Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної

ЛЕКЦІЯ 14

8. Задачі, що проводять до поняття похідної.

9. Вззначення похідної.

10. Механічний та геометричний зміст похідної.

11. Односторонні похідні.

12. Нескінченні похідні.

1. Задачі, що проводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки до деякої початкової точки даної прямої в момент часу через . Тоді в момент часу , де - приріст часу, точка буде знаходитися на відстані від точки рівній . Різницю назвемо приростом ляху.

Відношення називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу .

Швидкістю руху точки в момент часу або миттєвою швидкістю називається границя відношення при , тобто

.

Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху матеріальної точки з початковою швидкістю і прискоренням .

Розв'язування. Залежність шляху від часу при рівно прискореному русі виражається формулою . Тоді . Отже,

.

Після спрощення одержуємо

.

Таким чином

.

Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані від початкової точки (див. рис. 11).

Позначимо величину маси відрізка . Візьмемо деяку точку , яка знаходиться на відстані від початкової точки . Тоді маса відрізка буде рівною . Отже, маса відрізка , яку ми назвемо приростом маси в точці ,

.

Відношення називається середньою густиною стержня на відрізку і позначається .

Лінійною густиною стержня в точці називається границя відношення при , тобто

.

Приклад. Нехай маса стержня довжини задається формулою , де - сталі числа. Знайти лінійну густину в точці , яка знаходиться на відстані від початку стержня.

Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці

.

Отже,

.

Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої в точці називається пряма , з якою співпадає граничне положення січної за умови, що точка по кривій прямує до точки (рис. 12).

Зазначимо, що не в кожній точці крива може мати дотичну. В точках, яких крива зазнає зламу, дотична до кривої не існує. Так, наприклад, не існують дотичні у точці кривої (рис. 13), точці кривої (рис. 14), точці кривої (рис. 15).

Розглянемо криву, яка задана в системі координат рівнянням , де неперервна функція, визначена на деякому проміжку . Поставимо задачу: знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці , де (рис. 16).

Візьмемо на кривій точку . Через точки проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі кут . Тоді .

Якщо точка по кривій наближатиметься до точки , то координати точки наближатимуться до координат точки , тобто

.

Звідси випливає, що коли точка , то . З іншого боку, якщо , то за неперервністю функції маємо: , тобто і при цьому . Таким чином

.

Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну - через , то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто

.

2. Означення похідної

Нехай в деякому проміжку визначена функція . Виберемо довільну точку і надамо приросту такого, що .

Зазначимо, що може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст . Нехай в точці існує границя .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Похідну функції в точці позначають так: або . Отже, за означенням

.

Якщо функція має похідну в кожній точці , то похідна є функцією від і в цьому випадку позначається так: або .

3. Механічний та геометричний зміст похідної

Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість, а саме: похідна від пройденого шляху по часу дорівнює миттєвій швидкості в момент часу , тобто

.

Геометричний зміст похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна , якщо вона існує, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з координатами , .

4. Односторонні похідні

Використовуючи означення правої і лівої границі, введемо поняття правої і лівої похідної функції в точці .

Правою (лівою) похідною функції в точці називається права (ліва) границя відношення при (за умови, що ця границя існує).

Права похідна позначається так: , а ліва .

Якщо функція в точці має похідну, то вона має як праву, так і ліву похідну і ці похідні рівні між собою. Проте не в кожній точці , у якій існують права і ліва похідні, існує похідна функції. Так, наприклад, функція в точці має праву похідну

і ліву , але похідної в точці функція не має, оскільки .

5. Нескінченні похідні

Якщо відношення при прямує до або , то це невласне число називається нескінченою похідною.

Геометричний зміст похідної як кутового коефіцієнта дотичної розповсюджується і на цей випадок. Тут дотична паралельна вісі (рис. 17, 18, 19).

Аналогічно установлюється поняття односторонньої нескінченої похідної. У цьому випадку наявність в точці різних за знаком односторонніх нескінченних похідних забезпечує існування єдиної вертикальної дотичної.

