- •Міністерство освіти і науки україни
- •Критерії і методи оптимізації
- •Завдання до виконання контрольної роботи
- •Послідовність виконання контрольної роботи
- •3.1 Оптимізація розмірів відкритого збірника
- •3.2 Оптимізація витрат на створення й експлуатацію трубопроводу
- •Рекомендована література
- •Завдання
- •Студентові групи_______ ___________________________ Тема роботи “Моделювання й оптимізація апаратів“
- •Контрольна (практична) робота
Завдання до виконання контрольної роботи
Контрольна робота на тему “Моделювання й оптимізація апаратів” є одним з етапів у вивченні дисципліни “Теорія технічних систем”, а також самостійною роботою, яка дає можливість закріпити здобуті студентами знання, виробити вміння та навички, необхідні для професійної діяльності інженера-механіка основного й допоміжних виробництв нафтогазових підприємств, машинобудівних і ремонтних заводів, проектно-конструкторських і науково-дослідних організацій; для фахівців, які працюють у системах збору й транспортування рідин, газів та їх сумішей.
Тематика контрольної роботи відповідає спеціалізаціям випускаючих кафедр за напрямом 7.0902 “Інженерна механіка”.
В якості апаратів, які необхідно оптимізувати, виступають окремі види технологічного обладнання, подаються нижче:
Відкритий збірник.
Трубопровід.
У завданні наводяться параметри промислового призначення, які необхідні для проведення необхідних розрахунків.
Форма завдання наведена в додатку А.
Послідовність виконання контрольної роботи
Під час виконання контрольної роботи необхідно розв’язати дві задачі оптимізації, які наводяться в порядку збільшення складності математичних моделей у наступній послідовності:
Оптимізація розмірів відкритого збірника.
Оптимізація витрат на створення й експлуатацію трубопроводу.
Методику розв’язання даних задач наведено нижче.
3.1 Оптимізація розмірів відкритого збірника
У бланку завдання наведені всі необхідні дані для розв’язання задачі оптимізації розмірів відкритого збірника.
Математична модель збірника, яка виражає залежність його об'єму від довжини L, ширини B і висоти H, має вигляд
V = LBH. (7)
Збірник матиме мінімальну масу в тому випадку, якщо його сумарна площа поверхні дна і стінок буде мінімальною. Задача полягає в мінімізації цільової функції, яка виражає цю поверхню:
F(L, B, H) = LB+2LH+2BH. (8)
Вид обмеження f(L, B, H) = 0, тобто f(L, B, H) = LBH - V.
Ця задача може бути розв’язана аналітичним методом, наприклад, методом множників Лагранжа. Для цього вводимо допоміжну функцію виду
(L, B, H, ) = F(L, B, H) + ( L, B, H - V) (9)
або
(L, B, H, ) = LB+2LH+2BH+( LBH - V). (10)
Знаходимо часткові похідні цієї функції за L, B, H, і прирівнюємо їх до нуля:
(11)
Для визначення значень L, B, H розв’язуємо систему одержаних рівнянь алгебри. Із першого рівняння системи знаходимо
=(B+2H)/(BH). (12)
Визначивши з другого рівняння системи і прирівнявши до одержаного раніше, знаходимо L=В.
Із третього рівняння системи знаходимо = –4/В (з урахуванням того, що L=В). Тоді з першого рівняння виходить, що B=2H.
Отже,
, звідки (13)
; (14)
L=B; (15)
. (16)
Тоді сумарна площа поверхні дна і стінок збірника
. (17)
Після знаходження загальної площі дна і стінок оптимізованого збірника необхідно порівняти її з площею збірника без проведення оптимізації з припущенням, що L=B=H, в цьому випадку
(18)
тоді
F = 5L2. (19)
Згідно отриманих результатів необхідно зробити відповідні висновки.
3.2 Оптимізація витрат на створення й експлуатацію трубопроводу
Вихідні дані для розв’язання задачі оптимізації витрат на створення та експлуатацію трубопроводу наведені в завданні, а продуктивність насоса залежно від параметрів трубопроводу – в додатку Б.
Для трубопроводу основним параметром є його діаметр, оскільки він визначає масу і вартість трубопроводу (капітальні витрати), а також втрату в ньому тиску на подолання гідравлічного опору. Витрата і вартість електроенергії є складовими експлуатаційних витрат. Чим менший діаметр трубопроводу, тим він дешевший, але при цьому через необхідність збільшення швидкості рідини в ньому збільшуються гідравлічний опір і витрати електроенергії, яка споживається насосом для його подолання.
Для визначення оптимального діаметра трубопроводу доцільно застосувати критерій приведених розрахункових витрат, оскільки він ураховує капітальні й експлуатаційні витрати.
Цільова функція цього критерію стосовно трубопроводу має вигляд
, (20)
де З – приведені розрахункові витрати, грн/м3;
– час роботи, год. (згідно із завданням);
–норма амортизаційних відрахувань устаткування і будівель ;
–норма експлуатаційних витрат устаткування та будівель ;
Кн, Ктр, Кзд – капітальні витрати на насос, трубопровід і будівлю, грн.;
с1 – вартість 1 кВтгод електроенергії, грн/кВтгод (с1=0,25 грн.);
N – електрична потужність, споживана насосом, кВт;
Ен – нормативний коефіцієнт ефективності капіталовкладень (Ен=0,17);
Q – витрата продукту, м3/год.
Параметри Кн, Ктр, Кзд, N, Q, що входять у цільову функцію, визначаються з математичної моделі насоса і трубопроводу, що складається з наступних виразів. Капітальні витрати на трубопровід діаметром dтр=0,15…0,25 м обчислюються за формулою, одержаною апроксимацією даних прейскурантів цін,
, (21)
де А – коефіцієнт, що враховує подорожчання трубопроводу за наявності термоізоляції (А = 1,1-1,2);
L – довжина трубопроводу, м.
Капітальні витрати на спорудження будівлі Кзд = 25000 грн.
Капітальні витрати на насос та запірно-регулюючу арматуру приймаються рівними Кн=1000 грн.
Електрична потужність, яка споживається насосом залежно від продуктивності насоса визначається за формулою, одержаною апроксимацією каталожних даних насосів,
, (22)
де k, m, e – постійні коефіцієнти, які визначаються типом насоса, приймаємо k=22; m=0,104545; e=20.
Характеристику трубопроводу, що виражає залежність напору продукту Н від його витрати і діаметра трубопроводу dтр, визначають за формулою
, (23)
де Р1, Р2 – тиск на всмоктуючій і нагнітальній сторонах трубопроводу згідно із завданням;
ρ – густина продукту, приймаємо ρ = 1000 кг/м3;
h – висота підйому продукту згідно із завданням;
λтр – коефіцієнт опору тертя по довжині трубопроводу, приймаємо λтр=0,017;
∑ξ – сума коефіцієнтів місцевих опорів відповідно до завдання;
g – прискорення вільного падіння.
Розрахунок оптимальної величини діаметра трубопроводу ведеться в таблиці за такою формою:
Таблиця 1 – Розрахунок оптимальної величини діаметра трубопроводу
Параметр |
Діаметр трубопроводу, м | ||||||||||
0,15 |
0,16 |
0,17 |
0,18 |
0,19 |
0,20 |
0,21 |
0,22 |
0,23 |
0,24 |
0,25 | |
Q, м3/год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N, кВт∙год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ктр, грн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З·103, грн./м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оптимальним є діаметр трубопроводу, зведені витрати на виготовлення й обслуговування якого відповідають мінімальному значенню. Збільшення і зменшення діаметра трубопроводу від оптимального значення збільшує приведені розрахункові витрати, що є економічно недоцільним.
Для перевірки результатів розрахунків контрольної роботи необхідно отримати сумарний результат по чотирьох складових цільової функції аналітичним методом. Якщо значення цільової функції приведених розрахункових витрат і сумарного результату складових збіжаться, то це означає, що робота виконана правильно.
Цільова функція має чотири складові:
1-ша складова –
2-га складова –
3-тя складова –
4-та складова –
Визначаємо значення кожної зі складових у таблиці 2.
Таблиця 2 – Значення складових цільової функції
Складові цільової функції |
Діаметр трубопроводу, м | ||||||||||
0,15 |
0,16 |
0,17 |
0,18 |
0,19 |
0,20 |
0,21 |
0,22 |
0,23 |
0,24 |
0,25 | |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольна робота оформляється згідно з вимогами, поставленими до оформлення текстових документів: ГОСТ 2.105-79 "Общие требования к текстовым документам" та ГОСТ 2106-68 "Текстовые документы". Вона має бути віддрукована чи написана розбірливо чорнилом (чорним, фіолетовим або синім) на одній стороні аркуша формату А4 (210x297 мм) у наступній послідовності:
– титульна сторінка за формою, наведеною в додатку В;
– бланк завдання, підписаний керівником (додаток А);
– зміст;
– вступ;
– критерії і методи оптимізації;
– оптимізація розмірів відкритого збірника;
– оптимізація витрат на створення й експлуатацію трубопроводу;
– висновки;
– список літератури.