- •Міністерство освіти та науки України
- •Передмова
- •Вибір варіанту, рекомендації до виконання і вимоги до оформлення робіт
- •3. Динаміка Основні поняття
- •Алгоритм розв’язування задач динаміки, що пов’язані із складанням динамічних рівнянь руху
- •Завдання д-1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією постійних сил
- •Приклад д-1
- •Розв'язування.
- •Завдання д-2. Динамічні рівняння руху тіл
- •Завдання д-3. Теорема про зміну кінетичної енергії
- •Завдання д-4. Принцип д’Аламбера
- •Згідно до основного закону динаміки точки:
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •4. Література
- •П р и м і т к и
Завдання д-4. Принцип д’Аламбера
Умова завдання. Вертикальний вал (рис. Д4.0 – Д4.9, табл. Д4), що обертається з постійною кутовою швидкістю, закріплений підп’ятником в точціта циліндричним підшипником в точці, що вказана в табл. Д4 в стовпці 2До вала жорстко прикріплені невагомий стержень 1 довжиноюз вантажем масоюна кінці та однорідний стержень 2 довжиною, що має масу; обидва стержня знаходяться в одній площині. Точки кріплення стержнів до вала та величини кутівівказані в таблиці.
Визначити. Реакції підп’ятника та підшипника, нехтуючи вагою вала.
Табл.Д4
Номер умови |
Пiдшипник в точцi |
Закрiплення |
|
|
Номер умови |
Пiдшипник точцi |
Закрiплення |
|
| ||
стержня 1 в точцi |
стержня 2 в точцi |
стержня 1 в точцi |
стержня 2 в точцi
| ||||||||
0 |
B |
D |
K |
30 |
45 |
5 |
D |
K |
B |
30 |
45 |
1 |
D |
B |
E |
45 |
60 |
6 |
E |
B |
K |
45 |
30 |
2 |
E |
D |
B |
60 |
75 |
7 |
K |
E |
B |
60 |
75 |
3 |
K |
D |
E |
75 |
30 |
8 |
D |
E |
K |
75 |
60 |
4 |
B |
E |
D |
90 |
60 |
9 |
E |
K |
D |
90 |
45 |
Теоретичне обґрунтування : [5] § 133 – 135 ; [6] Розд.III. Гл.5. § 1 ;
[7] § 106 - 111 ; [8]; [9]; [12]; [13].
Методичні вказівки. Завдання Д-4 на тему “Принцип Д’Аламбера для механічної системи». Введемо поняття сил інерції точки. Сила інерції зумовлена прискореним рухом матеріальної точки, дорівнює добуткові маси точки на її прискорення і спрямована протилежно вектору прискорення. Тобто
(Д4.1)
Згідно до основного закону динаміки точки:
, (Д4.2)
де - рівнодійна активних сил,- рівнодійна сил реакцій в’язей.
З (Д4.2) маємо:
Або з урахуванням (Д4.1):
(Д4.3)
Вираз (Д4.3) є рівнянням умовної рівноваги точки, тобто рівноваги з урахуванням умовно прикладеної сили . Таким чином , принципД’Аламбера полягає в тому, що в кожний момент часу геометрична сума активних сил, сил реакцій в’язей, що діють на рухому матеріальну точку, та умовно прикладеної до точки сили інерції дорівнюють нулю.
Приклад Д-4
З невагомим валом ,що обертається з постійною кутовою швидкістю , жорстко скріплений стержень довжиноюі масою, що має на кінці вантажмасою(рис. Д4.а).
Дано:
Визначити:реакції підп’ятника та підшипника.
Розв’язування.
Розглянемо рух механічної системи, що складається з вала , стержнята вантажу.Для визначення невідомих реакцій застосуємо принцип Д’Аламбера. Проведемо осі , що обертаються разом з валом, таким чином, щоб стержень знаходився в площині, та зобразимо діючі на систему зовнішні сили: сили ваги, складовіреакції підп’ятника і реакціюпідшипника (рис.Д4.б).
За принципом Д’Аламбера прикладемо сили інерції елементів стержня та вантажу, вважаючи його матеріальною точкою. Враховуючи, що вал обертається рівномірно , елементи стержня мають тільки нормальні прискорення, спрямовані до осі обертання, чисельно:
,
де відстань елемента від осі.
Тоді сили інерції будуть спрямовані від осі обертання і чисельно:
,
де маса елемента.
Оскільки всі пропорційні, то епюра цих паралельних сил є трикутник і їх можна замінити рівнодійною, лінія дії якої проходить через центр ваги цього трикутника, тобто на відстанівід вершини, де(, тобто) .
