АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2
.pdfФормулы(1.13) позволяют быстро вычислитьr = f (c) не используя
операции возведения в степень, а с помощью лишь операций сложения и умножения. Результаты этих вычислений обычно записывают в виде таблицы
(1.14)
Таким образом, во второй строке полученной таблицы мы получаем коэффициенты многочлена q и r из (1.12). Такую форму записи вычисления
указанных коэффициентов называют схемой Горнера.
Далее деля q на x - c и т.д., получаем: |
|
|
|
|
||||||
|
|
an |
|
an -1 |
|
… |
|
a1 |
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c |
an = sn-1 |
|
sn -2 |
|
… |
|
s0 |
|
r = b0 |
|
c |
an = tn-2 |
|
tn-3 |
|
… |
|
t0 = b1 |
|
|
|
… |
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
c |
an = u1 |
|
u0 = bn-1 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
an = bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
где bi - коэффициенты из формулы Тейлора (1.11). |
|
|
||||||||
N. Запишите разложение многочлена |
|
f (x) = x3 - 3x + 2 по степеням (x + 2). |
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
дляf (x) отсутствует |
|
Обратим |
внимание |
на , точто |
|
в выражении |
||||||
слагаемое, содержащее x2 . |
Значит, коэффициент при x2 |
равен 0. |
||||||||
|
|
1 |
|
0 |
|
-3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
-2 |
1 |
|
-2 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
-2 |
1 |
|
-4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
-2 |
1 |
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
f (x) = x3 - 3x + 2 = (x + 2)3 - 6(x + 2)2 + 9(x + 2). |
|
||
Ответ. f (x) = (x + 2)3 - 6(x + 2)2 + 9(x + 2). |
|
|
|
||
N. |
Проверить |
является |
xли= 6 |
корнем |
многочлена |
f (x) = x4 - 4x3 -11x2 + 7x - 6. |
|
|
|
Решение.
11
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-4 |
|
|
-11 |
|
7 |
|
|
-6 |
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
-1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
||
Т.к. |
r = 0, |
то x = 6 – корень данного многочлена. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ. |
x = 6 – корень данного многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Def. |
Корень c |
многочлена |
f |
называется корнем |
кратности k, |
если |
||||||||||||||||
f M(x - c)k |
и |
f |
не |
делится |
на(x - c)k +1. Если кратность корня |
k =1, |
то |
|||||||||||||||
корень называется простым корнем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Th. 1.7 |
|
Пусть f |
ÎС[X], |
deg f |
¹ 0. Если x = c |
– корень кратности k |
||||||||||||||||
|
|
|
многочлена |
f , то |
он |
является |
корнем |
кратностиk -1 |
для |
|||||||||||||
|
|
|
многочлена |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f , то |
|
|
||||||||
|
Посколькуx = c – корень кратности k многочлена |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f = (x - c)k g, где g(c) ¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f ¢ = k(x - c)k -1 g + (x - c)k g¢ = (x - c)k -1 (kg + (x - c)g¢). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Очевидно, |
что |
f ¢M(x - c)k -1. |
Если |
f ¢M(x - c)k , |
то (kg + (x - c)g¢)M(x - c), т.е. |
|||||||||||||||||
kg M(x - c) |
Þ gM(x - c) Þ g(c) = 0. |
Противоречие. Значит, |
f ¢ не делится на |
|||||||||||||||||||
(x - c)k . По определению x = c – корень кратности k -1 для |
f ¢ . |
|
|
|||||||||||||||||||
Следствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Элемент c |
является |
корнем |
кратностиk (k ³ 2) |
|
многочлена f |
тогда и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
только тогда, когда c – общий корень f и f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Пусть |
|
f ¹ 0. |
Корнями многочлена d = ( f , f ¢) являются только кратные |
|||||||||||||||||||
корни |
f . Их кратность в |
f ¢ на 1 меньше, чем в |
f . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если c1 , c2 ,..., cm |
- |
корни |
многочлена f |
с |
|
кратностямиk1 , k2 ,..., km |
||||||||||||||||
соответственно, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f = (x - c )k1 (x - c )k2 ×...×(x - c |
m |
)km |
g, |
|
|
|
|
||||||||
где g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
не имеет корней. Поэтому справедливо утверждение: |
|
|
|
|
Th. 1.8 Сумма числа корней многочлена(с учетом их кратности) не превосходит степени многочлена.
