Мат_ан_41

Аналогично вычисляем функцию u через функцию v. В большинстве задач в качестве

кривой ° выгоднее всего брать кусочно-гладкую кривую, состоящую из отрезков параллельных координатным осям, как это было сделано выше.

3. Элементарные функции. Многозначные функции. Точки ветвления

Функция Ln z (обратная функция к функции e!, или другими словами множество решений уравнения e! = z) многозначна и определяется равенством

Ln z = ln jzj + iarg z + 2¼ki;

ãäå k произвольное целое число, а в качестве величины arg z берется любое возможное значение аргумента (отметим, что величина arg z определяется неоднозначно, с точностью до 2¼k (k целое число)). По аналогии с вещественным случаем мы можем определить функцию z® (® 2 C). По определению

z® = e®Ln z = e®(ln jzj+iarg z+2¼ki):

Как видно из определения, функция z® также многозначна и принимает вообще говоря счетное количество различных значений. Это число конечно в случае если ® 2 R è ® рациональное число. Возьмем, например, ® = 1=n (n натуральное число). Тогда

z1=n = e(ln jzj+iarg z+2¼ki)=n = jzj1=ne(iarg z+2¼ki)=n:

Легко убедиться, что при изменении k мы получим лишь n различных комплексных чисел.

Чтобы получить их, мы можем взять k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1.

Как и в вещественном случае, мы можем определить обратные функции к вышеуказанным. Построим, например, обратные функции к функциям w = sin z, w = tg z. Ïî

определению, функция Arcsin z есть множество решений уравнения

sin ! = z:

11

Точно также определяются функции Arccos z, Arctg z, Arch z и т.д. Воспользуемся (1).

Уравнение (2) - квадратное уравнение относительно ei!. Отсюда

pp

ei! = iz § 1 ¡ z2 = iz + 1 ¡ z2:

Мы можем опустить знак § заменив его знаком + или знаком ¡, если считать, что функ- öèÿ p1 ¡ z2 есть функция принимающая 2 значения. По определению, функция Ln z åñòü

обратная функция к функции e!. Тогда

p

! = Arcsin z = ¡iLn (iz + 1 ¡ z2):

Рассмотрим вопрос о обращении функции tg z. Рассмотрим уравнение

ei! ¡ e¡i!

tg ! = z = i(ei! + e¡i!):

Все эти функции многозначны. Приведем определения ветвей функции и точек ветвления. Определения, которые мы дадим большей частью иллюстративны. Для построения строгой теории многозначных функций требуется понятие аналитического продолжения по кривой элементов аналитических однозначных функций, понятие полной аналитиче- ской функции и некоторые другие определения. По традиции весь этот материал дается в конце курса теории функции комплексного переменного. Однако соответствующие определения необходимы при решении задач на семинарских занятиях. Для этого в курсе при рассмотрении элементарных функций и даются определения приведенные ниже. Ветвью многозначной функции W = F (z) в области D ½ C называется однозначная аналитиче-

ñêàÿ â D функция f(z) такая, что в каждой точке z 2 D значение f(z) совпадает только с одним из значений F (z). Если такая однозначная аналитическая функция в области D

существует, то мы говорим, что функция W = F (z) допускает в области D выделение

однозначных ветвей. Задача о выделении ветвей является важной составной частью задачи об изучении многозначных аналитических функций. Опишем процедуру выделения ветвей для некоторых элементарных функций.