Але, як звісно, рівнодійна будь якої системи дорівнює її головному вектору, а чисельно головний вектор сил інерції стержня:
,
де прискорення центра мас стержня.
Як і будь-який елемент стержня, центр його мас має тільки нормальне прискорення:
Таким чином отримаємо:
Аналогічно, сила інерції вантажу спрямована від осі обертання, а чисельно:
.
Всі діючі на систему сили і сили інерції знаходяться в одній площині , тому і реакції підп’ятникаі підшипникатакож знаходяться в цій площині, що було враховано при їх зображенні.
За принципом Д’Аламбера, прикладені активні сили, сили реакції та сили інерції складають зрівноважену систему сил. Таким чином, для отриманої плоскої системи сил , складемо три рівняння умовної рівноваги:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Підставимо числові значення, та знайдемо невідомі реакції. Через те, що , приймаючи, з рівняння (4.2) знайдемо:
.
З рівняння (4.3) знайдемо :
Підставимо отримане в рівняння (4.1) і знайдемо:
.
Відповідь:
. Знаки вказують на те, що сили таспрямовані протилежно показаним на рис. Д4.б
Завдання Д-5. Загальне рівняння динаміки
Умова завдання. Механічна система складається з однорідних ступінчастих шківів 1 і 2, обмотаних нерозтяжними нитками, вантажів 3 – 6, прикріплених до цих ниток, та невагомого блока (рис. Д5.0 – Д5.9, табл. Д5). Система рухається у вертикальній площині під дією сил ваги та пари сил з моментом , прикладеної до одного з шківів. Радіуси ступенів шківа 1 дорівнюють:, а шківа 2 –; радіуси інерції відносно осей обертання дорівнюють відповіднота. Вага тілзадана в табл. Д5. Вантажі, вага яких дорівнює нулю, на рисунку не зображати, шківи 1 і 2 зображати завжди.
Визначити. Прискорення вантажу, що має найбільшу вагу, нехтуючи тертям.
Табл. Д5
№ умови |
, |
, |
, |
, |
, | ||
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
10 0 20 0 30 0 40 10 0 30 |
0 40 30 20 0 10 0 20 40 0 |
20 0 40 10 20 30 0 0 10 40 |
30 10 0 30 0 40 20 40 0 20 |
40 20 10 0 40 20 30 0 30 10 |
0 30 0 40 10 0 10 30 20 0 |
10 12 16 18 12 16 10 18 12 16 |
Теоретичне обґрунтування : [5] § 137 – 141; [6] Розд.III. Гл.6. § 1 – 3 , 8;
[7] § 112, 117, 118 ; [8]; [9]; [12]; [13] .
Методичні вказівки. Завдання Д-5 на тему «Загальне рівняння динаміки». Для систем з геометричними, стаціонарними ідеальними в’язями означене рівняння має вигляд:
, (Д5.1)
де сума можливих робіт активних сил, що діють на систему;сума можливих робіт сил інерції.
(У наведених вище сумах під можливою роботою розуміється робота сил на якомусь можливому переміщенні системи).
Сили інерції точок, з яких складаються тверді тіла, можна звести до головного вектора та головного моменту сил інерції відносно вибраного центру зведення (в динаміці за центр зведення беруть точку - центр мас тіла). Для тіл, що виконують поступальний, обертальний або плоский рухи головний вектор і головний момент сил інерції визначаються за правилами.
Для тіла, що виконує поступальний рух:
- головний вектор , головний момент, (Д5.2)
де маса тіла,прискорення центру мас тіла.
Головний вектор сил інерції та прискорення центру мас спрямовані протилежно.
Для тіла, що виконує обертальний рух навколо нерухомої центральної осі:
- головний вектор , головний момент, (Д5.3)
де осьовий момент інерції, кутове прискорення тіла.
Головний момент сил інерції та кутове прискорення спрямовані протилежно.
Для тіла, що виконує плоский рух:
- головний вектор , головний момент, (Д5.4)
Головний вектор і головний момент сил інерції спрямовані протилежно відповідним прискоренням.
Приклад Д-5
Механічна система (рис. Д5.а) складається із з’єднаних нерозтяжними нитками блока 1 радіуса і ступінчастого шківа 2 (радіуси ступінейі, радіус інерції відносно осі обертання), а також вантажів 3 і 4, прикріплених до цих ниток. Система рухається у вертикальній площині під дією сил ваги та пари сил з моментом, прикладеної до блока 1.
Дано:
Визначити:прискорення вантажу 3, нехтуючи тертям.