Мат_ан_41

Лемма 1. Для того, чтобы функция w = f(z) реализовала конформное отображение области D необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была: 1) однолистной, 2) аналитической и 3) чтобы всюду в области D производная была отлична от

íóëÿ.

Простейшими примерами конформных отображений являются дробно-линейные отображения. Дробно-линейное отображение - это отображение вида

То есть дробно-линейное отображение является однолистным на всей расширенной комплексной плоскости C. Более того, это отображение является конформным на C, åñëè

под углами между двумя кривыми в точке z = 1 понимать углы между образами этих кривых при отображении 1=z.

Мы говорим, что две точки z1, z2 симметричны относительно окружности jz ¡z0j = R,

если они лежат на одном луче, выходящем из центра и jz1 ¡ z0jjz2 ¡ z0j = R2. Основные свойства дробно-линейных отображений мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Произвольное дробно-линейное отображение осуществляет однолистное конформное отображение C íà C. Это отображение

1)образует любую окружность на окружность (при этом мы считаем, что прямая есть окружность радиуса 1);

2)любую пару точек, симметричных относительно окружности, преобразует в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Åñëè z1, z2, z3, z некоторые точки из C и при дробно-линейном отображении они

переходят в точки w1, w2, w3, w, то имеет место равенство

Åñëè ad ¡ bc > 0, то (7) определяет отображение верхней полуплоскости на верхнюю полуплоскость и если ad¡bc < 0, то (7) определяет отображение верхней полуплоскости

на нижнюю полуплоскость.

б) Отображение верхней полуплоскости на круг (или на внешность этого круга)

Åñëè Im ¯ > 0, то (8) определяет отображение Im z > 0 íà fz : jzj < 1g; åñëè Im ¯ < 0,

21

Åñëè j¯j < 1, то (9) определяет отображение круга fz : jzj < 1g íà êðóã fz : jzj < 1g. Åñëè j¯j > 1, то (9) определяет отображение круга fz : jzj < 1g на внешность круга, то есть на область fz : jzj > 1g.

Основные принципы теории конформных отображений

Теорема 2 (теорема о соответствии границ). Пусть w = f(z) осуществляет

конформное отображение друг на друга областей D è D1, ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми и 1. Тогда функция f(z) устанавливает взаимно-однозначное и непрерывное соответствие между D [ è D1 [ 1

íà è 1.

Поясним понятие сохранение направление обхода . Пусть z1, z2, z2 три последова- тельно взятые точки на , которые посредством функции f отображаются соответственно

â w1; w2; w3. Рассмотрим движение по границе от точки z1 к точке z2 и затем к точке z3 и предположим, что при этом движении область D остается слева (справа) от . Тогда,

применив отображение f мы получим, что мы будем двигаться от точки w1 к точке w2 è затем к точке w3 и при этом движении область D1 также будет оставаться слева (справа).

Замечание 1. Вообще говоря, в формулировке теоремы мы предполагаем, что D, D1

ограниченные области, поскольку они ограничены замкнутыми жордановыми кривыми. Но это не умаляет общности этой теоремы, поскольку, с помощью простейших отображений (дробно-линейное отображение, стеренная функция) мы можем перевести данную односвязную область с границей состоящей более чем из одной точки в ограниченную область.

Замечание 2. Теорема 2 фактически утверждает, что конформное отображение непрерывно вплоть до границы и отображает границу на границу 1 взаимно однозначно,

непрерывно и с сохранением направления обхода. Этими утверждениями мы будем постоянно пользоваться при решении задач, даже не ссылаясь постоянно на теорему 2.

Теорема 3 (принцип взаимно однозначного соответствия). Предположим, что в области D, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана, задана аналити-

ческая в D функция f(z), отображающая кривую взаимно однозначно, взаимно непре-

рывно и с сохранением направления обхода на некоторую замкнутую кривую 1. Тогда f отображает область D на область D1, ограниченную кривой 1, конформно.

Теорема 4 (принцип симметрии Римана-Шварца). Предположим, что граница односвязной области D содержит дугу окружности ° окружности B. Построим

область D¤ симметричную области D относительно окружности B. Область D¤ ñî- стоит из точек, симметричных к точкам области D относительно окружности B. Мы предполагаем, что D\D¤ = ;. Предположим также, что функция f реализует конформ-

ное отображение области D на область D1 и при этом отображении дуга окружности ° переходит в дугу окружности °1 окружности B1. Считаем, что функция f непрерыв-

íà â D [ °. Тогда функция f(z) допускает аналитическое продолжение f1(z) в область D¤ через дугу ° такое, что функция

22

Теорема 5 (теорема Римана). Для любой односвязной области D с границей, со-

стоящей более чем из одной точки (т.е. отличной от C и от C с выколотой точкой) существует конформное отображение этой области на единичный круг B = fz : jzj < 1g.

Конформное отображение области D на единичный круг, удовлетворяющее дополнительному условию вида f(z0) = w0, arg f0(z0) = µ (z0 2 D, w0 2 B), единственно.

Ÿ2. Дробно-линейные отображения

В этом параграфе мы приведем примеры решения задач на построение дробно-линейных отображений.

1. Предположим, что нам надо построить дробно-линейное отображение исходя из трех условий w(zi) = wi, (i = 1; 2; 3). Воспользуемся ангармоническим соотношением. Нам из-

вестно, что ангармоническое соотношение является инвариантом дробно-линейного преобразования. Обозначив через z произвольную точку на комплексной плоскости, мы по-

лучим, что у нас выполнено

Если мы выразим из этого соотношения величину w(z), то мы получим искомое дробно-

линейное отображение.

Предположим, например, что нам необходимо построить дробно-линейно отображение, переводящее точки ¡1; 1; i соответственно в точки i; 1; 1 + i. В этом случае z1 = ¡1,

z2 = 1, z3 = i и правая часть в (10) преобразуется к виду (z +1)=(i+1), поскольку z2 = 1 мы полагаем, что (z3 ¡ z2)=(z ¡ z2) = 1. Таким образом, мы получаем равенство

Выражая из этого равенства w(z), мы получим

w(z) = z + 2 + i: z + 2 ¡ i

Можно проверить, что это отображение удовлетворяет нашим трем условиям.

2. Предположим, что нам надо отобразить верхнюю полуплоскость Im z > 0 íà êðóã jzj < 1, исходя из условий w(a+ib) = 0, arg w0(a+ib) = µ (b > 0). Нам известно, что общий вид таких отображений определяет равенство (8). Мы имеем, что

Из этого равенства мы получаем, что ¯ = a + ib. Для w'(z) мы имеем

Нам известно, что Im ¯ = b > 0. Отсюда вытекает, что arg w0(a + ib) = ® ¡ ¼=2 или исходя из нашего условия мы получим, что ® = µ + ¼=2. Таким образом, искомое отображение

имеет вид w(z) = ei(µ+¼=2) z ¡ a ¡ ib:

z ¡ a + ib

23

3. Построить отображение круга jzj < 2 на правую полуплоскость Re z > 0 такое, что

w(0) = 1; arg w0(0) = ¼2 :

Нам задано отображение верхний полуплоскости на круг jzj < 1. посредством равенства (8). Построим обратное отображение. Выразив из (8) величину z через w мы получим, что z = (¯w¡ei®)=(w¡ei®). Нам задан круг jzj < 2 радиуса 2. Переведем его в круг jzj < 1.

Искомое отображение w1 = z=2. Воспользовавшись построенным отображением круга jzj < 1 на верхнюю полуплоскость, мы получим, что функция w2 = (¯w1 ¡ ei®)=(w1 ¡ ei®).

отображает круг jzj < 2 на плоскость Im z > 0.

Нам необходимо сделать поворот этой полуплоскости на угол ¼=2 по часовой стрелке,

Воспользовавшись первым условием w(0) = 1 мы получим, что

w(0) = ¡i¯ = 1

Èëè ¯ = i. Найдем w0(z). Имеем

w0(z) = iIm ¯ei(®¡¼=2)=(z=2 ¡ ei®)2:

Тогда w0(0) = Im ¯e¡i® = e¡i®. Отсюда arg w0(0) = ¡® = ¼=2. Èëè ® = ¡¼=2. Подставив выражения для ®; ¯ в (11), мы получим, что искомое отображение имеет вид

w= (2i ¡ z)=(2i + z):

4.Отобразить круг fjz ¡ 2j < 1g íà êðóã jw ¡ 2ij < 2 так, чтобы w(2) = i, arg w0(2) = 0.

Переведем круг fjz ¡ 2j < 1g íà êðóã fjw1j < 1. Искомое отображение w1 = z ¡ 2.

Воспользуемся равенством (9): w2 = ei® w1 ¡ ¯

1 ¡ ¯w1

Мы получили из круга fjz¡2j < 2g êðóã fjw2j < 1g. У нас рассматривается круг fjw¡2ij < 2. Чтобы получить этот круг, сделаем отображение w = 2w2 + 2i.

Воспользовавшись первым условием, получим

w(2) = 2i ¡ 2ei®¯ = i:

Откуда ¯ = ie¡i®. Из этого равенства вытекает в частности, что j¯j = 1=2. Найдем w0(z).

¯

w0(z) = 2ei®(1 ¡ j¯j2)=(1 ¡ ¯(z ¡ 2))2. Соответственно w0(2) = 2ei®(1 ¡ j¯j2) = 3ei®=2.

Откуда arg w0(2) = ® = 0. Подставив найденные величины в выражение для w и приведя полученное выражение к общему знаменателю, мы получим

w = 2(i + z ¡ 2)=(2 ¡ 2i + iz):

24

Ÿ3. Отображение круговых луночек и областей с разрезами

Под круговой луночкой мы понимаем область, заключенную между двумя дугами окружностей. Приведем примеры круговых луночек. Например, области fz : jzj < 1; Im z > 0g, fz : jzj > 2; jz ¡ p2j < p2g è fz : jzj > 1; jz ¡ ij > 1g являются круговыми луночками.

Вначале приведем некоторые простейшие свойства функции W = z®. Считаем, что ®

Эта функция отображает угол D = fz : 0 < arg z < ¯g конформно на угол D1 = fz : 0 < arg z < ¯®g при условии 0 < ® · 2¼=¯. Для того, чтобы убедиться в этом,

достаточно проверить условия леммы 1 и посмотреть, куда отображается граница области D. Например, проверим, что эта функция однолистна. Нам необходимо показать, что не

существует двух различных точек z1, z2 таких, что f(z1) = f(z2). Предположим, что такие

точки существуют. Пусть R1; Á1, R2; Á2 соответственно модули и аргументы этих чисел. Тогда R1®ei®Á1 = R2®ei®Á2 Отсюда вытекает, что R1 = R1, ®Á1 = ®Á2 +2¼k (k целое число). Или имеем Á1 ¡ Á2 = 2¼k=®. Òàê êàê z1; z2 2 D, òî jÁ1 ¡ Á1j < ¯. Отсюда j2¼kj < ®¯

(k = §1; §2; : : :). Мы получили противоречие с условием ®¯ · 2¼. Проверка оставшихся условий леммы 1 очевидна. Исходя из определения функции w, легко увидеть, что область

D отображается на D1.

Рассмотрим круговую луночку. Предположим, что точки пересечения дуг окружностей °1 è °2, которые образуют ее границу, есть a; b и эти дуги составляют в точке пересече-

íèÿ óãîë ®. Построим отображение этой круговой луночки на верхнюю полуплоскость.

