Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

828.8 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

N.Представить дробь 2x + x3 + 5x2 -1 в виде суммы простейших.

x3 + x2

Решение.

Данная дробь неправильная. Выделим целую часть, для чего разделим числитель на знаменатель.

2x4 + x3 + 5x2 - 1

x3 + x2

2x4 + x3

2x -1

- x3 + 5 x2 -1

- x3 - x2

6x2 -1

Значит,

2x4 + x3 + 5x2 -1

= 2x -1

6x2 -1

= 2x -1 +

6x2

-1

x3 + x2

+ x

x2 (x +1)

Запишем разложение

правильной

дроби

6x2 -1

на простейшие с

x2 (x +1)

неопределенными коэффициентами.

6x2 -1

(x +1)

x x2

x +1

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

6x2 +1 = Ax(x +1) + B(x +1) + Cx2 .

(2.13)

Далее коэффициенты A,

B, C можно найти двумя способами.

I способ.

Раскроем в соотношении (2.13) скобки и приведем подобные слагаемые: 6x2 +1 = ( A + C)x2 + ( A + B)x + B.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного, получим систему для определения коэффициентов:

ìA + C = 6,

íA + B = 0,

ïîB = -1.

Решая эту систему, находим:

A =1, B = -1, C = 5.

Тогда	6x2	-1	=	1	-	1	+	5	.
	x2 (x +1)			x				x +1
					x2

В результате получаем разложение:

4 + x3 + 5x2 -1

2x -1+

x3 + x2

x +1

x x2

II способ (метод частных значений).

для любыхx. Придавая x различные

Соотношение(2.13) выполняется

значения, получим систему для определения коэффициентов A, B, C :

x = 0

-1 = B,

x = -1

5 = C,

x =1

î5 = 2 A + 2B + C.

Откуда A =1, B = -1,

C = 5.

Ответ. 2x -1+

x +1

x x2

ЛЕКЦИЯ 3.

	ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Def. Пусть заданы множествоV и поле K. V				называется линейным
пространством, если в		нем	определены операции		сложения	элементов
(x + y) и	умножения	на	числоa Î K (a x) и	при	этом	выполнены
следующие	требования (аксиомы):

1)x + y = y + x "x, y ÎV ;

2)(x + y)+ z = x + (y + z ) "x, y, z ÎV ;

3) в V существует нулевой элемент 0 такой, что x + 0 = x "x ÎV ;

4) "x ÎV существует противоположный элемент -x такой, что x + (-x) = 0;

5)(ab ) x = a (b x) "x ÎV , "a, b Î K;

6)(a + b ) x = a x + b x "x ÎV , "a, b Î K;

7)a (x + y) = a x +a y "x, y ÎV , "a Î K;

8)1× x = x "x ÎV .

Элементы пространства V при этом называютвекторами линейного пространства.

N.Так нетрудно проверить, что линейными пространствами являются

множество	векторов	изRn ,	множество	матрицA	,	множество
				m´n

многочленов степени меньше или равной n.

Множество	многочленов	степениn	не	является	линейным
пространством,	т.к. сумма многочленов степени n			может иметь	степень
меньшую, чем n, т.е.

Th. 3.1 (следствия из аксиом линейного пространства)

Для любого линейного пространстваV справедливы

утверждения:

1.Нулевой вектор единственен.

2.Противоположный вектор определен однозначно.

3.0 × x = a ×0 = 0 "x ÎV , "a Î K.

4.(-1) × x = -x "x ÎV .

Доказательство.
1.	Пусть в линейном пространстве V					существует два нулевых вектора 01			и
02	(01 ¹ 02 ). В аксиоме (3) линейного пространства положим x = 01 , 0 = 02.
Тогда 01 + 02 = 01.								(3.1)
	Если положить x = 02 , 0 = 01 , то
					02 + 01 = 02.			(3.2)
Из (3.1) и (3.2) следует, что					01 = 02.	Противоречие. Значит, нулевой вектор
единственен .
2.	Пусть	для x ÎV	существует два противоположных					вектораy1 и	y2
( y1 ¹ y2 ). Тогда:
	акс.3	акс.4		акс.1-2		акс.4	акс.3
y1 = y1 + 0 = y1 + (y2 + x)				=	( y1 + x)+ y2 = 0 + y2 = y2 .

Противоречие. Значит, "x ÎV существует единственный противоположный вектор .

