 cos 2p + 1 cos 0 = 0. 4 4

Введенные понятия позволяют перенести на евклидовы пространства ряд понятий и теорем элементарной геометрии. Так если x, y ортогональные

векторы,

то x + y естественно считать диагональю

прямоугольника со

сторонами x и y.

Th. 5.1

(теорема Пифагора) Если x, y ортогональные векторы, то

x + y

2 =

2 +

(5.3)

Доказательство.

x + y 2 = (x + y, x + y ) = (x + y, x) + (x + y, y ) = (x, x +) y,(x + )x, y (+ y,)y ) =(

(x, y) = (y, x) = 0,

т.к. x, y -ортогональны

2 +

2 .

(x, x )=

2 ,( y, y ) =

2 ,

согласно (5.1)

Можно обобщить утверждение этой теоремы на любое конечное число

ортогональных векторов.

Th. 5.1

(обобщенная

теорема

Пифагора)

Если

x1 , x2 ,..., xn попарно

ортогональные векторы, то

x1 , +x2 +... + xn

2 +

2 +... +

2 .

(5.4)

Неравенство Коши-Буняковского.

Мы

определили

cosчтоj = (a,b).

Покажем,

что

такое

определение

корректно. Для этого докажем, что -1 £ (a, b) £ 1 , т.е.

(a, b 2)

£ 1.

Или

(

a,b

2 £ a, a b, b

)

(5.5)

)

(

)(

Неравенство (5.5) носит название неравенства Коши-Буняковского.

Доказательство.

Рассмотрим векторa - tb,

где t Î R.

Согласно

аксиоме4 скалярного

произведения векторов

(a -tb, a - tb) ³ 0.

Преобразуем выражение, стоящее в

левой

части

неравенства, на

основании аксиом 1-3 скалярного произведения:

(a, a) -t (a, b) - t (b, a ) + t 2 (b, b) ³ 0 "t Î R,

t 2 (b,b -) 2t (a,b +) a(, a ³ )0 "t Î R.

Значит, для квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства,

D £ 0.

(a,b 2)- a,(a b,)b( .

)

Отсюда

вытекает

неравенство(5.5) .

В частности для евклидова пространства направленных отрезков это

неравенство очевидно.

непрерывных (a;bна)

Для

пространства

функций

неравенство

Коши-Буняковского принимает вид

æ b

ç ò f (x)g(x)dx ÷

ò f 2 (x)dx ×ò g 2 (x)dx.

Следствие.

è a

(неравенство треугольника)

Для любых векторов x,

y евклидова пространства справедливо

x + y

(5.6)

Доказательство.

(5.5)

x + y

2 = (x + y, x + y ) = (x, x +)2 x, (y + y), y )( £ x(, x +)2 (x, x ) (y, y ) + (y, y ) =

(

x, x

)

(

y, y

)

(

)

+ 2

Отсюда

следует

соотношение(5.6) .

Def. Расстоянием

между

векторами a

и b

евклидовом

пространстве

называется число

d =

a - b

(5.7)

Ортогональный и ортонормированный базис. Процедура ортогонализации векторов.

В линейном пространстве все существующие базисы равноправны. В евклидовом пространстве наиболее удобно использование так называемых

ортогональных базисов. Они играют ту же роль, что и прямоугольные координаты в аналитической геометрии.

Def. Базис n-мерного

евклидова пространстваe1 , e2 ,..., en

называется

ортогональным, если

вектора

базиса

попарно ортогональны,

т.е.

(ei , ej ) = 0 "i ¹ j.

Def.

Ортогональный

базис

называетсяортонормированным,

если

= 1

"i =

1; n

Условие ортонормированности базиса можно записать :так

(ei , ej ) = dij =

ì1,

i = j,

(5.8)

i ¹ j.

î0,

dij

называют символом Кронекера.

Th. 5.2 В n-мерном евклидовом пространстве любые n ортогональных векторов образуют ортогональный базис

Доказательство.

Пустьe , e ,..., e

– попарно ортогональные

векторы.

Составим

их

линейную комбинацию и приравняем ее к нулю.

a1e1 +a2e2 +... +an en = 0.

Умножим

обе части равенства eна,

получим

a1 (e1 , e1 ) +a2 (e2 , e1 ) +... +an (en , e1 ) = 0.

1 )

(

1 )

силу

(

= ... =

= 0,

попарной ортогональности векторовe , e

, e

откуда

a1 = 0.

Аналогично можно показать, что ai

= 0

"i =

Отсюда

1; n

следует

линейная

независимость

векторовe , e ,..., e ,

и,

значит,

они

образуют базис .