Если нам нужно построить отображение луночки на какой-либо круг, то, построив ее отображение на верхнюю полуплоскость, мы затем можем пользоваться формулой (8). Применим дробно-линейно отображение w1 = (z ¡ a)=(z ¡ b). При этом отображении дуги

окружностей °i (i = 1; 2) перейдут опять в дуги окружностей i (i = 1; 2) (см. теорему 1), причем точки a; b перейдут соответственно в точки 0; 1. Поскольку образы окружностей,

содержащих дуги °i (i = 1; 2) содержат точку 1, то эти окружности отображаются на некоторые прямые (т.е. окружности бесконечного радиуса). Тогда дуги i (i = 1; 2) представляют собой некоторые лучи, скажем farg w1 = ®1g, farg w1 = ®2g. Пусть, например, ®1 ¡ ®2 = ® (®2 ¡ ®1 = ®), что имеет место в силу сохранения углов между °1

z = a. Наша область перейдет в область

D1 = f®2 < arg w1 < ®1g (D1 = f®1 < arg w1 < ®2g)

Простейший способ определения величин ®1; ®1 мы должны взять две точки zi 2 °i, отличные от

при отображении w1(z). Тогда ®i = arg w1(zi). Хотя иногда (и даже довольно часто, как мы

25

При этом отображении область D2 как было отмечено выше, перейдем в область Im w > 0,

то есть в верхнюю полуплоскость. Приведем несколько примеров.

1. Отобразить на верхнюю полуплоскость область

D = fz : jzj > 1; jz ¡ ij > 1g:

Точки пересечения этих двух окружностей a = (p3 + i)=2, b = (i ¡ p3)=2. Их легко вычислить как решение системы уравнений x2 + y2 = 1, x2 + (y ¡ 1)2 = 1. Тогда ® = 2¼=3, что легко увидеть из геометрических соображений. Возьмем

pp

w1 = (z ¡ ( 3 + i)=2)=(z + ( 3 ¡ i)=2):

Пусть °1 есть дуга окружности jzj = 1 такая, что °1 ½ @D, a; b 2 °1. Соответственно, °2 есть дуга окружности jzj = 1 с такими же свойствами. Для того чтобы вычислить, в какие лучи отображаются °1 è °2 можно взять две точки zi 2 °i и найти величины w1(zi). Например, z1 = 2i, z2 = ¡i. Но проще поступить по-другому. Рассмотрим отрезки

p

I1 = fz : z = x + i=2; x 2 [ 3=2; 1)g; p

I2 = fz : z = x + i=2; x 2 (¡1; ¡ 3=2)g;

лежащие в области D. Мы имеем, что на этих отрезках w = (x ¡ p3)=(x + p3=2). Тогда

легко увидеть, что I1 отображается на отрезок [0; 1) вещественной оси, соответственно I2 отображается на отрезок (1; 1) по вещественной оси. Дуги °1, °2 составляют в точке a с отрезком I1 углы соответственно ¼=3, ¼=3. Следовательно, образы этих дуг, то есть лучи 1, 2 составляют с образом отрезка I1 в точке w1 = 0 также углы ¼=3, ¼=3. Таким

Найдем отображение нашей луночки на верхнюю полуплоскость. В данном случае a = 1, b = ¡1. Применим отображение w1 = (z ¡ 1)=(z + 1). Пусть

°1 = fz : jzj = 1; 0 · arg z · ¼g; °2 = fz : Im z = 0; Re z 2 [¡1; 1]g:

Легко увидеть, что отрезок °2 отображается на луч 2 = farg z = ¼g, то есть на отрицательную часть вещественной оси. Найдем, куда отобразится °1. При движении от точки 1 ê ¡1 ïî °2 область D остается справа. Следовательно, при движении по 2 îò 0 äî 1 область D1 должна также оставаться справа. Таким образом, D1 ½ fz : Im z > 0g. Угол между °1, °2 в точке z = 1 равен ¼=2. Следовательно, 1 = fz : arg z = ¼=2g. Таким образом, ®1 = ¼=2, ®2 = ¼. Искомое отображение есть следующее отображение

³ ´2

w2 = e¡i¼=2(z ¡ 1)=(z + 1) = ¡(z ¡ 1)2=(z + 1)2:

26

Общее отображение нашей луночки на круг fjzj < 1g есть суперпозиция отображения w2 и общего отображения верхней полуплоскости на круг {|z|<1}. То есть

и нам остается исходя из условий (12) найти параметры ®; ¯. По условию w(i=2) = 0.

Отсюда ¯ = w2(i=2) = (7 + 24i)=25 = a + ib.

dw = dw dw2 : dz dw2 dz

Отсюда и из (12) мы получим

Мы получили задачу N2 èç x2. Òî åñòü ® = µ + ¼=2 = ¡arg w2(i=2). Отметим, что j¯j = ja + ibj = 1. Òî åñòü ¯ = eiarg w2(i=2). Из представления для w получим, что

Теперь нам осталось только вместо ¯ подставить его численное выражение.

Мы будем рассматривать лишь задачи, где рассматривается отображение плоскостей и полуплоскостей с разрезами по дуге окружности. Предположим вначале, что у нас имеется плоскость с разрезом по некоторой дуге окружности. Пусть концевые точки этой дуги будут a; b. Тогда, применив отображение w = (z ¡ a)=(z ¡ b) мы, как и раньше, получим,

что эта дуга окружности преобразуется в луч, соединяющий 0 è 1, скажем arg w1 = ®.

Таким образом, из всей плоскости с разрезом по дуге окружности мы получим всю плоскость с разрезом по лучу. Сделав поворот w2 = w1e¡i®, мы получим всю плоскость с

разрезом по положительной части вещественной оси. Тогда отображение w = (w2)1=2 åñòü отображение нашей плоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость.

3. Отобразить всю плоскость с разрезом по дуге окружности ° = fz : Im z = 0; Re z 2 (¡1; a] [ [b; 1)g на верхнюю полуплоскость.

Применим отображение

w1 = (z ¡ a)=(z ¡ b):

Мы получим, поскольку числа a; b вещественны, что вся вещественная ось перейдем на вещественную ось. При этом интервал (a; b) перейдет на отрицательную полуось. Тогда дуга ° отобразится на положительную полуось. Искомое отображение

27

Отметим лишь только, что везде и в данном случае также мы рассматриваем, указанную вначале этого параграфа ветвь функции w11=2.

4. Отобразить на верхнюю полуплоскость верхнюю полуплоскость с разрезом по от-

резку fz : Re z = 0; Im z 2 [0; h]g.

Применим отображение w1 = z2, которое является, как мы уже проверяли, в данной

Возможна более сложная ситуация, например, когда мы имеем верхнюю полуплоскость с разрезом по дуге окружности.

5. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуплоскость Im z > 0 с разрезом по дуге окружности jzj = 2 от точки z = 2 äî z = 2ei¯ (¯ < ¼).

Применим отображение

w1 = (z ¡ 2)=(z + 2):

При этом отображении вещественная ось перейдет в вещественную ось, окружность jzj = 2 перейдет на прямую, ортогональную вещественной оси, поскольку в т. 2 окружность и ве-

щественная ось были ортогональны и точка z = ¡2 отобразится в 1. Тогда дуга окружно-

сти, указанная в условии, перейдет в отрезок, ортогональный вещественной оси от точки z = 0 до точки (ei¯ ¡ 1)=(ei¯ + 1) = itg(¯=2). Направление обхода по вещественной оси

здесь сохраняется, так что верхняя полуплоскость отображается на верхнюю полуплоскость. Таким образом, мы пришли к условиям предыдущей задачи, где h = tg(¯=2).