3. Для того, чтобы различать нулевой вектор множества V и число 0 из поля

K , будем обозначать нулевой

вектор

V –

На

основании аксиом

линейного пространства имеем:

акс.3

акс.4

акс.2

акс.7

акс.4

0x = 0x +

= 0x + (x + (-x)) = 0(x + x)+ (-x) =

(0 +1)x + (-x) = x + (-x) =

акс.3

акс.7

акс.3

"x ÎV Þ a x = a (x +

)

= a x +a

Þ a

. .

4. Пусть x ÎV . Обозначим -1× x = y ÎV .

акс.8

акс.6

(1-1 x) = 0x

след.3из аксиом

x + y = x + (-1) × x = 1× x + (-1) × x =

0 Þ

Þ y

– противоположный вектор для x.

Аксиомы линейного пространства выражают тот факт, что действия над векторами линейного пространства производятся по тем же законам, что и над векторами пространстваRn . Это дает возможность перенести на

абстрактное линейное пространство определение линейной зависимости

векторов, данное для векторов пространства Rn .

Все

свойства

векторовn - мерного

векторного

пространства, не

связанные с их конкретной природой, а только с правилами линейных

операций

над

ними, оказываются

автоматически

справедливыми

абстрактном

линейном

пространстве. Таким

образом

справедливы

следующее определение и свойства линейной зависимости(независимости)

векторов.

Def. Векторы

a1 , a2 ,..., an линейного

пространства

называютсялинейно

независимыми,

если l1a1 + l2 a2 +... + ln an = 0

тогда

только

тогда, когда

li = 0 ("i =

1; n

Th. 3.2

(основная теорема о линейной зависимости векторов)

a1 , a2 ,..., an линейно зависимы тогда и только тогда,

когда

один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Th. 3.3

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она

линейно зависима.

Th. 3.4

Если

система

векторов

содержит

два

(пропорциональных) вектора, то она линейно зависима.

Th. 3.5

Если

система

векторов

содержит

линейно

зависимую

подсистему, то она линейно зависима.

Th. 3.6

Если система векторов линейно независима, то любая ее

подсистема линейно независима.

Th. 3.7

Если a1 , a2 ,..., an

– линейно независимы, а a1 , a2 ,..., an , an+1 –

линейно

зависимы, то an +1

является

линейной комбинацией

векторов a1 , a2 ,..., an .

N. Показать, что система векторов 1, t, t 2 , t3 является линейно независимой в

пространстве многочленов степени не большей 3.

Решение.

Составим	линейную		комбинацию				векторов1, t, t 2 , t3 и приравняем ее к
нулю.
			l + l t + l t2 + l				4	t3 = 0.
			1	2	3		4
Если не	всеl (i =		равны нулю,			то в левой части имеем многочлен,
Если не	всеl (i =	1; 4)	равны нулю,			то в левой части имеем многочлен,
	i

который имеет не более 3-х корней. С другой стороны, для этого многочлена

"t ÎC

является

корнем. Противоречие.

Значит,

= 0 "i = 1; 4,

что

доказывает линейную независимость системы векторов 1, t, t2 , t3 .

æ1

0 ö

æ0

1 ö æ0

0 ö æ0

0 ö

является

N. Показать, что система векторов ç

,ç

è 0

0 ø

è1

è0

1 ø

линейно независимой в пространстве всех матриц A2´2 .

Решение.

Составим линейную комбинацию данных векторов и найдем, при каких значениях коэффициентов она равна . нулюУчитывая, что нулевым элементом в пространстве матриц A2´2 является нулевая матрица имеем:

æ1

0 ö

æ 0

1 ö

æ0 0 ö

æ0

0 ö

æ0

0 ö

;

l1 ç

+ l2 ç

+ l3 ç

+ l4 ç

= ç

è1 0 ø

æ l

æ0

= ç

÷.

èl3

Отсюдаli = 0 "i = 1; 4, а, значит, данные векторы линейно независимы.

Def. Множество всех линейных комбинаций векторов a1 , a2 ,..., an называется их линейной оболочкой. Обозначается L (a1 , a2 ,..., an ).

Def. Базисом	линейного пространстваV называется система векторов
a1 , a2 ,..., an ÎV ,	если:

1)a1 , a2 ,..., an - линейно независимы;

2)V = L (a1 , a2 ,..., an ).

Можно доказать[5, c.118; 8, c.66], что:

1)все базисы линейного пространства, если они существуют, состоят из одинакового числа векторов;

2)если в линейном пространстве существует базис изn векторов, то любая

система из n +1 векторов будет линейно зависима;

3) если в линейном пространстве существует системаn излинейно независимых векторов, а всякая система из n +1 векторов линейно зависима, то n линейно независимых векторов образуют базис этого пространства.

