Litvin_TFKP

Н.В. Литвин

Конспект лекций по теории функций комплексного

переменного

Мариуполь – 2004

Литвин Н.В.

Конспект лекций по теории функций комплексного переменного. Мариуполь: ПГТУ, 2004. – 56с.

В пособии в доступной форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного; к каждой теме приведены примеры, иллюстрирующие способы решения поставленных задач.

Цель пособия – помочь студенту освоить теоретические основы и изучить методы решения задач, используемые в теории функций комплексного переменного.

Рекомендуется использовать это пособие студентам всех форм обучения.

3

1 . Комплексные чи сла и действия над ними .

Комплексным числом z называется выражение z = а + ib, где a, b – любые действительные числа, i – мнимая единица. Первое число a пары (a, b) называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом a = Re z; второе число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается символом b = Im z.

Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. z1 = z2

лишь при a1 = a2, b1 = b2.

Нулём называется комплексное число, у которого действительная часть а = 0 и мнимая часть b = 0, т. е. z = 0 + i0, и обычно пишут просто z = 0.

Включим действительные числа во множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю, т. е. а = а + i0. Таким образом, множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действительных чисел. Комплексное число вида z = 0 + ib называется чисто мнимым и обозначается z = ib.

Комплексное число z = a − ib называется комплексно сопряжённым числу z = a + ib.

Запись вида z = a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

1 . 1 . Геометрич еская интер претация комплексных чи сел .

Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа z = a + ib точкой плоскости (x, y) с декартовыми координатами x = a, y = b. Такую плоскость в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной, а ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел и множеством всех свободных векторов, проекции x и y которых на оси абсцисс и ординат соответственно равны a и b. Таким образом, комплексное число z = a + ib изображается в плоскости (x, y) точкой M(a, b) либо вектором, начало которого находится в точке О(0,0) а конец в точке M(a, b). Для определения

4

положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами (r, j), где r – расстояние точки от начала координат, а j – угол, который составляет радиус–вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Положительным направлением изменения угла

j считается направление против часовой стрелки (-p < j £ p). Длина r

правлением оси ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается j = Arg z. Легко выразить модуль и аргумент комплексного

числа через его действительную и мнимую части: r = a2 + b2 , tgj = ba

(при выборе из последнего соотношения значения j следует учитывать знаки a и b). Отметим, что аргумент комплексного числа определён не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2p:

Arg z = arg z + 2pk, k = 0, ±1, ±2,¼,

где arg z – есть главное значение аргумента, определяемое условиями

Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определён, а его модуль равен нулю. Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число кратное 2p. Комплексно сопряжённые числа имеют один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствующем выборе областей их изменения различаются знаком.

5

6)Rez £ z , Imz £ z ;

7)z1 + z2 £ z1 + z2 ;

8)z1 - z2 ³ z1 - z2 .

Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат x = r cos j, y = r sin j, получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:

z = r (cos j + i sin j),

где r = çzï, j = Arg z.

Используя известную формулу Эйлера eiϕ = cos j + i sin j, получаем

так называемую показательную форму записи комплексного числа: z = reiϕ.

Примеры. Найти модуль и главное значение аргумента:

1.1. z = 4 + 3i.

|z| = 16 + 9 = 5 ; так как x = 4 > 0, то arg z = arctg 3/4.

1.2. z = – 2 + 2 3 i.

z = 4 +12 = 4 ; так как x = – 2 < 0, y = 2 3 > 0, то argz = p + arctg 2-23 = p - arctg3 = p - p3 = 23p.

1.3. Записать в тригонометрической и в показательной формах ком-

плексное число z = -1- i3.

Решение. Найдём модуль и главное значение аргумента данного чис-

ла:

z = 1+ 3 = 2; x = -1 < 0, = -3 < 0, Þ

1 . 2 . Действия над комплексными числами .

Пусть даны два комплексных числа z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z = a + ib, где a = a1 + a2, b = b1 + b2. Легко видеть, что при таком определении сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения, т.е.

z1 + z2 = z2 + z1 и z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3. Так же, как и в области дей-

ствительных чисел, сумма любого комплексного числа z с нулём равна этому числу z, т. е. z + 0 = z.

Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число z = a + ib называется разностью

комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2, если a = a1 – a2, b = b1 – b2.

Отмеченное выше соответствие между множеством всех комплексных чисел и плоскими векторами позволяют отождествить операции сложения и вычитания комплексных чисел с соответствующими операциями над векторами. При этом легко устанавливаются неравенства треугольника:

z1 + z2 £ z1 + z2 , z1 - z2 ³ z1 - z2 .

Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометрический смысл расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости.