12

1. Рассмотрим функцию

W = Ln z = ln jzj + iarg z + 2¼ki:

Возьмем в качестве области D правую полуплоскость Re z > 0. Зафиксируем некоторую

точку z0 2 D, например, z0 = 1 и зафиксируем в этой точке arg z0 величину arg z0, íà- пример, возьмем arg 1 = 0 и величину k = k0. Построим ветвь функции W = Ln z исходя из соображений непрерывности. Зафиксируем точку z 2 D и соединим точку z0 ñ z некоторой кривой Жордана °. Угол поворота вектора z (направленного отрезка, идущего из

точки 0 к точке z) при движении точки z вдоль ° от начальной точки z0

точки называется приращением arg z вдоль ° и обозначается через [arg z]°. Приращение берется со знаком +, если поворот вектора осуществляется против часовой стрелки и со

знаком ¡, если поворот осуществляется по часовой стрелке. В отличие от величины arg z,

величина [arg z]° определяется однозначно. Например, легко увидеть, что для любой замкнутой кривой Жордана не содержащей внутри себя точку 0, [arg z]° = 0 (в качестве начальной точки берем любую точку z0 2 gamma). Определим величину arg z в области D по формуле

arg z = [arg z]° + arg z0 = [arg z]°:

При таком определении мы получим однозначно определенную в области функцию arg z, значение которой будут меняться в промежутке (¡¼=2; ¼=2). Соответствующая функция

! = ln jzj + iarg z + 2¼ik0

будет однозначной аналитической функцией в области D, то есть ветвью многозначной функции W = Ln z. Ее производная равна 1=z. Таким образом, функция W = Ln z допускает в области D выделение однозначных ветвей.

2. Рассмотрим функцию W = Ln z в области fz : 0 < jzj < 1g.

Покажем, что в этой области функция W не допускает выделение однозначных ветвей.

Предположим противное. Возьмем точку z1 2 D. Значение соответствующей ветви в точке z1 имеет вид

! = f(z1) = ln jz1j + iarg z1 + 2¼ik1:

Из соображений непрерывности мы должны иметь, что

arg z = [arg z]° + arg z1;

ãäå ° кривая лежащая в области D и соединяющая точку z1 è z. Возьмем в качестве кривой ° окружность jzj = jz1j. Начнем движение из точки z1 против часовой стрелки, вычисляя при этом величину arg z. При таком движений величина arg z непрерывно уве-

личивается, при подходе к точке z1 с обратной стороны мы получим, что [arg z]° = 2¼: Таким образом, функция ! = f(z) при подходе к точке

примет значение

! = ln jz1j + iarg z1 + 2¼ik1 + 2¼i;

что противоречит однозначности функции

Отметим, что m-кратный обход по ° äàñò íàì [arg z]°m = 2m¼: (°m кривая °, повторенная m ðàç).

Область D, рассмотренная в этом примере отличается от предыдущего примера тем,

что она содержит особую точку функции W , точку z0 = 0, которая называется точкой ветвления.

13

называется точкой ветвления многозначной функции W = F (z), åñëè

существует достаточно малый круг вида U = fjz ¡ z0j < ²g такой, что при однократ-

ном обходе вокруг точки z0 по любой замкнутой кривой ° ½ U мы непрерывным образом

переходим с одной ветви многозначной функции на другую. В частности, последнее выполняется, если первоначальное значение функции в произвольной точке z1 2 ° непрерывно

изменяется при обходе по ° до другого значения функции в точке z1.

Точка z = 0 есть точка ветвления для функции W = F (z), как мы показали в примере

2. После обхода вокруг точки z = 0 мы перешли от одной ветви (ее значение в точке z1 равно ln jz1j + iarg z1 + 2¼ik1 на другую ветвь значение которой в точке z1 отличается от первой на величину 2¼i. По той же самой причине точка z = 1 является точкой

ветвления функции W (в качестве круга U в определении берется область U = fz : jzj > Rg, R достаточно велико). Под обходом точки 1 понимаем обход по часовой стрелке по замкнутой кривой ° лежащей в области jzj > R (R достаточно велико) и содержащей точку 0 внутри себя. При таком обходе мы переходим от одного значения данной ветви Ln z (скажем ln jz1j+iarg z1 +2¼ik1) к другому значению равному (ln jz1j+iarg z1 +2¼ik1 ¡2¼i),

Мы знаем, что точки 0; 1 являются точками ветвления функции W0 = pz. Следовательно, точками ветвления функции W могут быть лишь точки z = §1; 1, òî åñòü

те точки в которых подкоренное выражение обращается либо в 0 ëèáî â 1. Любая дру-

гая точка точкой ветвления не является. Это легко2 увидеть из следующих соображений. Возьмем произвольную точку z0 6= 1 такую, что z0 ¡ 1 6= 0. Найдется ее окрестность U, в которой z2 ¡ 1 6= 0. Рассмотрев произвольную замкнутую кривую ° 2 U и содержащую

точку z0 внутри себя мы получим, что ее образ при отображении ! = z2 ¡1 есть замкнутая кривая , не содержащая внутри себя точку !0 = 0. Тогда [arg (z2 ¡ 1)]° = [arg !] = 0.

Таким образом, обходя точку z0 мы не перейдем с одной ветви на другую и z0 íå является точкой ветвления. Рассмотрим точку z0 = 1. В качестве кривой ° возьмем произвольную замкнутую кривую, содержащую внутри себя точку 1 и лежащую в области

U = fjz ¡ 1j < ² < 2g. Выберем произвольную точку z1 2 °. Зададим значение arg (z12 ¡ 1) (любое возможное значение аргумента) и величину k = k1. Тем самым мы определяем,

по крайней мере в некоторой достаточно маленькой окрестности U1 точки z1, ветвь функ- öèè W w = f(z) (ее значения определяем, задавая значения arg (z2 ¡ 1) из соображений

ãäå °1 произвольная кривая соединяющая z1 è z). Найдем [arg (z2 ¡1)]°. В данном случае это сделать легко. Поскольку arg (z2 ¡ 1) = arg (z ¡ 1) + arg (z + 1); имеем

[arg (z2 ¡ 1)]° = [arg (z ¡ 1)]° + [arg (z + 1)]°:

Величина z ¡ 1 при обходе точкой z кривой ° пробегает кривую, которая получается из кривой ° с помощью сдвига на 1 влево и эта кривая содержит внутри себя точку 0. Ïðè

однократном обходе ° получим, что [arg (z ¡1)]° = 2¼. Величина (z + 1) пробегает кривую °, сдвинутую на 1 вправо. Эта кривая не содержит внутри себя точку 0 è [arg (z ¡1)]° = 0.

14

Соответственно, новое значение аргумента

arg (z2 ¡ 1)jz=z1 = arg (z12 ¡ 1) + 2¼

После подстановки в (3), получим что новое значение ветви в точке z1 равно

jz12 ¡ 1j1=2ei(arg (z12¡1)+2¼k)=2 ¢ e2¼i=2 = ¡f(z1):

Таким образом, значение ветви f(z) в точке z = z1 изменилось (то есть мы перешли с одной ветви на другую) и точка z0 = 1 точка ветвления. Точно таким же образом устанавливаем, что точка z0 = ¡1 является точкой ветвления. Рассмотрим точку z = 1. Зафиксируем замкнутую кривую °, лежащую в области jzj > R > 1 и содержащую внутри себя точку 0.

Точно также зафиксируем z1 2 ° и совершим обход по ° (по часовой стрелке). Считаем, что в точке z1 зафиксированы величины arg (z12 ¡1) è k = k1. Найдем [arg (z2 ¡1)]°. Имеем

[arg (z2 ¡ 1)]° = [arg (z ¡ 1)]° + [arg (z + 1)]°:

Величина z ¡ 1 (z + 1) пробегает кривую полученную из ° сдвигом на 1 влево (вправо), но точка z = 0 в обоих случаях лежит внутри этой сдвинутой кривой. Тогда

arg (z ¡ 1)]° = [arg (z + 1)]° = ¡2¼; [arg (z2 ¡ 1)]° = ¡4¼:

Таким образом, перехода на следующую ветвь у нас не произошло и 1 точкой ветвления не является.

