2.2. Собственные и взаимные проводимости

Значения активных и реактивных мощностей, токов и напряжений при установившемся режиме могут быть найдены с помощью принципа наложения. При этом синхронные машины представляются некоторыми постоянными сопротивлениями с приложенными за ними ЭДС, а асинхронные двигатели – только сопротивлениями. Любая система может быть в этом случае представлена схемой, аналогичной схеме, показанной на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Схема замещения системы

Используя метод наложения, заменим рассмотрение данной схемы рассмотрением ряда подсхем, каждая из которых содержит только один источник ЭДС (например, в первой ветви - рис. 2.8).

Рис. 2.8. Подсхема с источником ЭДС в первой ветви

В этом случае ток в первой ветви может быть найден как

,

(2.5)

где - собственный ток первой ветви;

,,…,- взаимные токи первой ветви и остальных ветвей, содержащих источники ЭДС.

Собственный ток ветви – это составляющая тока в любой ветви, вызванная действием ЭДС, приложенной в данной ветви, при отсутствии ЭДС в других ветвях.

Собственный ток ветви с номером n равен

,

(2.6)

где - ЭДСn-ой ветви;

-собственная проводимость n-ой ветви, представляющая собой коэффициент пропорциональности между токомn-ой ветви и ЭДС этой же ветви при равенстве нулю ЭДС во всех остальных ветвях.

Взаимный ток двух ветвей– это составляющая тока в одной из ветвей, вызванная действием ЭДС в другой ветви при равенстве нулю ЭДС во всех остальных ветвях.

Взаимный ток ветвей n и m равен

,

(2.7)

где - ЭДС ветви с номеромm;

-взаимная проводимость ветвей n и m, представляющая собой коэффициент пропорциональности между током ветвиnи ЭДС, приложенной в ветвиm, при равенстве нулю ЭДС во всех остальных ветвях.

Величины, обратные собственным проводимостям ветвей, называются собственными сопротивлениями ветвей, а величины, обратные взаимным проводимостям ветвей, -взаимными сопротивлениями ветвей.

Любую из проводимостей можно представить как

,

(2.8)

где и- активная и реактивная проводимости;

- модуль комплексной проводимости (полная проводимость);

- аргумент (фаза) комплексной проводимости, т. е. угол между осью положительных вещественных значений и вектором, изображающим комплексную проводимость на комплексной плоскости (рис. 2.9);

и- активное и реактивное сопротивления;

- модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление);

;

.

Верхний знак в выражении (2.8) соответствует индуктивной проводимости, а нижний – емкостной.

При определении взаимных проводимостей часто получают отрицательные значения ее вещественной составляющей и угла. Это допустимо, т.к. взаимная проводимость характеризует не реальных элемент, а представляет собой комплексный коэффициент пропорциональности между током в одной ветви и напряжением в другой ветви. У собственных проводимостей активные составляющие и углыне могут быть отрицательными.

Рис. 2.9. Векторы комплексных сопротивлений и проводимостей

Собственные и взаимные проводимости можно найти различными способами:

1. способом наложения;

2. способом преобразований;

3. способом единичных токов;

4. с помощью матричных методов.

При применении способа наложенияиспользуются выражения (2.6) и (2.7).

Способ преобразованийзаключается в том, что исходная схема преобразуется к виду схемы, изображенной на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Схема, получаемая при использовании способа преобразований

Собственные и взаимные проводимости находятся в этом случае следующим образом:

,	(2.9)
,	(2.10)
и т.д.	(2.11)

При применении способа единичных токовделается предположение о том, что все ЭДС кроме одной равны нулю. Ток в одной из ветвей принимают равным единице и последовательно находят токи в ветвях и напряжения в узлах схемы при принятых допущениях, а затем определяют величину ЭДС, которая необходима для протекания единичного тока. В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Исходная схема

Будем считать, что все ЭДС, кроме равны 0, а в ветви 4 протекает ток(рис. 2.12).

Рис. 2.12. Схема с источником ЭДС в первой ветви

В этом случае напряжение в узле bравно

.

(2.12)

Ток в ветви 3

.

(2.13)

Ток в ветви 5

.

(2.14)

Падение напряжения на сопротивлении ветви 5

.

(2.15)

Напряжение в узле a

.

(2.16)

Ток в ветви 2

.

(2.17)

Ток в ветви 1

.

(2.18)

Падение напряжения на сопротивлении ветви 1

.

(2.19)

ЭДС ветви 1

.

(2.20)

После этого можно определить собственную проводимость первой ветви, а также взаимные проводимости первой и остальных ветвей

,	(2.21)
и т.д.	(2.22)

Для определения остальных собственных и взаимных проводимостей эту процедуру повторяют, последовательно вводя ЭДС во все генераторные ветви.

Вспомните значения терминов «транспонированная матрица», «обратная матрица», «первая матрица инциденций», «матрица узловых проводимостей», известных Вам из курсов «Математические задачи энергетики», «Теоретические основы электротехники».

Собственные и взаимные проводимости могут быть также найдены с использованием матричных методовна основании графа схемы замещения. Например, можно использовать выражение

,

(2.23)

где - матрица собственных и взаимных проводимостей ветвей;

- квадратная матрица сопротивлений ветвей, являющаяся при отсутствии взаимной индукции между ветвями диагональной матрицей;

- матрица соединений в узлах (первая матрица инциденций);

- матрица комплексных коэффициентов распределения напряжения, определяемая как

,

(2.24)

где - матрица узловых проводимостей.

Элементы главной диагонали матрицы являются собственными проводимостями ветвей, а остальные элементы – взаимными проводимостями.