Теорія ймовірностей
Додаток С. Математичні відомості для довідок
Біном Ньютона
(a + b)n = Cn0 a nb0 + Cn1 a n−1b1 + Cn2 a n−2b2 +L+ Cnm an−m bm +LCnn a0bn
Функціональний ряд
|
|
|
|
x0 |
x1 |
|
|
x2 |
|
|
xn |
|
∞ |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
+L+ |
|
|
|
|
+L = ∑ |
|
|
= e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0! |
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
i=0 |
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чудові ліміти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. lim |
|
=1. |
|
2. |
|
lim(1 + x)− x = e . |
|
3. lim 1 |
− |
|
|
|
|
|
= e |
−a . |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
Правило Лопіталя. Якщо f (x) = |
|
ϕ(x) , причому функції ϕ(x) і ψ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначені в інтервалі, в якому знаходиться точка а, і мають у цьому |
інтервалі кінцеві похідні [ψ (x) ¹ 0], і якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limϕ(x) = 0 |
і |
limψ (x) = 0 («невизначеність |
0 |
») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limϕ(x) = ¥ |
і |
limψ (x) = ¥ («невизначеність |
|
∞ |
»), |
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = lim |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
x→a |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за умови, що цей ліміт існує або дорівнює ∞ . У випадку, якщо |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = lim |
ϕ |
(x) знову є невизначеністю типу |
або ∞ , то застосовують |
|
|
x→a |
ψ (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
це правило вдруге і т.д.
Правило інтегрування вроздріб. Якщо підінтегральний вираз
f(x)dx визначеного інтегралу b∫ |
f (x)dx |
можна подати довільним способом у |
a |
|
|
вигляді udv, то |
|
|
b |
b |
b |
∫ f (x)dx = ∫udv = [uv]ba − ∫vdu . |
a |
a |
a |
Додатки
Додаток D. Основні формули диференціального числення
Правила диференціювання
′ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сU )′ = cU ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(U ± V )′ = U ¢ ± V ¢ |
|
|
|
|
(U ×V )′ = U ¢V + UV ¢ |
|
|
U ′ |
= |
U ¢V + UV ¢ |
|
|
|
|
(f (U )) |
|
′ |
= fU¢ |
|
|
×U x¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут |
c – |
константа, U = U (x), V = V (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основні формули диференціювання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
′ |
|
|
(U a ) |
= aU a−1U ¢, a Î R |
(loga U )¢ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ln a |
|
|
(lnU )¢ = |
U ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(aU )′ = aU ln a ×U ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin U )′ = cosU ×U ¢ |
|
|
|
|
(cosU )′ |
= -sinU ×U ¢ |
|
|
(tgU )′ = |
|
|
1 |
|
|
U ′ |
|
|
|
|
(ctgU )′ = − |
|
1 |
|
|
U ′ |
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
(arcsinU )′ = |
|
1 |
|
|
|
|
U ′ |
|
(arccosU )′ = − |
|
|
1 |
|
|
U ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(arctgU ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
(arcctgU ) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
1 +U 2 U |
|
1 +U 2 U |
|
|
|
|
|
|
|
Тут |
U = U (x). Якщо |
′ |
′ |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (x)= x , то U (x)= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорія ймовірностей
Додаток Е. Основні формули інтегрального числення
Правила інтегрування
1.Постійний множник можна виносити за знак інтеграла
∫a f (x)dx = a∫ f (x)dx .
2.Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів від окремих членів
∫(u + v - w)dx = ∫u dx + ∫v dx - ∫w dx .
3.Якщо x = ϕ(t ), то∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t )]×ϕ′(t )dt .
Таблиця невизначених інтегралів
∫ xn dx = |
|
xn+1 |
|
+ C (n ¹ -1) |
∫ |
dx |
= ln |
|
|
|
x |
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
x + a |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫a x dx = |
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e x dx = e x |
+ C |
∫sin x dx = -cos x + C |
∫cos x dx = sin x + C |
∫tg x dx = -ln cos x + C |
∫ctg x dx = ln sin x + C |
∫ |
|
dx |
|
= tg x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
dx |
|
= -ctg x + C |
∫ |
|
|
dx |
= |
|
1 |
arctg |
x |
+ C |
|
|
|
a 2 + x2 |
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
|
a + x |
|
+ C ( |
|
|
|
< a) |
|
|
dx |
= |
1 |
ln |
|
|
x - a |
|
|
+ C ( |
|
x |
|
> a) |
∫ |
|
|
|
ln |
|
|
|
x |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 - x2 |
|
|
a - x |
a 2 - x2 |
|
x + a |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
= arcsin |
x |
+ C |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= ln(x + a 2 + x2 )+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
= ln(x + x2 - a2 )+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут С – |
|
постійна інтегрування. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Автори
АВТОРСЬКИЙ КОЛЕКТИВ
САМОЙЛЕНКО Микола Іванович
Завідувач кафедри «Прикладна математика та інформаційні технології» Харківської національної академії міського господарства, доктор технічних наук, професор, лауреат премії МВССО УРСР (1988) . Випускник Харківського інституту радіоелектроніки (1970). Власник срібленої медалі міжнародного біографічного центру (Кембридж, 1999). Власник сертифікатів "Whо's Who in the World" (США, 1999) и "Whо's Who in Science and Engineering" (США,2000). Наукові інтереси:
інформаційні технології, прикладна математика.
КУЗНЄЦОВ Анатолій Іванович
Проректор з науково-педагогічної роботи, завідувач кафедри «Інформаційні технології в міському господарстві» Харківської національної академії міського господарства, кандидат технічних наук, доцент, відмінник освіти України. Випускник Харківського інституту інженерів комунального будівництва (1971). Наукові інтереси: інформаційні технології, економіка і менеджмент, дистанційне навчання.
КОСТЕНКО Олександр Борисович
Доцент кафедри «Прикладна математика та інформаційні технології» Харківської національної академії міського господарства, кандидат фізико-математичних наук. Випускник Харківського державного університету (1977). Наукові інтереси: інформаційні технології, теорія ймовірностей і математична статистика, бази даних.
Навчальне видання
САМОЙЛЕНКО Микола Іванович, КУЗНЄЦОВ Анатолій Іванович, КОСТЕНКО Олександр Борисович
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Підручник
Редактор М.З.Аляб’єв
Коректор З.І.Зайцева
Комп’ютерна верстка М.I.Самойленко
План 2008, поз.13
Підп. до друку 10.02.2008. Формат 60×84/16.
Папір офісний. Друк на ризографі. Умовн.-друк.арк. 12,0 Обл.-вид. арк 13,0. Тираж 500 прим. Зам. №
61002 Харків, ХНАМГ, вул. Революції, 12
Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ Харків, вул. Революції, 12