Произведением комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 называ-

ется комплексное число z = a + ib такое, что a = a1a2 – b1b2, b = a1b2 + a2b1. При таком определении произведения выполняются переместительный:

z1∙z2 = z2∙z1, сочетательный: z1∙(z2∙z3) = (z1∙z2)∙z3 и распределительный: (z1 + z2)∙z3 = z1∙z2 + z2∙z3 законы. Заметим, что умножение на действительную единицу (1, 0) не меняет комплексного числа: z×1 = z. Чисто мнимое число ib можно рассматривать как произведение мнимой единицы i и действительного числа b. В силу определения произведения комплексных чисел справедливо соотношение i×i = i2 = – 1. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл алгебраической форме записи комплексного числа z = a + ib и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.

Для выполнения операции умножения удобно пользоваться триго-

7

нометрической формой комплексных чисел. Пусть

z1 = r1 (cosj1 + isin j1 ), z2 = r2 (cosj2 + isin j2 ) .

Согласно правилам умножения получаем

z = r(cosj + isin j) = z1 × z2 = r1 (cosj1 + isin j1 ) ×r2 (cosj2 + isin j2 ) = = r1r2 (cosj1 cosj2 - sin j1 sin j2 ) + ir1r2 (sin j1 cosj2 + cosj1 sin j2 ) =

Отсюда r = r1×r2, j = j1+ j2, т. е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число z = a + ib называется частным от деления комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 ¹ 0, если z1 = z2×z. Чтобы выполнить деление комплексных чисел z1 и z2 , умножим и разделим частное на комплексное число z2 = a2 - ib2 , сопряжённое числу z2:

=r1 (cos(j1 - j2 ) + isin (j1 - j2 )), r2

или в показательной форме z = r1 ei(ϕ1 −ϕ2 ). r2

Примеры.

1.4. Найти действительные решения уравнения

(4+2i)x+(5–3i)y = 13 + i.

Решение. Выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части:

(4x + 5y) + i(2x – 3y) = 13 + i.

8

1.5.Найти произведение комплексных чисел (3 + 5i)∙(4–i).

Решение.

(3 + 5i)∙(4 – i) = 12 + 20i – 3i – 5i2 = 12 + 17i + 5 = 17 + 17i.

1.6.Найти частное от деления комплексных чисел 43+-5ii .

Решение.

1 . 3 . Возведение компл ексного числа в степень и извлечение корня из комплексного ч исла.

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны при рассмотрении алгебраических операций возведения комплексного числа в целую положительную степень и извлечения корня из комплексного числа. Возведение комплексного числа

z = r(cos j + i sin j)

в натуральную степень n производится по формуле zn = rn (cosnj + isin nj),

т. е. zn = z n , Argzn = n × Argz + 2pk, k = 0,±1,±2,K

Отсюда получается формула Муавра

(cosj + isin j)n = cosnj + isin nj.

Комплексное число z1 = nz называется корнем n–й степени из комплексного числа z, если z = z1n . Из этого определения следует, что

r1 = nr и j1 = jn . Как было отмечено выше, аргумент комплексного чис-

ла определён не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного 2p. Поэтому корень n–й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находят по формуле

Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям nz , расположены в вершинах правильного n–угольника, вписанного в окружность радиуса nr с центром в точке z = 0.

9

Корень n–й степени из действительного числа a также имеет n различных значений; среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от чётности или нечётности n и знака числа a.

Примеры.

1.7. Найти все значения 41- i.

Решение. Приводим комплексное число 1 – i к тригонометрическому

1.8. Найти все значения 41 .

Решение. Запишем действительное число 1 в тригонометрической

10

2 . Функции комплексного пер еменного.

2 . 1 . Понятие функции комплексного перем енного

Говорят, что в области D комплексной плоскости z определена функция комплексного переменного w = f(z), если каждой точке zÎD поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений w.

Множество комплексных чисел w, соответствующих всем zÎD, называется множеством значений функции f(z).

Поскольку каждое комплексное число z = x + iy характеризуется парой действительных чисел x и y, то задание комплексной функции w = u + iv комплексной переменой z = x + iy эквивалентно заданию двух действительных функций двух действительных переменных, что можно записать в виде

w(z) = u(x,y) + i v(x,y).

Функции u(x,y) и v(x,y) определены в области D. Функция u(x,y) называется действительной, а функция v(x,y) – мнимой частью функции w = f(z).

Множество значений w функции f(z) на комплексной плоскости w может иметь самую разнообразную структуру. В частности, это может быть открытая область G или замкнутая область G. При этом геометрическая интерпретация понятия функции f(z) комплексной переменой заключается в том, что равенством w = f(z) устанавливается закон соответствия между точками области D комплексной плоскости z и точками области G комплексной плоскости w. Очевидно, устанавливается и обратное соответствие: каждой точке wÎG ставится в соответствие одна или несколько точек z области D. Это означает, что в области G задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной w: z = =j(w). Эта функция называется обратной функции f(z). Область G задания функции j(w) является областью значений функции f(z). Если функция j(w), обратная однозначной функции f(z), заданной в области D, является однозначной функцией в области G, то между областями D и G установлено однозначное соответствие. Говорят, что w – образ точки z, а

11

точка z – прообраз точки w при отображении w = f(z). Функция f(z) называется однолистной функцией в области D, если в различных точках z этой области она принимает различные значения. Из этого определения следует, что функция, обратная однолистной, является однозначной.