1 2

Чтобы доказать

существование

ортогональных

базис, воспользуемсяв

так называемым процессом ортогонализации. Он заключается в том, что из

данных m линейно независимых векторов f1 , f2 ,..., fm строятся m		попарно
ортогональных векторов e1 , e2 ,..., em .
Пусть векторыf1 , f2 ,..., fm – линейно	независимы. Положим	e1 = f1.
Вектор e2 ищем в виде:
e2 = f2 +ae1.
Числоa подберем так, чтобы (e1 , e2 ) = 0.	Таким образом,

(e1 , f2 +ae1 ) = 0,

(e1 , f2 ) +a (e1 , e1 ) = 0.

Отсюда

a = -

(e1 ,

f2 )

(5.9)

(e1 , e1 )

Пусть построены

Вектор

попарно

ортогональные

векторыe , e ,..., e

k -1

ek ищем в виде:

= fk +a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 ,

(5.10)

т.е. «исправляем» вектор

помощью

линейной

комбинации

векторов

e1 , e2 ,..., ek -1. Коэффициенты этой линейной комбинации находим из условия

(ek , ei ) = 0

"i =

Для этого последовательно умножим обе части

1; k -1.

равенства (5.10) на векторы ei

(i =

1; k -1). Получим систему уравнений

ì( fk

+a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 , e1 ) = 0,

ïï( fk

+a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 , e2 ) = 0,

.........................................................

ï( fk

+a1e1 +a2e2 +... +ak -1ek -1 , ek -1 ) = 0.

ì( fk , e1 ) +a1 (e1 , e1 )+a2 (e2 , e1 )+... +ak -1 (ek -1 , e1 ) = 0,

ïï( fk , e2 )+a1 (e1 , e2 ) +a2 (e2 , e2 )+... +ak -1 (ek -1 , e2 ) = 0,

...............................................................................

ï( fk , ek -1 )+a1 (e1 , ek -1 )+a2 (e2 , ek -1 )+... +ak -1 (ek -1 , ek -1 ) = 0.

Откуда получаем

a1 = -

( fk , e1 )

= -

( fk , e2 )

... , ak -1

= -

( fk , ek -1 )

(5.11)

(e1 , e1 )

(e2 ,e2 )

(ek -1 , ek -1 )

Докажем, что

ek ¹ 0.

Вектор ek

является

линейной

комбинацией

векторов f1 , f2 ,..., fk -1 ,

т..е

ek = l1 f1 + l2 f2 +... + lk -1 fk -1

¹ 0, т.к.

имеем

нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов.

Продолжая

этот

процесс

до тех,

покапор

не

будут

исчерпаны все

векторы

f1 , f2 ,..., fm , получим

систему m

отличных

от

нуля и

попарно

ортогональных векторов. Таким образом, доказана следующая теорема.

Th. 5.3	(о существовании ортогонального базиса)
Th. 5.3	В n-мерном	евклидовом	пространстве	существуют
	В n-мерном	евклидовом	пространстве	существуют
	ортогональные базисы.

Замечания.

1. Если в ортогональном базисе e1 , e2 ,..., en заменить ei на векторы

ei¢ =	ei	"i =		,
			1; n
	ei

то получим ортонормированный базис.

2. Нетрудно заметить, что таких базисов можно построить множество. Действительно, построение ортогонального базиса можно было бы начать с любого из векторов fi .

Ортогонализируйте

систему

векторовa = {1;1;1;1}, b = {1;1; 0;1},

c = {1;1;0; 0}.

Решение.

}

{

ищем в виде

e = a =

1;1;1;1 .

Вектор e

(b, e1 )

= b +ae1 ,

где a = -

1+1+1

= -

(e1 , e1 )

1+1 +1+1

{

}

{

}

Тогда, e

1;1;0;1

1;1;1;1

ì1

;

; -

;

ü.

î4

4 þ

Вектор e3

ищем в виде

= c +a1e1 +a2e2 , где

= -

(c, e1 )

= -

1 +1

= -

;

(e1 , e1 )

1+1 +1+1

a2 = -

(c, e2 )

= -

14 + 14

=) -

(e2 , e2 )

(14 2 +)(14 2 +)(- 34 )2 + (14 2

Тогда e

= 1;1; 0; 0

1;1;1;1

;

; -

;

1 ü

ì1

;

; 0; -

ü.

{

}

{

}

3 î

4 4 4 4 þ î3 3

3 þ

Ответ.

= 1;1;1;1 ; e

;

; -

;

; e

;

;0; -

ü.

{

}

4 4 4 4 þ

î3 3

Th. 5.4

Пусть e1 , e2 ,..., en

–

ортонормированный

базис

евклидова

пространства

этом

базисе

векторыx

и y

имеют

координаты x = {x1; x2 ;...; xn },

y = {y1; y2 ;...; yn },

тогда

(

x, y

= x y + x y

+... + x y

x y .

(5.12)

)

n n

å i i

i =1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf