1. Критерії і методи оптимізації

Математичні моделі машин та апаратів широко використовуються для оптимізації конструкції та режимів експлуатації устаткування. Процес оптимізації починається з вибору критерію оптимізації. На підставі вибраного критерію оптимізації складається цільова функція, залежність цього критерію від параметрів, що впливають на його значення. Взаємний зв'язок параметрів устаткування визначається за допомогою математичної моделі.

Задача оптимізації зводиться до знаходження екстремуму (мінімуму або максимуму) цільової функції. Якщо екстремум цільової функції знаходиться зовні області безпечної роботи устаткування або зовні значень параметрів реальної конструкції устаткування, то у середині цієї області визначаються якомога більша або менша величини цільової функції.

Суть оптимізації полягає в розв’язанні компромісної задачі, коли одні з параметрів цільової функції збільшують значення критерію оптимізації, а інші– зменшують. Наприклад, збільшення діаметра трубопроводу, по якому за допомогою насоса подається рідина, з одного боку, приводить до зниження витрат електроенергії на подачу рідини насосом, а з другого – до зростання витрат на метал для збільшення діаметра трубопроводу. Шляхом оптимізації можна знайти величину діаметра трубопроводу, при якій сума капітальних і експлуатаційних витрат на трубопровід буде мінімальною.

Критерії оптимізації прийнято ділити на техніко-економічні, економічні та техніко-технологічні. Використовують також інтегральні, комбіновані, комплексні критерії оптимізації і низку інших.

До техніко-економічних критеріїв належать такі параметри машин й апаратів, як продуктивність, довговічність, надійність тощо. Найбільш часто вживаним із них є продуктивність. Цей параметр входить, як правило, в багато критеріїв оптимізацій, але може служити і самостійним критерієм. В якості самостійного його доцільно застосовувати тоді, коли розв'язується задача підвищення продуктивності обладнання без погіршення інших показників. Цей критерій застосовують як при оптимізації конструкції устаткування при проектуванні, так і при визначенні оптимальних режимів роботи обладнання при експлуатації.

Найбільш широко використовуються наступні економічні критерії оптимізації:

– питома вартість процесу;

– приведені розрахункові витрати;

– прибуток виробництва.

Питома вартість С_пит процесу, що виникає в устаткуванні, виражається відношенням вартості експлуатаційних витрат (сумарної вартості енергетичних N і трудових L витрат за одиницю часу роботи устаткування) до його продуктивності W. Цільова функція цього критерію має такий вигляд:

С_пит = (N + L)/W. (1)

Цей критерій є більш обширний, ніж продуктивність, оскільки враховує експлуатаційні витрати, які необхідні для досягнення заданої продуктивності.

Приведені розрахункові витрати на одиницю продуктивності З враховують не тільки експлуатаційні, але і капітальні витрати К, необхідні для досягнення продуктивності W.

Цільова функція цього критерію має вигляд

З = (С + Е_н∙К)/ W, (2)

де С – собівартість продукції;

Е_н – нормативний коефіцієнт ефективності капіталовкладень.

Прибуток виробництва П включає вартість експлуатаційних витрат (N+L), а також вартість сировини Ц_о і вартість одержаного кінцевого (готового) продукту Ц_к віднесені до одиниці часу роботи устаткування τ, тобто

, (3)

де S_к, S₀ – продуктивність устаткування відповідно до готового продукту та сировини.

Якість готового продукту є техніко-економічним критерієм оптимізації і залежить, як відомо, від конструкції устаткування й режиму його роботи. Наприклад, при переробці нафтопродуктів зміна температури і тривалості перероблення приводить до зміни якості готового продукту. Отже, при оптимізації такого устаткування необхідно визначити параметри експлуатації, які забезпечили б необхідну якість готового продукту.

Розглянуті вище критерії призначені для оптимізації устаткування при його безперервній роботі. Разом із тим є машини й апарати, які працюють періодично. Наприклад, теплообмінне устаткування після певного часу безперервної роботи зупиняють на очищення поверхні нагріву від накипу. У цьому випадку виникає задача вибору оптимальної циклічності роботи устаткування.

