Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
828.8 Кб
Скачать

Формулы(1.13) позволяют быстро вычислитьr = f (c) не используя

операции возведения в степень, а с помощью лишь операций сложения и умножения. Результаты этих вычислений обычно записывают в виде таблицы

(1.14)

Таким образом, во второй строке полученной таблицы мы получаем коэффициенты многочлена q и r из (1.12). Такую форму записи вычисления

указанных коэффициентов называют схемой Горнера.

Далее деля q на x - c и т.д., получаем:

 

 

 

 

 

 

an

 

an -1

 

 

a1

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

c

an = sn-1

 

sn -2

 

 

s0

 

r = b0

 

c

an = tn-2

 

tn-3

 

 

t0 = b1

 

 

 

 

 

 

 

 

c

an = u1

 

u0 = bn-1

 

 

 

 

 

 

 

c

an = bn

 

 

 

 

 

 

 

 

где bi - коэффициенты из формулы Тейлора (1.11).

 

 

N. Запишите разложение многочлена

 

f (x) = x3 - 3x + 2 по степеням (x + 2).

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

дляf (x) отсутствует

Обратим

внимание

на , точто

 

в выражении

слагаемое, содержащее x2 .

Значит, коэффициент при x2

равен 0.

 

 

1

 

0

 

-3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

1

 

-2

 

1

 

 

0

 

 

-2

1

 

-4

 

9

 

 

 

 

 

-2

1

 

-6

 

 

 

 

 

 

 

-2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

f (x) = x3 - 3x + 2 = (x + 2)3 - 6(x + 2)2 + 9(x + 2).

 

Ответ. f (x) = (x + 2)3 - 6(x + 2)2 + 9(x + 2).

 

 

 

N.

Проверить

является

xли= 6

корнем

многочлена

f (x) = x4 - 4x3 -11x2 + 7x - 6.

 

 

 

Решение.

11

 

 

 

 

 

 

1

 

 

-4

 

 

-11

 

7

 

 

-6

 

 

 

 

 

 

6

 

 

1

 

 

2

 

 

-1

 

1

 

 

0

 

 

 

Т.к.

r = 0,

то x = 6 корень данного многочлена.

 

 

 

 

 

 

Ответ.

x = 6 корень данного многочлена.

 

 

 

 

 

 

 

 

Def.

Корень c

многочлена

f

называется корнем

кратности k,

если

f M(x - c)k

и

f

не

делится

на(x - c)k +1. Если кратность корня

k =1,

то

корень называется простым корнем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Th. 1.7

 

Пусть f

ÎС[X],

deg f

¹ 0. Если x = c

– корень кратности k

 

 

 

многочлена

f , то

он

является

корнем

кратностиk -1

для

 

 

 

многочлена

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f , то

 

 

 

Посколькуx = c – корень кратности k многочлена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x - c)k g, где g(c) ¹ 0.

 

 

 

 

 

 

 

f ¢ = k(x - c)k -1 g + (x - c)k g¢ = (x - c)k -1 (kg + (x - c)g¢).

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

f ¢M(x - c)k -1.

Если

f ¢M(x - c)k ,

то (kg + (x - c)g¢)M(x - c), т.е.

kg M(x - c)

Þ gM(x - c) Þ g(c) = 0.

Противоречие. Значит,

f ¢ не делится на

(x - c)k . По определению x = c – корень кратности k -1 для

f ¢ .

 

 

Следствия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Элемент c

является

корнем

кратностиk (k ³ 2)

 

многочлена f

тогда и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

только тогда, когда c – общий корень f и f .

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пусть

 

f ¹ 0.

Корнями многочлена d = ( f , f ¢) являются только кратные

корни

f . Их кратность в

f ¢ на 1 меньше, чем в

f .