12
ЛЕКЦИЯ 2.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ТЕОРЕМА ВИЕТА. ПРИВОДИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ.
|
Основная теорема алгебры. |
|
|
||
Th. 2.1 |
|
|
|
|
|
(основная теорема алгебры) |
|
|
|
||
|
Комплексный многочлен имеет комплексный корень |
|
|||
Th. 2.2 |
|
|
|
||
Произвольный |
многочлен f ÎС[X] |
однозначно |
|||
|
представляется в виде |
|
|
|
|
|
|
f (x) = an (x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ), |
|
(2.1) |
|
|
где an ÎC, c1 , c2 ,..., cn – корни |
f с учетом их кратности. |
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Согласно основной теореме алгебры многочленf (x) |
имеет |
корень. |
|||
Обозначим его c1. Тогда f |
= (x - c1 )j(x). |
Заметим, degj = deg f -1. |
Далее |
||
многочлен j(x) имеет корень c2 . Значит, |
f = (x - c1 )(x - c2 )y (x). Продолжая |
||||
аналогичным образом, имеем |
|
|
|
f = b(x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ),
где b – многочлен нулевой степени, полученный на последнем шаге. Тогда a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn = b(x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ).
Приравняем коэффициенты при xn : an = b.
Таким образом, f = an (x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ).
Докажем однозначность представления (2. 1). Пусть существует другое
представление |
|
f = an (x - d1 )(x - d2 )...(x - dn ). |
(2.2) |
Из (2.1) и (2.2) имеем |
|
(x - c1 )(x - c2 )...(x - cn ) = (x - d1 )(x - d2 )...(x - dn ). |
(2.3) |
Пусть существует d j ¹ ci "i =1; n. Подставим d j в соотношение(2.3), тогда правая часть равна нулю, а левая отлична от нуля. Противоречие. Значит, каждый из ci равен какому-то из d j . Поскольку в (2.1) c1 , c2 ,..., cn –
корни f с учетом их кратности, то среди них могут быть равные элементы.
13
Пусть в левой части соотношения(2.3) |
m корней |
равных c1 , |
а в правой |
||||||||||
части t таких корней. Докажем, что m = t. |
Равенство (2.3) перепишем в виде |
||||||||||||
|
(x - c )m (x - c |
2 |
)...(x - c ) = (x - c )t (x - d |
2 |
)...(x - d |
). |
(2.4) |
||||||
|
|
1 |
|
|
k |
|
1 |
|
l |
|
|
||
Пусть m ¹ t (m > t). Сократим (2.4) на (x - c1 )t : |
|
|
|
|
|
||||||||
(x - c )m -t (x |
- c )...(x - c ) |
= (x - d |
2 |
)...(x - d |
). |
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
k |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
Выходит, что среди d2 , d3 ,..., dl уже нет равных c1 , а это противоречит доказанному выше. Значит, m = t.
Следствия
1.Любой комплексный многочлен степениn имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
2.Любой комплексный многочлен степениn имеет не более, чем n различных корней.
Интерполяция.
Th. 2.3 |
Пусть |
f , g ÎС[X] (deg f , deg g £ n) имеют равные значения в |
||
|
более, чем n различных точках. Тогда f = g. |
|
||
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
Пустьf ¹ g. |
Рассмотрим |
многочленf - g ¹ 0. |
Очевидно, что |
deg ( f - g ) £ n. Из условия следует, что f - g имеет более, чем n корней. А
это противоречит следствию 2 из теоремы 2.3. Значит, f = g.
Доказанная теорема позволяет по заданным n +1 значениям многочлена степени не выше n однозначно его определить.
Пусть f (x1 ) = y1 , f (x2 ) = y2 ,..., f (xn+1 ) = yn+1. Согласно теореме 2.3, если такой многочлен существует, то он единственный. Таким многочленом является многочлен
|
n+1 |
(x - x1 )(x - x2 )...(x - xi -1 )(x - xi +1 )...( x - xn+1 ) |
|
|
||
|
f (x) = å yi |
|
(2.5) |
|||
|
(xi - x1 )(xi |
- x2 )...(xi - xi -1 )( xi - xi +1 )...(xi - xn+1 ) |
|
|||
|
i =1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, deg f £ n |
и f (xi ) = yi ("i = |
1; n +1). |
|
|
Формула (2.5) носит название интерполяционной формулы Лагранжа.
N. Зная значение многочлена в нескольких точках, постройте многочлен наименьшей степени.
14
|
|
xi |
|
-1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
yi |
|
-2 |
1 |
2 |
|
13 |
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = (-2 )× |
x(x -1)(x - 2) |
|
+1× |
(x +1)(x -1)(x - 2) |
+ 2 × |
(x +1)(x - 0)(x - 2) |
+ |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
-1(-1 -1)(-1- 2) |
|
(0 +1)(0 -1)(0 - 2) |
|
(1+1)(1 - 0)(1- 2) |
|
+13 × (x +1)x(x -1) = 1 x(x2 - 3x + 2) + 1 (x2 -1)(x - 2) - x(x2 - x - 2) + 13 (x3 - x) = (2 +1)2(2 -1) 3 2 6
= 2x3 - x2 +1.
Теорема Виета.
Рассмотрим комплексный многочлен
|
|
|
|
f = a |
0 |
+ a x + a |
x2 + ... + a |
n-1 |
xn-1 |
+ xn , |
(2.6) |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
со старшим коэффициентом 1. Пусть c1 , c2 ,..., cn |
– его корни, тогда |
||||||||||||
|
|
|
|
f = (x - c1 )(x - c2 )(x - c3 )... |
(x - cn ). |
(2.7) |
|||||||
Учитывая (2.6) и (2.7) имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
+ a X + a |
x2 |
+... + a |
n-1 |
xn-1 |
+ xn |
= (x - c )(x - c )(x -c )... |
(x -c ) (2.8) |
|||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
n |
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. an-1 = -c1 - c2 -... - cn = -(c1 + c2 +... + cn );
an-2 = c1c2 + c1c3 +... + c1cn + c2c3 +.... + cn-1cn ;
an-3 = -c1c2c3 -... - cn-2 cn-1cn = -(c1c2c3 +... + cn-2cn-1cn );
(2.9)
.....................................................................................
a1 = (-1)n-1 (c1c2 ...cn-1 + c1c2 ...cn-2cn +...); a0 = (-1)n c1c2 ...cn .
Если f = a |
0 |
+ a x + a |
x2 + ... + a |
xn-1 + a |
xn , то рассмотрим многочлен |
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
n-1 |
n |
|
||
f = |
a0 |
+ |
a1 |
x + |
a2 |
x2 +... + |
an-1 |
xn-1 + xn . |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
an |
|
an |
|
an |
|
|
|
an |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Применяя к многочлену |
f1 формулы (2.9) получим |
15
|
an-1 |
... ...= -c1 - c2 - - cn = -(c1 + c2 + + cn ); |
|
||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an-2 |
= c1c2 + c1c3 +... + c1cn + c2c3 +.... + cn-1cn ; |
|
||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an-3 |
= -c1c2 c3 -... - cn-2cn-1cn = -(c1c2c3 +... + cn-2cn -1cn ); |
|
||||
|
an |
|
|
|
|
(2.10) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
..................................................................................... |
|
|
||||
|
a1 |
= (-1) |
n-1 |
(c1c2 cn-1 + c1c2 cn-2cn + );... ... ... |
|
||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
= (-1) |
n |
c1c2 ...cn . |
|
||
|
an |
|
|
|
|
|
|
Формулы |
(2.10) носят название формул Виета. |
|
|||||
Следствие (из формул Виета). |
|||||||
Пусть f ÎR[X]. Все рациональные корни многочлена имею вид |
p |
, где p – |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
делители свободного члена, а q – делители старшего коэффициента. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N. Найти корни многочлена f (x) = 4x4 + 8x3 + 9x2 + 5x - 6.
Решение.