Як критерії оптимізації при цьому вибирають середньоциклові показники продуктивності , собівартості або прибутку . Цільові функції цих критеріїв в інтегральній формі мають такий вигляд:

; (4)

; (5)

, (6)

де W(τ), S_к(τ), S₀(τ) – поточні значення продуктивності відповідно до випарованої води, готового продукту і сировини;

Т_р, Т_ч – час безперервної роботи устаткування й на очищення поверхні теплообміну;

Q_p(τ), Q_ч(τ) – поточні експлуатаційні витрати в період роботи устаткування та зупинення на його очищення.

Поточні значення вказаних вище параметрів визначаються з математичної моделі устаткування.

Методи оптимізації вибирають залежно від виду цільової функції і складності математичної моделі, а також від типу вживаної обчислювальної техніки. Використовуються аналітичні методи, розроблені в класичній математиці (варіаційні, множників Лагранжа й ін.), а також чисельні із застосуванням ЕОМ.

Аналітичні методи застосовуються тоді, коли цільова функція задана аналітичною залежністю з однією або невеликою кількістю незалежних змінних. Пошук екстремуму цільової функції в цьому випадку зводиться до визначення її першою похідною, прирівнюванню її значення до нуля і розв’язання одержаного рівняння алгебри.

Якщо цільова функція має декілька незалежних змінних, то прирівнюються до нуля її перші часткові похідні по кожній незалежній змінній. Для визначення характеру екстремуму (мінімум або максимум) обчислюється друга похідна функції. Якщо вона позитивна, то функція має мінімум, якщо негативна, то максимум. Коли друга похідна рівна нулю, необхідно проаналізувати її в околі точки оптимуму функції або дослідити вищі похідні. При цьому якщо перша вища похідна, не рівна нулю, має парний порядок, то екстремум є. Якщо ж відмінна від нуля похідна має непарний порядок, то екстремум відсутній.

Якщо на незалежні змінні накладаються обмеження типу рівності, то використовується метод множників Лагранжа. При визначенні оптимального значення, коли незалежними змінними є незалежні функції, можуть застосовуватися варіаційні методи. Чисельні методи використовують лише для оптимізації машин і апаратів, що мають складні математичні моделі, на основі яких складені цільові функції. Найбільше поширення набули градієнтні методи, методи випадкового пошуку, сканування, сімплексний та ін.

Градієнтні методи оптимізації застосовуються для пошуку екстремального значення нелінійних функцій з обмеженнями і без них, а також коли функція аналітично не описана. Суть градієнтних методів полягає у визначенні величин незалежних змінних, що дають найбільші зміни цільової функції. При оптимізації цими методами рух до оптимуму здійснюється у напрямі найшвидшого зростання вихідного параметра, тобто у напрямі градієнта цільової функції. Напрям вектора градієнта коректується після кожного кроку, тобто кожного разу наново обчислюється значення вектора градієнта. Різновидом градієнтного методу є метод найскорішого спуску або крутого сходження. Цей метод застосовують для відшукування локального оптимуму.

Методи випадкового пошуку застосовують тоді, коли цільова функція має декілька максимумів або мінімумів. Ці методи дозволяють визначити глобальний (головний) оптимум.

Метод сканування застосовують у тих же випадках, що і метод випадкового пошуку. Суть методу сканування полягає в послідовному перебиранні значень параметра оптимізації по всій поверхні цільової функції та знаходженні серед точок цієї поверхні точки, в якій параметр оптимізації має оптимальне значення. Перевагою методу є те, що при густому розташуванні точок гарантується відшукування глобального оптимуму, а також те, що пошук не залежить від виду функції, яка оптимізується.

Сімплексний метод полягає в тому, що розрахунки проводять тільки в точках факторного простору цільової функції, які відповідають вершинам симплекса, що значно скорочує процес обчислень. Число вершин симплекса на одиницю перевищує розмір факторного простору. На площині симплексом є трикутник, у тривимірному просторі – тетраедр і т.д.

Для просування до екстремуму переходять від початкового симплексу до симплексу, що знаходиться в області більш високого значення цільової функції. Пошук екстремуму вважається закінченим, коли припиняється поступальний рух симплекса. При цьому симплекс починає обертання навколо однієї з вершин.