Ÿ4. Функция Жуковского и ее свойства

Функцией Жуковского называется функция w = 12 (z + z1 ). Прежде чем перейти к решению задач, приведем некоторые простейшие свойства функции Жуковского. Мы имеем, что

То есть в точках z = §1 ó íàñ w0 однозначности отображения w(z). Выразив z через w, мы получим

p

z = w + w2 ¡ 1;

28

Фактически, то что записано есть параметрическое уравнение некоторой кривой. Воспользовавшись равенством sin2 Á + cos2 Á = 1, мы получим

что есть уравнение эллипса, причем из (13) легко увидеть, что окружность отображается на весь эллипс (14). Отметим, что семейство эллипсов (14) есть софокусное семейство (т.е. фокусы находятся в одних и тех же точках, в точках §1 ). Это легко увидеть из равенства

Отметим, что (14) не определено при R = 1. В этом случае параметрическое уравнение

Воспользовавшись (15), мы получим семейство софокусных гипербол (cos2 ® + sin2 ® = 1)

29

теоремы 2 можем сделать

вывод, что область D отображается на полуэллипс (14), лежащий в полуплоскости Re w >

¡ ¢

0 с выброшенным отрезком [1; 12 R1 + R ] по вещественной оси.

2. Найти область, на которую функция Жуковского отображает область D = fz : Im z > 0; jzj > 1g. В области D функция Жуковского также реализует конформное отображение, причем в силу (16) дуга окружности jzj = 1; arg z 2 [0; ¼] отображается на интервал [¡1; 1] по вещественной оси. Отрезки [1; 1), (¡1; 1] отображаются на отрезки (см. (19)) [1; 1), (¡1; 1] соответственно. Таким образом, @D отображается на вещественную ось. Пусть z = x 2 R è x изменяется от 1 до 1. При этом движении область D остается слева. Тогда точки w(x) движутся по вещественной оси от 1 до 1. Поскольку

направление обхода должно сохраняться, то D1 (образ области D) лежит в верхней полуплоскости. Из того, что @D отображается на вещественную ось, мы можем сделать вывод,

÷òî D1 = fz : Im z > 0g.

3. Отобразить область

D = fz : jzj < 1; Im z > 0; z =6 iy (y 2 [®; 1]; ® < 1)g

на верхнюю полуплоскость.

Применим функцию Жуковского, которая в области D реализует конформное отображение (необходимо проверить условие леммы 1). При этом дуга окружности jzj = 1; Im z > 0 отобразится на отрезок [¡1; 1] по вещественной оси (см. задачу N 2), отрезок [¡1; 1] по вещественной оси отобразится на объединение интервалов (¡1; ¡1], [1; 1), ÷òî

ления обхода, что область fjzj < 1; Im z > 0g отобразится на нижнюю полуплоскость

(мы уже установили, что граница этой области отображается на вещественную ось). Таким образом, область D отобразится на нижнюю полуплоскость Im z < 0 с выброшенным

отрезком [0; 2i (® ¡ ®1 )] по мнимой оси. У нас w1 = 12 (z + z1 ). Сделав поворот на угол ¼, что соответствует просто домножению на ¡1 мы придем к задача 4 Ÿ3, где h = 12 (¡® + ®1 ).

Как мы видим из свойств функции Жуковского, ее можно использовать при отображении областей, ограниченных кривыми второго порядка, в частности эллипсами и гиперболами.

4. Отобразить верхнюю полуплоскость Im z > 0 с выброшенным полуэллипсом x2=a2 + y2=b2 < 1 (y > 0) на верхнюю полуплоскость.

Мы знаем, что окружности радиуса R с центром в т. 0 отображаются на софокусные эл-

липсы. Поэтому первое, что мы сделаем, это превратим наш эллипс в эллипсp со свойством a2 ¡ b2 = 1. Считаем, что a > b. Сделаем отображение w1 = x1 + iy1 = z= a2 ¡ b2.

При этом отображении верхняя полуплоскость с выброшенным полуэллипсом перейдет на верхнюю полуплоскость с выброшенным полуэллипсом:

30