 

 

 

 

 

 

 

Если c1 , c2 ,..., cm

-

корни

многочлена f

с

 

кратностямиk1 , k2 ,..., km

соответственно, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x - c )k1 (x - c )k2 ×...×(x - c

m

)km

g,

 

 

 

 

где g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

не имеет корней. Поэтому справедливо утверждение:

 

 

 

 

Th. 1.8 Сумма числа корней многочлена(с учетом их кратности) не превосходит степени многочлена.

12

ЛЕКЦИЯ 2.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ТЕОРЕМА ВИЕТА. ПРИВОДИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ.

 

Основная теорема алгебры.

 

 

Th. 2.1

 

 

 

 

(основная теорема алгебры)

 

 

 

 

Комплексный многочлен имеет комплексный корень

 

Th. 2.2

 

 

 

Произвольный

многочлен f ÎС[X]

однозначно

 

представляется в виде

 

 

 

 

 

f (x) = an (x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ),

 

(2.1)

 

где an ÎC, c1 , c2 ,..., cn – корни

f с учетом их кратности.

 

Доказательство.

 

 

 

 

Согласно основной теореме алгебры многочленf (x)

имеет

корень.

Обозначим его c1. Тогда f

= (x - c1 )j(x).

Заметим, degj = deg f -1.

Далее

многочлен j(x) имеет корень c2 . Значит,

f = (x - c1 )(x - c2 )y (x). Продолжая

аналогичным образом, имеем

 

 

 

f = b(x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ),

где b – многочлен нулевой степени, полученный на последнем шаге. Тогда a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn = b(x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ).

Приравняем коэффициенты при xn : an = b.

Таким образом, f = an (x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ).

Докажем однозначность представления (2. 1). Пусть существует другое

представление

 

f = an (x - d1 )(x - d2 )...(x - dn ).

(2.2)

Из (2.1) и (2.2) имеем

 

(x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ) = (x - d1 )(x - d2 )...(x - dn ).

(2.3)

Пусть существует d j ¹ ci "i =1; n. Подставим d j в соотношение(2.3), тогда правая часть равна нулю, а левая отлична от нуля. Противоречие. Значит, каждый из ci равен какому-то из d j . Поскольку в (2.1) c1 , c2 ,..., cn

корни f с учетом их кратности, то среди них могут быть равные элементы.

13

Пусть в левой части соотношения(2.3)

m корней

равных c1 ,

а в правой

части t таких корней. Докажем, что m = t.

Равенство (2.3) перепишем в виде

 

(x - c )m (x - c

2

)...(x - c ) = (x - c )t (x - d

2

)...(x - d

).

(2.4)

 

 

1

 

 

k

 

1

 

l

 

 

Пусть m ¹ t (m > t). Сократим (2.4) на (x - c1 )t :

 

 

 

 

 

(x - c )m -t (x

- c )...(x - c )

= (x - d

2

)...(x - d

).

 

 

 

 

 

1

2

k

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

Выходит, что среди d2 , d3 ,..., dl уже нет равных c1 , а это противоречит доказанному выше. Значит, m = t.

Следствия

1.Любой комплексный многочлен степениn имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

2.Любой комплексный многочлен степениn имеет не более, чем n различных корней.

Интерполяция.

Th. 2.3

Пусть

f , g ÎС[X] (deg f , deg g £ n) имеют равные значения в

 

более, чем n различных точках. Тогда f = g.

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

Пустьf ¹ g.

Рассмотрим

многочленf - g ¹ 0.

Очевидно, что

deg ( f - g ) £ n. Из условия следует, что f - g имеет более, чем n корней. А

это противоречит следствию 2 из теоремы 2.3. Значит, f = g.

Доказанная теорема позволяет по заданным n +1 значениям многочлена степени не выше n однозначно его определить.

Пусть f (x1 ) = y1 , f (x2 ) = y2 ,..., f (xn+1 ) = yn+1. Согласно теореме 2.3, если такой многочлен существует, то он единственный. Таким многочленом является многочлен

 

n+1

(x - x1 )(x - x2 )...(x - xi -1 )(x - xi +1 )...( x - xn+1 )

 

 

 

f (x) = å yi

 

(2.5)

 

(xi - x1 )(xi

- x2 )...(xi - xi -1 )( xi - xi +1 )...(xi - xn+1 )

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, deg f £ n

и f (xi ) = yi ("i =

1; n +1).