Найдем сначала рациональные корни данного многочлена. Согласно
следствию из теоремы Виета они имеют вид |
|
p |
, |
где p – делители 6, а q – |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|||
делители 4. |
значения p : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значенияq : 1; 2; 4. |
||||||||
Возможные |
1; 2; 3; 6. |
Возможные |
||||||||||||||||||||||
Возможные значения рациональных корней: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
±1; ± 2; ± 3; ± 6; ± |
1 |
; ± |
1 |
; ± |
3 |
; ± |
3 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|||||||
Используя схему Горнера, проверим какие из указанных чисел являются |
||||||||||||||||||||||||
корням данного многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
-6 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
10 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
0 |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- |
3 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Значит, x = |
1 |
|
и x = - |
3 |
|
являются корнями данного многочлена и имеет |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
æ |
|
|
öæ |
ö |
(4x |
2 |
+ 4x + 8). |
|||
место разложение |
f (x) = ç x |
- |
|
|
֍ x + |
|
÷ |
|
|||||
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
è |
|
|
øè |
ø |
|
|
|
Найдем |
корни |
|
многочлена4x2 + 4x + 8 , которые будут также корнями и |
||||||||||||||
f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 + 4x + 8 = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = - |
± |
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
Ответ. |
1 |
; - |
3 |
; - |
1 |
± |
|
|
7 |
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводимость многочленов. Многочлены над R. |
|
||||||||
Def. |
Пусть L |
одна |
|
из |
числовых |
|
QсистемÌ R Ì C. |
Если |
||
f = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn , |
где ai Î L ("i = |
|
), |
то |
говорят |
|||||
1; n |
||||||||||
«многочлен f над L ». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Def. Пусть задан многочленf |
над L , deg f = n |
(n ³ 1). |
Многочлен f |
|||||||
называется приводимым |
в L, |
если |
его можно представить в виде |
|||||||
произведения двух многочленов над L, т.е. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f ( X ) = j( X )y ( X ), |
|
|
|
|
|
||
причем |
degj, degy < n. В |
противном |
случае многочлен |
f называется |
||||||
неприводимым в L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. О приводимости многочлена можно говорить только лишь по отношению к данной числовой системе. Так многочлен x2 +1 неприводим в
R, но приводим над C (т.к. x2 +1 = (x -i )(x + i) ).
Свойства (многочленов неприводимых в L ).
1.Любой многочлен первой степени над L является неприводимым в L.
2.Если многочлен f неприводимый в L, то многочлен Cf ("C = const ) -
неприводим в L.
3. |
Если f |
произвольный многочлен над L, а j – неприводимый в L, то |
либо f Mj, |
либо ( f ,j ) = 1. |
|
4. |
Если j |
неприводимый в L многочлен и fg Mj, то хотя бы один из |
17
многочленов f или g делится на j.
Th. 2.4 Пусть f ÎR[X] и c ÎC – корень многочлена f , то и c также корень многочлена f .
Доказательство.
Пустьf = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an-1 xn-1 + an xn , тогда f (c) = a0 + a1 c + a2 c2 +... + an cn .
Используя свойства операции сопряжения имеем
f (c) = a0 +1 ac + a2c2 +... + ancn = a0 + a1c + a2c2 +... + an cn = f (c) = 0 = 0.
Значит, c |
корень многочлена |
f |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f ÎR[X] |
и c (c ÎC) |
его корень |
кратностиk, |
то и |
|
|
его |
корень |
|||||||||
c |
|||||||||||||||||
кратности k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Th. 2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Любой |
многочлен |
f ÎR[X] |
однозначно |
представим |
в |
виде |
|||||||||||
|
произведения |
ненулевой |
константы, множителей |
вида |
|||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
( |
k |
x + q |
k ) |
lk , |
|
|
|
|
i |
– |
|
|
(x - c )ki |
и множителей вида x2 |
+ p |
|
где a Î R, c |
||||||||||||
|
различные |
вещесвенные |
|
корни |
|
|
кратностиk , |
а |
|||||||||
|
(x2 + pk x + qk )ÎR[X] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
|
различны и |
не имеют |
действительных |
||||||||||||||
|
корней. |
В частности f ÎR[X] |
нечетной |
|
степени |
имеет |
|||||||||||
|
действительный корень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Еслиc |
действительный |
корень |
многочленаf , |
|
тогда |
очевидно в |
|||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
процессе разложения этого многочлена на множители появятся множители
вида (x - ci )ki , |
где ki |
– кратность корня ci . |
|
Пусть ci ÎC \ R |
– |
корень |
|||||||||||
f . Тогда, согласно следствию из теоремы2.4 |
|
|
|
также |
корень |
данного |
|||||||||||
ci |
|||||||||||||||||
многочлена. Значит, имеет место разложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
f (x) = (x - ci )(x - |
|
)g(x) = (x2 - (ci + |
|
) + ci |
|
)g(x). |
|
|
|||||||
ci |
ci |
ci |
|
|
|||||||||||||
Но (ci + |
|
)Î R |
и ci |
|
|
Î R , т.е. многочлен f (x) |
|
разложили |
на |
множители, |
|||||||
ci |
ci |
|
один из которых вещественный многочлен второй степе, ние имеющий действительных корней .
18
Следствие.
Среди вещественных многочленов со старшим членом, равным 1, неприводимыми над R являются только линейные множители и квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней.
Рациональные дроби.
Def. Пусть f , g ÎС[X]. Выражение |
|
f (x) |
(g ¹ 0) называется рациональной |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
g(x) |
||
дробью. |
|
|
|
|
||
Def. Рациональные дроби равны |
f |
= |
j |
, если fy = gj. |
||
|
|
|||||
|
g |
y |
Def. Введем операциисложения и умножения рациональных дробейпо следующим правилам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
+ |
j |
= |
|
fy + gj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2. 11) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
gy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
× |
j |
= |
f j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.12) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
gy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Def. Рациональная дробь |
|
f |
|
|
называется несократимой, если ( f , g ) = 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Def. |
|
Рациональная |
|
дробь |
f |
|
называется правильной, |
если |
deg f |
|
< deg g. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если же deg f |
³ deg g, то дробь называется неправильной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Lemma |
Пусть |
|
|
f |
|
|
– рациональная дробь и g = u ×v, |
где u |
и v |
|
взаимно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
простые |
|
многочлены. Тогда |
|
f |
|
= |
h |
+ |
t |
, |
где |
h, t |
– |
некоторые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
многочлены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Т.к. u и |
v |
|
взаимно |
простые многочлены, |
|
то |
согласно теореме |
1.5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существуют |
многочлены a и |
|
b, |
что au + bv = 1. |
Значит, |
имеет место |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соотношение |
f = fau + fbv. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
f |
= |
fau + fbv |
= |
|
fau |
+ |
|
fbv |
= |
|
fau |
+ |
|
|
fbv |
= |
fa |
+ |
fb |
= |
ì Обозначим ü |
= |
f |
|
= |
|
h |
+ |
t |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
ý |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
g |
g |
|
g |
|
g |
|
uv |
|
|
uv |
v |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î fb = h, fa = t þ |
|
g u v |
|
19
Что и требовалось доказать . |
|
|
||||||
Def. Дробь вида |
где |
a, c ÎC, a ¹ 0, k Î N , называют |
простейшей |
|||||
комплексной дробью. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
ax + b |
|
|
|
Дроби |
вида |
|
, |
|
, a, b, c, p, q Î R, ax + b |
¹ 0, k Î N |
и |
|
(x - c)k |
(x2 + px + q)k |
|||||||
многочлен |
x2 + px + q |
|
|
не имеет действительных кор, нейазываются |
||||
простейшими вещественными дробями. |
|
|
Th. 2.6 Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей и многочлена.
Доказательство.
Пусть f – неправильная. Разделим числитель на знаменатель и получим g
f = gq + r,
где deg r < deg g. Из последнего равенства получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
gq + r |
= q + |
r |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
g |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
r |
уже правильная дробь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
f |
|
– правильная. Учитывая утверждения леммы и теоремы 2.5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
g |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно считать, |
что |
g = pk , где p – |
либо многочлен первой степени, |
либо |
||||||||||||||||||||||||||||
квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
deg f |
< deg p, |
то |
|
|
f |
|
|
– простейшая |
и |
теорема |
доказана. Если |
||||||||||||||||||||
|
|
pk |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
deg f ³ deg p, |
|
то |
|
поделим f |
|
на p. |
Получим |
f = pq + r |
( r = 0 |
или |
||||||||||||||||||||||
deg r < deg p ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
pq + r |
= |
pq |
+ |
r |
= |
q |
+ |
r |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk |
|
pk |
pk |
pk -1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
pk |
|
|
r
Второе слагаемое – правильная дробь, а в первом слагаемом степень pk
числителя уменьшилась на 1 или на 2. Продолжая аналогично этот процесс, получим утверждение теоремы .
20