Def. Количество векторов в базисе линейного пространстваV называется

размерностью этого пространства. Обозначается dimV .

Def. Линейное пространствоV называется конечномерным, если					его
размерность	конечна. В	противном	случае	пространство	называется
бесконечномерным.

N. Примером конечномерного пространства может служить пространство всех квадратных матриц размерности 2 ´ 2. Мы уже показывали, что векторы

æ1	0 ö æ0		1 ö æ0		0 ö æ0		0 ö	линейно независимы и нетрудно увидеть, что
ç	0	÷, ç	÷	,ç	÷	,ç	÷
è 0		ø è0	0 ø	è1	0 ø	è0	1 ø
любая		матрица A			размерности 2 ´ 2 является линейной комбинацией этих

векторов (коэффициентами этой линейной комбинации будут элементы матрицы A ).

N. Примером бесконечномерного пространства служит пространство всех

многочленов.	Базисом такого пространства служит		система	векторов
1, t, t2 , t3 ,..., tn ,...
Def. Пусть e1 , e2 ,..., en базис линейного пространства V . Тогда "x ÎV может
быть представлен в виде:
		x = x1e1 + x2e2 +... + xnen .	(3.3)
æ x	ö
ç 1	÷
Набор X = ç x2 ÷		называется системой (столбцом) координат вектора x		в
ç ... ÷
ç	÷
è xn ø

базисе e1 , e2 ,..., en .

Th. 3.8 Координаты вектора в линейном пространстве в данном базисе определены однозначно.

Доказательство.

Рассмотрим линейное пространство с базисомe , e ,..., e . Предположим
1 2	n

противное. Пусть

x = x1e1 + x2e2 +... + xn en и x = y1e1 + y2e2 +... + ynen ( $i =1; n : xi ¹ yi ).

Тогда

	x1e1 + x2e2 +... + xn en = y1e1 + y2e2 +... + ynen
	(x1 - y1 )e1 + (x2 - y2 )e2 +... + (xn - yn )en = 0.
.Тe.к, e ,..., e – линейно независимы, то
1 2	n

xi - yi = 0 "i = 1; n Û xi = yi "i = 1; n.

Противоречие.

Пусть

в линейном пространствеV заданы два базиса:

e = (e1 , e2 ,..., en )

и e¢ = (e1¢,e2¢,...,en¢ ).

по базису e.

Разложим векторы базисаe

ìe ¢

= a e + a

+... + a

e ,

ï 1

ïe ¢

= a

+ a

+... + a

e ,

(3.4)

í 2

22 2

ï...........................................

= a

+ a

+...

+ a

e .

ïe ¢

î n

2 2

Составим матрицу, в которой

вi -ом столбце стоят координаты вектора

e ¢ в базисе e :

æ a11

a21

...

an1

ç a

...

(3.5)

e®e¢

ç .

. . .

a2n

...

è a1n

ann ø

Тогда соотношение(3.4) можно записать в виде

e¢ = eTe ®e¢.

(3.6)

Def. Матрица (3.5) называется матрицей перехода от базиса e к базису e .

то аналогично получим

Если разложить векторы базиса e по базису e ,

e = e¢Te¢¢®e ,

(3.7)

где матрица Te¢¢®e состоит из координат векторов e в базисе e¢,

записанных в

столбцах.

Из (3.6) и (3.7) имеем:

e = e¢Te¢¢®e = (eTe®e¢ )Te¢¢®e = e (Te®e¢Te¢¢®e ).

Откуда Te®e¢Te¢¢®e = E. Аналогично,

Te¢¢®eTe®e¢ = E. Следовательно

Te¢¢®e

= Te-®1 e¢ .

(3.8)

Таким образом, справедливо утверждение:

Th. 3.9

Матрицы перехода

от одного базиса к другому являются

невырожденными (обратимыми).

Th. 3.10

Пусть e = (e1 , e2 ,..., en ),

e¢ = (e1¢, e2¢,..., en¢ )

– различные

базисы

линейного

пространства V

вектор

x ÎV

имеет

координаты

æ x¢

æ x

X =

ç 1

ç ...

÷ – в базисе e,

ç ...

÷ – в базисе

e .

è xn

è xn¢

то

Если Te®e¢ – матрица перехода от базиса e к базису e ,

X = Te®e¢ X ¢

и X ¢ = Te-®1 e¢ X .

(3.9)

Доказательство.