 

 

Формула (2.5) носит название интерполяционной формулы Лагранжа.

N. Зная значение многочлена в нескольких точках, постройте многочлен наименьшей степени.

14

 

 

xi

 

-1

0

1

 

2

 

 

 

 

yi

 

-2

1

2

 

13

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = (-2 )×

x(x -1)(x - 2)

 

+1×

(x +1)(x -1)(x - 2)

+ 2 ×

(x +1)(x - 0)(x - 2)

+

 

 

 

 

-1(-1 -1)(-1- 2)

 

(0 +1)(0 -1)(0 - 2)

 

(1+1)(1 - 0)(1- 2)

 

+13 × (x +1)x(x -1) = 1 x(x2 - 3x + 2) + 1 (x2 -1)(x - 2) - x(x2 - x - 2) + 13 (x3 - x) = (2 +1)2(2 -1) 3 2 6

= 2x3 - x2 +1.

Теорема Виета.

Рассмотрим комплексный многочлен

 

 

 

 

f = a

0

+ a x + a

x2 + ... + a

n-1

xn-1

+ xn ,

(2.6)

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

со старшим коэффициентом 1. Пусть c1 , c2 ,..., cn

его корни, тогда

 

 

 

 

f = (x - c1 )(x - c2 )(x - c3 )...

(x - cn ).

(2.7)

Учитывая (2.6) и (2.7) имеем

 

 

 

 

 

 

a

+ a X + a

x2

+... + a

n-1

xn-1

+ xn

= (x - c )(x - c )(x -c )...

(x -c ) (2.8)

0

1

2

 

 

 

 

1

 

2

3

n

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. an-1 = -c1 - c2 -... - cn = -(c1 + c2 +... + cn );

an-2 = c1c2 + c1c3 +... + c1cn + c2c3 +.... + cn-1cn ;

an-3 = -c1c2c3 -... - cn-2 cn-1cn = -(c1c2c3 +... + cn-2cn-1cn );

(2.9)

.....................................................................................

a1 = (-1)n-1 (c1c2 ...cn-1 + c1c2 ...cn-2cn +...); a0 = (-1)n c1c2 ...cn .

Если f = a

0

+ a x + a

x2 + ... + a

xn-1 + a

xn , то рассмотрим многочлен

 

 

 

 

1

2

 

 

 

n-1

n

 

f =

a0

+

a1

x +

a2

x2 +... +

an-1

xn-1 + xn .

 

 

 

 

 

 

1

an

 

an

 

an

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя к многочлену

f1 формулы (2.9) получим

15

 

an-1

... ...= -c1 - c2 - - cn = -(c1 + c2 + + cn );

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an-2

= c1c2 + c1c3 +... + c1cn + c2c3 +.... + cn-1cn ;

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an-3

= -c1c2 c3 -... - cn-2cn-1cn = -(c1c2c3 +... + cn-2cn -1cn );

 

 

an

 

 

 

 

(2.10)

 

 

 

 

 

 

 

.....................................................................................

 

 

 

a1

= (-1)

n-1

(c1c2 cn-1 + c1c2 cn-2cn + );... ... ...

 

 

an

 

 

 

 

 

 

a0

= (-1)

n

c1c2 ...cn .

 

 

an

 

 

 

 

 

Формулы

(2.10) носят название формул Виета.

 

Следствие (из формул Виета).

Пусть f ÎR[X]. Все рациональные корни многочлена имею вид

p

, где p

 

 

 

 

 

 

 

q

делители свободного члена, а q делители старшего коэффициента.

 

 

 

 

 

 

 

 

N. Найти корни многочлена f (x) = 4x4 + 8x3 + 9x2 + 5x - 6.

Решение.