ЛЕКЦІЯ 15

13. Диференційовність функції.

14. Похідні елементарних функцій.

15. Похідна оберненої функції.

1. Диференційовність функції

Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де - деяке число, не залежне від , а - нескінчено мала функція при , тобто .

Зв'язок між диференційованістю функції в точці і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

Доведення. Необхідність. Нехай функція диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді

.

Звідси випливає, що в точці існує похідна .

Достатність. Нехай функція має в точці похідну . За означенням похідної маємо . За властивістю границі є нескінченно малою функцією при . Отже, , тобто , де деяке число, а .

Зауваження. Вираз не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти .

Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

Теорема . Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Так як функція диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .

Тоді

.

Отже, в точці , де функція диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці функція неперервна.

Наслідок. Якщо функція в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.

Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.

2. Похідні елементарних функцій

Похідна сталої функції. Похідна функції , де при виражається формулою .

Доведення.

.

Похідна степеневої функції . Область визначення цієї функції залежить від . Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню точку області визначення . Тоді

.

Зауваження. Якщо , то легко безпосередньо одержати значення похідної при . Отже, для будь-якої точки , де - область визначення функції , маємо: .

Приклади.

Похідна показникової функції .

Приклади.

Похідна логарифмічної функції .

Зокрема, якщо , то .

Похідні тригонометричних функцій.

Нехай . Тоді

Аналогічно доводиться, що функція має похідну .

Якщо , то

Аналогічно доводиться, що функція

має похідну .

3. Похідна оберненої функції.

Теорема. Нехай функція задовольняє всі умови теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має похідну і

.

Доведення. Надамо значенню деякий приріст . Тоді функція одержить відповідний приріст . Оскільки , то за однозначністю функції , . Отже, .

Якщо , то за неперервністю функції . Звідси маємо

.

Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо функцію . За означенням функції

.

Згідно теореми про похідну оберненої функції

.

Зауваження. Тут враховано, що при виконуються співвідношення , тобто . Отже, , а тому . Точки не розглядаються, так як і .

Аналогічно одержуються похідні інших обернених тригонометричних функцій:

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

16. Похідна суми, добутку, частки.

17. Похідна складеної функції.

18. Логарифмічна похідна.

19. Параметричне задання функції. Диференціювання параметрично заданих функцій.

20. Таблиця похідних.

1. Похідна суми, добутку, частки

Теорема. Якщо функції і диференційовані в точці , то сума , різниця , добуток , і частка цих функцій диференційовані в цій точці і мають місце наступні співвідношення:

Доведення. Нехай функції і диференційовані в точці . Тоді, згідно означення похідної, маємо:

1)

2)

3)

2. Похідна складеної функції.

Теорема. Якщо функція в точці має похідну по , і функція в точці має похідну по , то складена функція в точці також має похідну, причому

.

Доведення. Оскільки функція диференційована в точці , то її приріст у цій точці можна подати у виді: де . Звідси маємо:

.

Оскільки за умовою функція має в точці похідну, то вона в цій точці неперервна. Отже, , якщо і тоді . А тому

,

тобто .

Приклади.

1. Знайти похідну функції .

Розв'язання. .

2. Знайти похідну функції .

Розв'язання. .

3. Логарифмічна похідна

Нехай потрібно знайти похідну показниково - степеневої функції , де і функції, які в точці мають похідні й . Оскільки , то

.

Звідси маємо

,

тобто

.

Приклад. Знайти похідну функції .

Розв'язування.

4. Параметричне задання функції. Диференціювання параметрично заданих функцій.

Нехай задано неперервні на проміжку функції ,

однієї незалежної змінної . Якщо функція строго монотонна, то і обернена до неї функція строго монотонна і також неперервна. Отже, можна розглядати як функцію, що залежить від через змінну , яка називається параметром, тобто . У цьому випадку говорять, що функція від задана параметрично за допомогою рівнянь

.

Приклад. Рівняння кола з центром у початку координат, радіус якого рівний , у декартовій системі координат має вигляд

.

Якщо на колі взяти довільнк точку і через позначити величину кута, що утворює радіус - вектор з додатним напрямом осі , то одержимо: де (рис. 20).

Якщо функції диференційовані в кожній точці інтервалу і зберігає знак при , то функція на інтервалі строго монотонна (що буде встановлено далі), а тому має обернену функцію на інтервалі , яка є неперервною і строго монотонною. Отже, на інтервалі визначено складену функцію , яка в довільній точці має похідну .

Враховуючи формулу похідної оберненої функції маємо:

.

Приклад. Знайти , якщо .

Розв'язування.

5. Таблиця похідних деяких елементарних функцій

ЛЕКЦІЯ 16

21. Диференціал функції.

22. Похідні вищих порядків.

23. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

24. Диференціали вищих порядків.

1. Диференціал функції

Нехай функція диференційована в точці . Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де при . Отже, доданок є головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від .

Диференціалом функції в точці називається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від .

Диференціал функції позначається так:

.

Враховуючи, що , маємо

.

Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: .

Отже,

.

Із останньої формули випливає, що похідну можна обчислити як відношення диференціалів:

.

Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка (рис. 21) на графіку функції має координати , де .

Пряма - дотична до графіка функції в точці . Тоді приріст в точці , який відповідає приросту аргументу, рівний величині відрізка . Оскільки і , то, враховуючи, що , маємо: диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою , тобто дорівнює величині відрізка .

Оскільки диференціал функції є головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності , тобто

.

Отже

(1)

Приклад. Знайти наближено .

Розв'язування. Розглянемо функцію . Покладемо . Тоді . Далі маємо .

Отже, .

Якщо функції диференційовані, то мають місце наступні формули:

,

,

,

.

Нехай тепер маємо складену функцію , де диференційовані функції в точках і . Тоді

.

Так як

,

то

.

Оскільки , то маємо .

Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.

2. Похідні й диференціали вищих порядків

Похідна функції сама є деякою функцією аргументу . Отже, можна ставити питання про існування похідної від функції . Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною. ЇЇ позначають або . Отже, .

Приклад. Знайти похідну другого порядку функції .

Розв'язування.

,

.

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається третьою похідною, або похідною третього порядку і т. д.

Якщо визначена похідна - го порядку функції , то похідною - го порядку називається перша похідна похідної - го порядку, тобто

.

Похідні, починаючи з похідної другого порядку, називаються похідними вищих порядків.

Формули п- них похідних деяких функцій. Нехай маємо функцію , тоді

Отже, похідну - го порядку функції можна знайти за формулою

Аналогічно можна одержати формулу для обчислення - ої похідної функції

Обчислимо - ну похідну функції .

Нехай маємо показникову функцію . Послідовно диференціюючи цю функцію, одержуємо

Зокрема,

3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

Нехай , де - функції, які мають похідні будь-якого порядку. Тоді

Праві частини одержаних рівностей подібні на розвинення бінома Ньютона, але замість показників степенів стоять числа, які визначають порядок похідних. При цьому самі функції розглядаються як "похідні нульового порядку", тобто . Враховуючи це, одержуємо

Зауваження. Доведення викладених вище формул похідних проводиться методом математичної індукції.

4. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y = f (x)

диференційована в кожній точці деякого проміжку . Її диференціал першого порядку dy =f ?(x)dx

є функцією двох змінних: аргументу і диференціала . Нехай також диференційована в кожній точці деякого проміжку . Будемо розглядати у виразі диференціал як постійний множник. Тоді

.

Диференціал називається диференціалом другого порядку і позначається . Отже,

.

Диференціал від диференціала , взятий при постійному називається диференціалом -го другого порядку функції і позначається .

Методом математичної індукції можна встановити, що

.

Із останньої формули випливає, що

,

або в іншій редакції

.