Примеры.

2.1. Найти действительную и мнимую части функции w = z3 - iz .

Решение.

Так как z = x + i × y , z = x - i × y , имеем

u + i × v = (x + i × y)3 - i ×(x - i × y) = (x3 - 3xy2 - y)+ i(3x2 y - y3 - x).

Следовательно, u(x,y) = x3 - 3xy2 - y, v(x,y) = 3x2 y - y3 - x.

2.2. Найти образ точки z0 =1- i при отображении w = (z - i)2 .

Решение.

w0 = (1- i - i)2 = (1- 2i)2 = -3 - 4i .

2.3. В какую кривую отображается единичная окружность |z| = 1 с

помощью функции w = z2 ?

Решение.

Так как по условию |z| = 1, то | ω | = |z|2 = 1. Следовательно, образом окружности |z| = 1 в плоскости z является окружность | ω | = 1 в плоскости ω , проходимая дважды. Это следует из того, что Arg w = 2Argz + 2pk ,

так что когда точка z описывает полную окружность |z| = 1, то её образ описывает окружность | w|=1 дважды.

2 . 2 . Основные элементарные фун кции комплексног о перем енного.

1. Дробно-рациональная функция

в частности, рациональной функцией является многочлен

w= a0zn + a1zn−1 +... + a0 .

2.Показательная функция ez определяется как сумма абсолютно

12

сходящегося во всей комплексной плоскости степенного ряда

ez =1+ z + z2 +L+ zn +L

2! n!

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1)ez1 +z2 = ez1 × ez2 при любых z1z2 .

2)ez+2πki = ez , (k = 0, ±1 , ±2 ,…), т. е. функция ez является периодиче-

ской с периодом T = 2pi.

3. Тригонометрические функции sin z и cos z определяются степенными рядами

где n = 1,2, …,

абсолютно сходящимися при любом значении z. Функции sin z и cos z – периодические с действительным периодом Т = 2p, имеют только дейст-

вительные нули при z = pk и z = p2 + pk соответственно, где

k=0, ±1,±2 ,…

Функции tg z , ctg z определяются равенствами

tgz = coszsin z , ctgz = coszsin z , они имеют действительный период Т = p.

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. Для функций e z , sin z, cos z имеют место формулы Эйлера:

4. Гиперболические функции.

Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяются равен-

Т = πi. Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой соотношениями:

sin z = – i sh iz, cos z = ch iz, tg z = – i th iz, ctg z = i cth iz.

13

sh z = – i sin iz, ch z = cos iz, th z = – i tg iz, cth z = i ctg iz. Очевидно и то, что ez = ex (cosy + isin y) , т. к. z = x + iy.

5. Логарифмическая функция Ln z, где z ¹ 0, определяется как функция, обратная показательной, причём

Ln z = ln z + i Arg z = ln z + i arg z + 2πki, (k = 0,±1,±2,L) ,

т.е. eLnz = z , arg z – главное значение z. Эта функция является многозначной. Главным значением Ln z называется то значение, которое получается

при k = 0; оно обозначается ln z: ln z = ln z + i arg z. Понятно, что Ln z = lnz + 2πki, k = 0, ±1,±2,L . Справедливы следующие соотношения:

плексное число, определяется равенством za = eaLnz . Это многозначная функция, и её главное значение равно za = eaLnz .

8. Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg z определяются как функции, обратные функциям sin z, cos z, tg z, ctg z соответственно. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую функцию.

Главные значения этих функций получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

9. Обратные гиперболические функции определяются следующим

образом: Arshz = Ln (z ± z2 +1), Archz = Ln(z ± z2 -1),

14

Примеры.

2.4. Найти значение модуля функции v = sin z в точке z = p + iln(2 + 5) .

Решение. Т. к.

z = ( x + iy), то ω = sin (x+ iy) = sin x cos iy + sin iy cos x = = sin x ch y + i sh y cos x,

( sh y = – i sin iy Þ sin iy = – shyi = -i shyi2 = ishy ).

Модуль функции sin z равен

sin z = sin2 xch2 y + sh2 ycos2 x = sin2 xch2 y + sh2 y(1- sin2 x) = = sin2 x (ch2 y - sh2 y)+ sh2 y = sin2 x + sh 2 y

Полагая z = p + iln(2 + 5) , найдём

sin(p + iln(2 + 5 )) = ish (ln (2 + 5)) = sh(ln(2 + 5 ))=

Этот пример показывает, что тригонометрическая функция sin z в комплексной плоскости может принимать значения по модулю большие единицы.

15