Найдем сначала рациональные корни данного многочлена. Согласно

следствию из теоремы Виета они имеют вид

 

p

,

где p делители 6, а q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

делители 4.

значения p :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значенияq : 1; 2; 4.

Возможные

1; 2; 3; 6.

Возможные

Возможные значения рациональных корней:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±1; ± 2; ± 3; ± 6; ±

1

; ±

1

; ±

3

; ±

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

2

4

 

 

 

Используя схему Горнера, проверим какие из указанных чисел являются

корням данного многочлена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

8

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

5

 

 

-6

 

 

1

 

 

 

4

 

10

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

12

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

3

 

 

4

 

4

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

Значит, x =

1

 

и x = -

3

 

являются корнями данного многочлена и имеет

 

 

 

2

 

2

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

öæ

ö

(4x

2

+ 4x + 8).

место разложение

f (x) = ç x

-

 

 

֍ x +

 

÷

 

2

2

 

 

 

 

è

 

 

øè

ø

 

 

 

Найдем

корни

 

многочлена4x2 + 4x + 8 , которые будут также корнями и

f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 + 4x + 8 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = -

±

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Ответ.

1

; -

3

; -

1

±

 

 

7

 

i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приводимость многочленов. Многочлены над R.

 

Def.

Пусть L

одна

 

из

числовых

 

QсистемÌ R Ì C.

Если

f = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn ,

где ai Î L ("i =

 

),

то

говорят

1; n

«многочлен f над L ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def. Пусть задан многочленf

над L , deg f = n

(n ³ 1).

Многочлен f

называется приводимым

в L,

если

его можно представить в виде

произведения двух многочленов над L, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( X ) = j( X )y ( X ),

 

 

 

 

 

причем

degj, degy < n. В

противном

случае многочлен

f называется

неприводимым в L.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. О приводимости многочлена можно говорить только лишь по отношению к данной числовой системе. Так многочлен x2 +1 неприводим в

R, но приводим над C (т.к. x2 +1 = (x -i )(x + i) ).

Свойства (многочленов неприводимых в L ).

1.Любой многочлен первой степени над L является неприводимым в L.

2.Если многочлен f неприводимый в L, то многочлен Cf ("C = const ) -

неприводим в L.

3.

Если f

произвольный многочлен над L, а j – неприводимый в L, то

либо f Mj,

либо ( f ,j ) = 1.

4.

Если j

неприводимый в L многочлен и fg Mj, то хотя бы один из

17

многочленов f или g делится на j.

Th. 2.4 Пусть f ÎR[X] и c ÎC – корень многочлена f , то и c также корень многочлена f .

Доказательство.

Пустьf = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn , тогда f (c) = a0 + a1 c + a2 c2 +... + an cn .

Используя свойства операции сопряжения имеем

f (c) = a0 +1 ac + a2c2 +... + ancn = a0 + a1c + a2c2 +... + an cn = f (c) = 0 = 0.

Значит, c

корень многочлена

f

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если f ÎR[X]

и c (c ÎC)

его корень

кратностиk,

то и

 

 

его

корень

c

кратности k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Th. 2.5

 

 

 

 

 

 

 

 

Любой

многочлен

f ÎR[X]

однозначно

представим

в

виде

 

произведения

ненулевой

константы, множителей

вида

 

 

i

 

 

 

(

k

x + q

k )

lk ,

 

 

 

 

i

 

(x - c )ki

и множителей вида x2

+ p

 

где a Î R, c

 

различные

вещесвенные

 

корни

 

 

кратностиk ,

а

 

(x2 + pk x + qk )ÎR[X]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

различны и

не имеют

действительных

 

корней.

В частности f ÎR[X]

нечетной

 

степени

имеет

 

действительный корень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Еслиc

действительный

корень

многочленаf ,

 

тогда

очевидно в

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

процессе разложения этого многочлена на множители появятся множители

вида (x - ci )ki ,

где ki

– кратность корня ci .