вектораx по базисам e и e¢ :

Запишем разложение

x = x1e1 + x2e2 +... + xn en

¢ ¢

и x = x1e1

+ x2 e2 + ... + xnen

или в матричном виде

x = eX

(3.10)

и x = e X .

Воспользовавшись

соотношением(3.6), имеем

(3.11)

x = e X

= eTe®e¢ X .

Из(3.10) и (3.11) следует

X = Te®e¢ X ¢.

Отсюда X ¢ = Te-®1 e¢ X .

N. Вектор x

в базисе e1 , e2 , e3 имеет координаты x = (-1; 2;1).

Найдите

его

координаты в базисе a, b, c,

если a = e1 + e2 ,

b = e2 + e3 , c = e1 + e3 .

Решение.

Согласно(3.9)

X ¢ = T -1 X ,

где X и Х ¢

– матрицы-столбцы из координат вектора x в базисах (e1 , e2 , e3 )

и (a, b, c)

соответственно,

а T –

матрица перехода от базиса

(e1 , e2 , e3 )

базису (a,b, c).

æ1

1 ö

æ 1 1 -1ö

÷. Тогда T -1

-1

1 1

÷.

e®e¢

1 -1 1

æ 1

-1öæ-1ö

æ 0 ö

Значит, X ¢ =

-1 1

÷ç

– координаты вектора x

÷ç

-1 1

÷ç

øè

-1ø

базисе a, b, c.

Ответ. (0; 2; -1).

ЛЕКЦИЯ 4.

ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ. ПОДПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ.

Изоморфизм линейных пространств.

Def.

Линейные пространства V

и V ¢

называются изоморфными (V ;V ¢),

если

между

векторамиx ÎV

x¢ÎV ¢

можно

установить

взаимно

однозначное

соответствие (x « x¢)

так,

что

если x « x¢

и y « y¢,

то

x + y « x

+ y , lx « lx .

Из

определения

изоморфизма

линейных

пространств ,

следуетчто

нулевому

вектору

пространстваV

соответствует

нулевой

вектор

пространства

линейно независимым

векторам

соответствуют линейно

V ;

независимые векторы.

Очевидным является следующее утверждение.

Th. 4.1 Два пространства различной размерности не изоморфны.


Th. 4.2	Два пространства		одинаковой размерности	изоморфны	друг
	другу.
Доказательство.
Пустьe = (e1 , e2 ,..., en ) – базис пространства V , а e¢ = (e1¢, e2¢,..., en¢ )					–
базис пространства		¢
базис пространства		V .
		"x ÎV	Þ x = x1e1 + x2 e2 + ... + xnen .	(4.1)
Поставим ему в соответствие вектор
		x¢ = x1e1¢ + x2e2¢ +... + xn en¢.		(4.2)

Векторx однозначно представляется в виде(4.1), следовательно, x¢

однозначно

определяется

по формуле(4.2). Аналогично

для

вектора x¢

однозначно

ставится

соответствиеx. Значит,

выбранное

соответствие

является взаимно однозначным.

Пустьx « x

Из

(4.1) и (4.2)

следует, что

y « y .

x + y « x

+ y , lx « lx .

Таким образом, единственной существенной характеристикой линейного

пространства является его размерность. Кроме того, если

–

линейное

пространство

и dimV = n,

то V ; Rn .

А значит,

анализ

пространства V

сводится к анализу пространства Rn .

Подпространство линейного пространства.

Def.

Любое

подмножествоL

множества V

называется линейным

подпространством,

если

оно

образует

пространство

относительно

введенных в V операций сложения векторов и умножения вектора на число.

Иначе говоря,

"x, y Î L Þ x + y Î L,

a x Î L.

Нулевой

элемент

линейного

пространстваV

является

подпространством.

2)Линейное пространство V можно считать подпространством пространства

V .

3)Множество всех многочленов является подпространством пространства всех непрерывных на R функций.

4)Множество всех векторов, лежащих в одной плоскости, является

подпространством пространства R3 .

Следствия (из определения подпространства).

1.Если L – подпространство V , то нулевой вектор принадлежит L.

2.Если x Î L, то (-x) Î L.

3. Если a , a		,..., a		k	ÎV , то их линейная оболочкаL a , a	,..., a	k )	–
1 2					( 1 2
подпространство линейного пространства V .

Th. 4.3	Если		L		подпространство линейного пространстваV ,			то

	dim L £ dimV . Причем, если dim L = dimV , то L совпадает V .

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. в L не может быть большего количества линейно независимых векторов, чем в V .

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf