Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
3.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
32.91 Кб
Скачать

3. Класифікація точок розриву функції.

Точка називається точкою розриву функції , якщо функція у точці не є неперервною.

Точки розриву класифікують наступним чином.

Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто

,

але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .

Якщо в точці функція має скінченну границю справа і скінченну границю зліва й , то точка називається точкою розриву функції із скінченним стрибком.

Розриви другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці функція не має принаймні однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є нескінченною.

Кусково-неперервні функції. Функція називається кусково-неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках , за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має розрив 1-го роду і , крім того, має односторонні границі в точках та .

ЛЕКЦІЯ 12

4. Основні властивості неперервних функцій.

1. Основні властивості неперервних функцій

Перша теорема Больцано-Коші (теорема про обернення функції в нуль). Нехай функція неперервна на відрізку і на його кінцях значення функції мають різні знаки. Тоді існує точка така, що .

Доведення. Нехай для визначеності . Розділимо відрізок навпіл. Якщо , то теорема доведена. Якщо , то виберемо ту половину відрізка , на кінцях якої функція має значення різних знаків, і позначимо її . Розділимо відрізок навпіл. Якщо , то теорема доведена, в іншому випадку виберемо ту половину відрізка , на кінцях якої функція має значення різних знаків, та позначимо її . Якщо цей процес продовжувати необмежено, то або на якомусь -ому кроці значення функції в середині відрізка буде рівним нулю і тоді теорема доведена, або одержимо послідовність укладених відрізків

таких, що при і на кінцях кожного з відрізків функція має значення різних знаків, .

За теоремою про вкладені відрізки існує точка , яка належить кожному із відрізків і . Ураховуючи неперервність функції (зокрема в точці ), маємо .

Звідси одержуємо .

Друга теорема Больцано-Коші (теорема про проміжне значення). Нехай функція неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізка приймає значення де . Тоді для будь-якого числа існує точка така, що .

Доведення. Нехай для визначеності . Розглянемо допоміжну функцію

. Ця функція неперервна на відрізку і

, .

За першою теоремою Больцано-Коші існує точка така, що . Але . Отже, , тобто .

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку . Припустимо, що вона на відрізку не обмежена. Поділимо відрізок пополам і виберемо ту його частину, де функція не обмежена. Позначимо її . Відрізок також поділимо пополам і виберемо ту його частину, де функція не обмежена. Позначимо вибрану половину . Продовжуючи необмежено цей процес, одержимо послідовність укладених відрізків

таких, що при . За теоремою про вкладені відрізки існує точка , яка належить кожному із них і . За означенням границі послідовності для будь-якого числа >0 існує такий номер , що при з іншого боку, існує такий номер , що при . Нехай . Тоді при виконуються нерівності: , тобто всі відрізки , де попадають в інтервал . Таким чином, функція не обмежена в деякому -околі точки . Але це неможливо, оскільки функція неперервна на відрізку , а значить, неперервна і в точці , тобто в точці існує скінченна границя функції , а тому в околі цієї точки вона обмежена.

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку своїх точних меж, тобто існують такі точки , що

.

Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку . За першою теоремою Вейєрштрасса функція на відрізку обмежена. Отже, вона має точну верхню межу і точну нижню межу . Покажемо, що існує точка така, що . Припустимо, що в жодній точці відрізка функція не приймає значення, рівного , тобто для всіх точок . Складемо допоміжну функцію . Ця функція на відрізку неперервна, а тому обмежена. Отже, існує число таке, що для всіх .

Із цієї нерівності маємо: . Таким чином, - верхня межа функції на відрізку . Але це суперечить тому, що число точна верхня межа цієї функції на відрізку . Звідси випливає, що зроблене припущення неправильне, тобто існує точка така, що .

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Зауваження. Точна верхня межа функції , неперервної на відрізку , називається її найбільшим (максимальним) значенням на цьому відрізку, а точна нижня межа - її найменшим (мінімальним) значенням. Різниця , де , називається коливанням функції на відрізку .

ЛЕКЦІЯ 13

5. Поняття рівномірної неперервності функції.

6. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

7. Теорема про неперервність оберненої функції.

1. Поняття рівномірної неперервності функції.

Нехай функція неперервна на деякому проміжку . Виберемо довільну точку . Тоді за означенням неперервності функції в точці для довільного числа знайдеться число таке, що нерівність виконуватиметься для всіх , що задовольняють умову .

Зрозуміло, що число залежить як від числа , так і від (див. рис. 10).

Виникає питання, чи існують неперервні функції, визначені на певних проміжках, такі, що для будь-якого числа знаходилося б , незалежне від , тобто, щоб було єдиним для довільного значення із проміжку визначення функції (залежне лише від ) і таким, що нерівність виконувалася б за умови .

Розв'язання цього питання приводить до поняття рівномірної неперервності функції.

Функція називається рівномірно неперервною на проміжку , якщо для будь-якого числа існує таке, що для довільних точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.

Доведення. Нехай для деякого визначеного числа не існує такого числа , про яке йде мова в означенні рівномірної неперервності. У такому випадку для будь-якого числа знайдуться такі два значення , що , але .

Візьмемо послідовність додатних чисел, збіжну до нуля, . Для кожного знайдуться в значення такі, що , але . Оскільки кожне належить відрізку , то послідовність , про яку йде мова, обмежена. Отже, із неї можна вибрати підпослідовність, збіжну до деякої точки , яка належить відрізку . Для спрощення позначень будемо вважати, що сама послідовність збігається до . Оскільки , то і . Отже, послідовність також збігається до . Тоді за неперервністю функції на відрізку й із того, що , випливає: і .

Звідси маємо , що суперечить тому, що за припущенням для всіх значень .

Звернемо увагу на те, що наведена теорема не виконується, якщо замість відрізка узяти інтервал чи один із півінтервалів .

Приклад. Функція неперервна на інтервалі , але вона не є на цьому інтервалі рівномірно неперервною. Дійсно, нехай фіксоване. Тоді б яке ми не взяли, завжди знайдуться точки , достатньо близькі до нуля, і такі, що , але .

Наслідок. Нехай функція визначена та неперервна на відрізку . Тоді за заданим знайдеться таке , що при розбитті відрізка на частинні відрізки, які не мають спільних точок або мають єдину спільну точку і довжини яких менші від , коливання функції на кожному із частинних відрізків буде меншим від .

3. Теорема про неперервність оберненої функції.

Нехай функція визначена, строго монотонна й неперервна на деякому проміжку , і нехай множина ? множина значень. Тоді на множині обернена функція однозначна, строго монотонна та неперервна.

Доведення. Нехай для визначеності функція на множині зростаюча, тобто для довільних , що задовольняють умову , виконується нерівність .

Однозначність оберненої функції випливає з того, що, оскільки зростаюча на , справедлива нерівність при . Отже, кожному відповідає єдине значення .

Покажемо, що обернена функція на множині зростаюча. Дійсно, якщо , то , оскільки за умови виконувалася б умова , що суперечить допущенню .

Установимо тепер, що функція на множині неперервна. Для цього спочатку доведемо наступну лему.

Лема. Якщо множина значень монотонно зростаючої (спадної) функції , визначеної на деякій множині , знаходиться в деякому проміжку , який вона заповнює весь, то функція в проміжку неперервна.

Щоб це довести, візьмемо точку , котра не є його правим кінцем, і покажемо, що в цій точці функція неперервна справа. Точка належить проміжку і не є його кінцем тому, що є значення такі, що і їм відповідають у значення . Нехай довільне, але настільки мале число, щоб значення також належало проміжку . Оскільки за припущенням , то існує таке значення , що , причому ( оскільки при і ). Покладемо , тобто . Якщо тепер , тобто , то або .

Це і означає, що . Тобто функція неперервна в точці справа.

Аналогічно можна встановити неперервність функції у точці зліва, якщо не є лівим кінцем проміжку . Звідси в сукупності буде випливати твердження, що розглядаємо.

Перейдемо до доведення неперервності функції . Оскільки ця функція, як уже встановлено, монотонна і її значення, згідно з умовою, заповнюють увесь проміжок , то відповідно до леми функція неперервна.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]