 

Пусть ci ÎC \ R

корень

f . Тогда, согласно следствию из теоремы2.4

 

 

 

также

корень

данного

ci

многочлена. Значит, имеет место разложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = (x - ci )(x -

 

)g(x) = (x2 - (ci +

 

) + ci

 

)g(x).

 

 

ci

ci

ci

 

 

Но (ci +

 

)Î R

и ci

 

 

Î R , т.е. многочлен f (x)

 

разложили

на

множители,

ci

ci

 

один из которых вещественный многочлен второй степе, ние имеющий действительных корней .

18

Следствие.

Среди вещественных многочленов со старшим членом, равным 1, неприводимыми над R являются только линейные множители и квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней.

Рациональные дроби.

Def. Пусть f , g ÎС[X]. Выражение

 

f (x)

(g ¹ 0) называется рациональной

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

дробью.

 

 

 

 

Def. Рациональные дроби равны

f

=

j

, если fy = gj.

 

 

 

g

y

Def. Введем операциисложения и умножения рациональных дробейпо следующим правилам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

+

j

=

 

fy + gj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2. 11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

gy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

×

j

=

f j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

gy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def. Рациональная дробь

 

f

 

 

называется несократимой, если ( f , g ) = 1.

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Def.

 

Рациональная

 

дробь

f

 

называется правильной,

если

deg f

 

< deg g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же deg f

³ deg g, то дробь называется неправильной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lemma

Пусть

 

 

f

 

 

– рациональная дробь и g = u ×v,

где u

и v

 

взаимно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

простые

 

многочлены. Тогда

 

f

 

=

h

+

t

,

где

h, t

некоторые

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

многочлены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. u и

v

 

взаимно

простые многочлены,

 

то

согласно теореме

1.5

существуют

многочлены a и

 

b,

что au + bv = 1.

Значит,

имеет место

соотношение

f = fau + fbv. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

=

fau + fbv

=

 

fau

+

 

fbv

=

 

fau

+

 

 

fbv

=

fa

+

fb

=

ì Обозначим ü

=

f

 

=

 

h

+

t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

ý

 

 

 

 

 

 

g

g

 

g

 

g

 

uv

 

 

uv

v

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î fb = h, fa = t þ

 

g u v

 

19

Что и требовалось доказать .

 

 

Def. Дробь вида

где

a, c ÎC, a ¹ 0, k Î N , называют

простейшей

комплексной дробью.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

ax + b

 

 

Дроби

вида

 

,

 

, a, b, c, p, q Î R, ax + b

¹ 0, k Î N

и

(x - c)k

(x2 + px + q)k

многочлен

x2 + px + q

 

 

не имеет действительных кор, нейазываются

простейшими вещественными дробями.

 

 

Th. 2.6 Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей и многочлена.

Доказательство.

Пусть f – неправильная. Разделим числитель на знаменатель и получим g

f = gq + r,

где deg r < deg g. Из последнего равенства получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

=

gq + r

= q +

r

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

g

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

где

r

уже правильная дробь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

f

 

– правильная. Учитывая утверждения леммы и теоремы 2.5

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно считать,

что

g = pk , где p

либо многочлен первой степени,

либо

квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней.

 

 

Если

deg f

< deg p,

то

 

 

f

 

 

– простейшая

и

теорема

доказана. Если

 

 

pk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

deg f ³ deg p,

 

то

 

поделим f

 

на p.

Получим

f = pq + r

( r = 0

или

deg r < deg p ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

=

pq + r

=

pq

+

r

=

q

+

r

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pk

 

pk

pk

pk -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pk

 

 

 

 

 

 

 

 

pk

 

 

r

Второе слагаемое – правильная дробь, а в первом слагаемом степень pk

числителя уменьшилась на 1 или на 2. Продолжая аналогично этот процесс, получим утверждение теоремы .

20