4. Найти точки ветвления функции p

W = n Pl(z)=Qm(z);

ãäå Pl полином по z степени l, à Qm полином по z степени m. Без ограничения общности считаем, что полиномы Pl; Qm несократимы. Представим их в виде

Pl(z) = a0(z ¡ ®1)n1 (z ¡ ®2)n2 : : : (z ¡ ®l1 )nl1 ; Qm(z) = b0(z ¡ ¯1)m1 (z ¡ ¯2)m2 : : : (z ¡ ¯l2 )ml2 ;

ãäå ®i, ¯i корни полиномов, а ni, mi их кратности.

Ответ в этой задаче следующий: точка ®i èëè ¯i является точкой ветвления тогда и только тогда, когда ni или соответственно mi не делится нацело на n. Соответственно,

l ¡ m

íà n. Способ решения этой задачи в целом аналогичен предыдущему примеру. Найдем, например, величину

ãäå ° кривая, лежащая в достаточно маленькой окрестности точки z = ®i и содержащая эту точку внутри себя. Имеем

15

Åñëè k =6 i, òî [arg (z ¡ ®k)]° = 0 è [arg (z ¡ ¯r)]° = 0 (8r). Кроме того, [arg (z ¡ ®i)]° = 2¼.

Тогда

[arg Pl(z)=Qm(z)]° = 2¼ni:

Используя этот факт, мы получим ответ.p

5. Дана многозначная функция W = z + z2 ¡ 1. (обратная функция к функции Жуковского). Необходимо показать, что данная функция допускает в области D = C n fz :

y = 0; jxj · 1g выделение однозначных ветвей, выделить в области D ветвь w = f(z) исходя из условия f(2) = 2 ¡ p3 и найти значение этой ветви в точках z = ¡2; i.

Точки ветвления этой функции §1. Точка 1 точкой ветвления не является (см. пункт 3). Рассмотрим произвольную замкнутую кривую Жордана ° ½ D. В силу определения области D ° не может пересекать отрезок [¡1; 1] вещественной оси. Таким образом, ° либо не содержит внутри себя точек §1, либо содержит их вместе с отрезком [¡1; 1]. Как мы установили в пункте 3, при обходе ° перехода на следующую ветвь не происходит (иначе

либо некоторая точка z0 2 D, либо точка 1 были бы точками ветвления). Зафиксируем некоторую точку z0 2 D и величины arg (z02 ¡ 1), k = k0 в определении W :

W = z + jz2 ¡ 1j1=2ei(arg (z2¡1)+2¼k)=2:

Тем самым, мы в некоторой достаточно маленькой окрестности точки z0 зададим ветвь

ãäå ° произвольная кривая Жордана, соединяющая точку z0 è z1. Покажем, что, опреде- лив таким образом величину arg (z2 ¡ 1), мы получим однозначно-определенную в D àíà-

литическую функцию w = f(z) которая будет являться ветвью функции W . Покажем од-

нозначность определения. Возьмем две произвольные кривые °1 è °2, соединяющие точки

z0 è z1 проходимые от точки z0 к точке z1 (для простоты считаем, что °1 \°2 = fz0g[fz1g). Найдем величины [arg (z2 ¡1)]°. В результате мы получим двое, вообще говоря различных

значений arg (z12 ¡ 1) равных скажем ®1 è ®2. Для того чтобы определение было корректным (то есть была бы однозначность определения) нам необходимо показать, что

z1 + jz12 ¡ 1j1=2ei(®1+2¼k0)=2 = z1 + jz12 ¡ 1j1=2ei(®2+2¼k0)=2:

Рассмотрим замкнутую кривую Жордана °, состоящую из кривой °1 (проходимой в на- правлении от z0 ê z1) и кривой °2 (проходимой в направлении от z1 ê z0). С одной стороны

[arg (z2 ¡ 1)]° = [arg (z2 ¡ 1)]°1 ¡ [arg (z2 ¡ 1)]°2 = ®1 ¡ ®2:

С другой стороны, как мы отмечали ранее, величина [arg (z2 ¡ 1)]° должна быть такой, что перехода на следующую ветвь при движении вдоль ° не происходит. Таким образом,

z0 + jz02 ¡ 1j1=2ei(arg (z02¡1)+2¼k0)=2 =

= z0 + jz02 ¡ 1j1=2ei(arg (z2¡1)+2¼k0)=2 ¢ e(®1¡®2)=2:

Тогда (®1¡®2)=2 = 2¼l (l целое число), ®2 = ®1¡4¼l. Подставляя величину ®2 = ®1¡4¼l â

(5), мы получим, что равенство (5) действительно имеет место. Таким образом, определяя величину arg (z12 ¡ 1) с помощью равенства (4), мы получим однозначную непрерывную в

16

области D функцию. Дифференцируемость этой функции проверяется исходя из определений. Это означает, что функция W допускает выделение ветвей в области D. Возьмем z0 = 2. Запишем величину w = f(2). Мы должны иметь, что

f(2) = 2 + p3ei(arg(22¡1)+2¼k)=2; (k = 0; 1):

Имеем (z2 ¡ 1)jz=2 = 3. Положим arg 3 = 0. Тогда

f(2) = 2 + p3ek¼i:

По условию f(2) = 2¡p3. Найдем k0, исходя из этого условия. Необходимо, чтобы k0 = 1. Таким образом, для нашей ветви

arg (z2 ¡ 1) = 0 + [arg (z2 ¡ 1)]°;

ãäå ° произвольная кривая Жордана, соединяющая точку z0 = 2 с точкой z. Как мы уже показали, эта функция w однозначная аналитическая функция в D. Найдем ее

значение в точке z1 = ¡2. Имеем (z2 ¡1)jz=z1 = 3. Возьмем в качестве ° кривую, лежащую в полуплоскости Im z > 0 и соединяющую точку 2 ñ ¡2 (например, дугу окружности

jzj = 2).

arg (z2 ¡ 1)jz=¡2 = [arg (z2 ¡ 1)]° = [arg (z ¡ 1)]° + [arg (z + 1)]°:

Величина z ¡ 1 (z + 1) пробегает кривую °, сдвинутую на 1 влево (вправо). Тогда

[arg (z ¡ 1)]° = ¼; [arg (z2 ¡ 1)]° = ¼:

Подставляем все найденные величины в (6)

p w = f(¡2) = ¡2 + j3j1=2ei(2¼+2¼)=2 = ¡2 + 3:

Найдем значение ветви в точке z = i. Имеем

(z2 ¡ 1)jz=i = ¡2:

Возьмем в качестве ° кривую, лежащую в полуплоскости Im z > 0 и соединяющую точку 2 и точку i. Имеем

[arg (z2 ¡ 1)]° = [arg (z ¡ 1)]° + [arg (z + 1)]°:

Величины z ¡1 è z + 1 пробегают кривые, сдвинутые на 1 влево и вправо, соответственно. Первая из них будет лежать в полуплоскости Im z > 0 и соединять точки z = 1 è z = i¡1.

Тогда [arg (z ¡ 1)]° = 3¼=4. Аналогично [arg (z + 1)]° = ¼=4. Тогда [arg (z2 ¡ 1)]° = ¼. Соответственно, arg (z2 ¡ 1)]z=i = ¼ è

f(i) = i + p2ei(¼+2¼)=2 = i(1 ¡ p2):

p

6. Дана многозначная функция W = (z2 + 1) 3 (1 ¡ z2)z. Показать, что эта функция допускает выделение ветвей в области D = Cnfz : y = 0; jxj · 1g, выделить ветвь функции

17

p

W исходя из условия f(2) = ¡5 3 6 и найти значение этой ветви в точках z = ¡2 è z = 1=2 на верхнем и нижнем берегах разреза fz : y = 0; jxj · 1g (под значениями на верхнем и нижнем берегах разреза понимаются предельные значения соответствующей ветви, когда z стремится к 1=2, оставаясь при этом в полуплоскости Im z > 0 и, соответственно, оставаясь при этом в полуплоскости Im z < 0).

Точки ветвления этой функции 0; §1. Точка 1 точкой ветвления не является. То что

эта функция в области D допускает выделение ветвей показывается точно также как и в предыдущем пункте. Имеем

W = F (z) = (1 + z2)jz(1 ¡ z2)j1=3ei(arg(z(1¡z2))+2¼k)=3; k = 0; 1; 2:

Положим arg z(1 ¡ z2)jz=2 = arg ¡ 6 = ¼ (мы можем в качестве начального значения ар-

гумента выбрать любое возможное значение аргумента числа -6). По условию, для нашей ветви w = f(z) мы должны иметь

p p f(2) = 5 3 6ei(¼+2¼k)=3 = ¡5 3 6

Отсюда, получим, что k = 1. Таким образом, значения ветви в области D определяются

arg z(1 ¡ z2) = ¼ + [arg z(1 ¡ z2)]°;

ãäå ° кривая Жордана, соединяющая точку 2 с точкой z 2 D. Найдем значение этой ветви в точке z = ¡2. Возьмем в качестве ° кривую Жордана лежащую в полуплоскости Im z > 0 и соединяющую точки z = 2 è z = ¡2 (в силу корректности определения, значение ветви в точке z = ¡2 не зависит от выбора °). Имеем

[arg z(1 ¡ z2)]° = [arg z]° + [arg (1 ¡ z)]° + [arg (1 + z)]°;

[arg z]° = ¼. Величина (1 ¡ z) пробегает кривую, лежащую в полуплоскости Im z < 0 и соединяющую точки z = ¡1 è z = 3 от точки z = ¡1 до точки z = 3. Тогда [arg (1¡z)]° = ¼. Аналогично [arg (1 + z)]° = ¼. Имеем

[arg (z(1 ¡ z2)]° = ¼ + ¼ + ¼ = 3¼:

 ñèëó (8) arg z(1 ¡ z2)¡2 = 4¼. Подставляя все в (7), получим

p p w = f(¡2) = 5 3 6ei(4¼+2¼)=3 = 5 3 6:

Найдем значение ветви в точке z = 1=2 на верхнем берегу разреза. Соединим точку z = 2 с точкой z = 1=2 некоторой кривой °, лежащей в полуплоскости Im z > 0. Имеем

[arg z(1 ¡ z2)]° = [arg z]° + [arg (1 ¡ z)]° + [arg (1 + z)]°;

[arg z]° = 0; [arg (1 + z)]° = 0; [arg (1 ¡ z)]° = ¼;

величина (1 ¡ z) пробегает кривую, соединяющую точку z = ¡1 с точкой z = 1=2 и лежащую в полуплоскости Im z < 0. Тогда

arg z(1 ¡ z2)jz=1=2 = ¼ + ¼ = 2¼:

18

Соответственно, предельные значения функции w = f(z) сверху в точке 1=2 определяются

Чтобы найти предельные значения снизу соединим точку z = 2 с точкой 1=2 кривой °, лежащей в полуплоскости Im z < 0. Аналогично имеем

[arg z]° = 0; [arg (1 + z)]° = 0; [arg (1 ¡ z)]° = ¡¼;

7. В этом пункте мы определим некоторые стандартные ветви функций

W = Ln z; W = z® (® 2 R):

Точки ветвления этих функций 0 è 1. В качестве области D возьмем плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси, то есть D = C n fz : y = 0; x ¸ 0g. Положим

w = f(z) = ln jzj + iarg z = ln z; 0 < arg z < 2¼:

Чтобы найти значение этой ветви в точке z мы вычисляем значение аргумента z лежащее в интервале (0; 2¼). Эта ветвь логарифма принимает вещественные значения на верхнем берегу разреза (предельные значения сверху) и отображает область D на полосу 0 <

Im w < 2¼.

В этой же самой области D мы зададим функцию

w = z® = jzj®ei®arg z:

Эта ветвь принимает вещественные значения на верхнем берегу разреза и значение вида x®ei®2¼ на нижнем берегу разреза.

Конформные отображения

Ÿ1. Определение и свойства конформных отображений

Предположим, что в некоторой области D комплексной плоскости задана аналитиче-

19

Рассмотрим произвольную кривую °, заданную уравнением z = z(t) (t 2 [t0; t1]) такую,

что функция z(t) непрерывно дифференцируема на [t0; t1], jz0(t0)j =6 0 è z(t0) = z0. Ìû можем определить величину

· = lim jf(z(t)) ¡ f(z0)j=jz(t) ¡ z0j;

t!t0

которая показывает, насколько кривая ° растягивается или сжимается при отображении

f(z) в точке z = z0 и может быть названа коэффициентом растяжения кривой ° при отображении f в точке

Поскольку правая часть этого равенства не зависит от кривой мы можем сделать вывод, что для любой кривой, выходящей из точки z0 коэффициент растяжения этой кривой

есть величина постоянная (в данном случае равная jf0(z0)j). Это свойство отображения называется постоянством растяжений. Другими словами, отображение f(z) в точке z0 обладает свойством постоянства растяжений. Рассмотрим сейчас две кривые °i (i = 1; 2),

выходящие из точки z = z0 и заданные уравнениями z = zi(t) (i = 1; 2). Функции zi непрерывно дифференцируемы на некотором интервале [t0; t1] è jzi0j 6= 0, zi(t0) = z0 (i = 1; 2). Образы кривых °i при отображении f i будут описываться уравнениями w = f(zi(t))

(i = 1; 2).

Очевидно, что величина z = z ¡ z0 геометрически изображается вектором, соединяющим точку z0 è z Аналогично величина w геометрически изображается вектором,

соединяющим точку f(z0) è f(z). Следовательно, arg z, arg w есть углы между эти-

ми векторами и положительным направлением вещественной оси. Рассмотрим величи- ны arg (zi(t) ¡ z0), arg (f(zi(t)) ¡ f(z0)) (i = 1; 2). В силу выше замеченного величина

arg (zi(t) ¡ z0) ! Ái z0 и положительным направлением вещественной оси. Аналогично arg (f(zi(t)) ¡ f(z0)) ! Ãi, Ãi (i = 1; 2) åñòü

углы между направлением касательного вектора к кривой i в точке f(z0) и положительным направлением вещественной оси. Из равенства (2) мы получим, что

Величина Ãi ¡ Ái показывает, насколько кривая °i поворачивается при отображении f в точке z0. Иными словами, это есть угол поворота кривой, выходящей из точки z0 ïðè отображении f. Из (3) вытекает равенство Ã1 ¡Á1 = Ã2 ¡Á2, откуда вытекает, что Ã1 ¡Ã2 = Á1 ¡ Á2. Здесь Á1 ¡ Á2 есть угол между касательными к кривым °1, °2 в точке z0, à Ã1 ¡ Ã2

угол между касательными к кривым 1, 2 в точке f(z0). В силу произвольности взятых

кривых мы можем сделать вывод, что углы между любыми двумя кривыми, выходящими из точки z0 сохраняются, если мы применим отображение f, причем сохраняются они

не только по величине но и по направлению, что означает у нас выполнено не только равенство jÃ1 ¡ Ã2j = jÁ1 ¡ Á2j но и дополнительно мы имеем Ã1 ¡ Ã2 = Á1 ¡ Á2. Â ýòîì

случае мы говорим, что отображение f в точке z0 обладает свойством консерватизма углов.

Определение. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области D на область D1, обладающее в каждой точке области D свойствами постоянства растяжений

и консерватизма углов, называется конформным отображением.

Конформное отображение w = f(z) всегда осуществляется аналитической функцией. Более того, можно сформулировать следующее утверждение.

20