Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Югорский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

пособие1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

528.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

(x ¡ xl), ãäå xl корни полинома

x2):::(x ¡ xn) = an

5.2.4. Интегрирование рациональных дробей. Пусть подынтеграль-
		n			lP
ное выражение есть рациональная дробь P (x)					k
				Q(x) ãäå	P (x) = alxl = akxk +
- полиномы (многочлены)		Pk n			=0
- полиномы (многочлены)		Pk n
ak¡1xk¡1 + ::: + a1x + a0 è Q(x) =		l=0	alxl = anxn + an¡1xn¡1 + ::: + a1x + a0
	степеней		и соответственно. Не умаляя общ-

ности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P (x) = Q(x)R(x) + S(x); ãäå R(x) è S(x)-полиномы, называемые частным и остатком, причем степень поли-

íîìà S(x) меньше n. Тогда имеет место разложение	P (x)	= R(x) +	S(x)
íîìà S(x) меньше n. Тогда имеет место разложение	Q(x)	= R(x) +	Q(x),
Покажем на примере, как можно его получить. Пусть

P (x) = x7 + 3x6 + 3x5 ¡ 3x3 + 4x2 + x ¡ 2; Q(x) = x3 + 3x2 + x ¡ 2:

Делим столбиком многочлен P íà Q. Имеем

_x7 + 3x6 + 3x5 ¡ 3x3 + 4x2 + x ¡ 2 ¯¯ x43+3x22+x¡2 x +2x ¡4x+7

x7 + 3x6 + x5 ¡ 2x4

_ 2x5 + 2x4 ¡ 3x3 + 4x2 + x ¡ 2 2x5 + 6x4 + 2x3 ¡ 4x2

_ ¡ 4x4 ¡ 5x3 + 8x2 + x ¡ 2 ¡4x4 ¡ 12x3 ¡ 4x2 + 8x

_7x3 + 12x2 ¡ 7x ¡ 2 7x3 + 21x2 + 7x ¡ 14

¡9x2 ¡ 14x + 12

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x4 + 2x2 ¡ 4x + 7 и остаток S(x) =

9x2 ¡ 14x + 12 от этого деления.

По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде Q(x) = an(x ¡ x1)(x ¡

Q(x) повторенные

l=1

столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1; x2; :::; xn. Тогда пра-

вильная рациональная дробь может быть представлена в виде P (x) = A1 +

Q(x) x¡x1

A2	+ ::: +		An	A1; A2; :::; An- числа подлежащие определению. Если
x¡x2		x¡xn , ãäå

x32¡x+1 dx. x ¡3x+2

xi- корень кратности®, то ему в разложении на простейшие дроби соответ-

ствует ® слагаемых	A1	+	A2		+:::+	A®		. Åñëè xj комплексный корень
			(x¡xi)	2		(x¡xi)	®
x¡xi
кратности ® полинома с действительными коэффициентами, то комплексно

сопряженное число xj тоже корень кратности ® этого полинома. Чтобы

не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных коðíей, объединяют и записы- вают одним слагаемым вида Mx+N ; åñëè xj; xj корни кратности один.

x2+px+q

Åñëè xj; xj корни кратности ®, то им соответствует ® слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

	M1x + N1	+	M2x + N2	+ ::: +		M®x + N®	:
	x2 + px + q	+	(x2 + px + q)2	+ ::: +		(x2 + px + q)®	:

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей све-

лось к интегрированию простейших дробей, из которых

x¡a

(x¡a)n

являются табличными, а интеграл

In =

может быть най-

x2+a2

(x2+a2)n

ден по рекуррентной формуле,

которая

получается интегрированием по

частям:

2n ¡ 3

n¡1

Интегралы

2a2(n ¡ 1)(x2 + a2)n¡1

2a2(n ¡ 1)

в случае, когда знаменатель имеет ком-

x2+px+q

(x2+px+q)n

плексные

корни (дискриминант

D = p

, сводятся, с помощью вы-

4q < 0)

деления полного квадрата, к интегралам

заменой x +

(x +a

)

Одним из способов нахождения коэффициентов Aj; Mj; Nj в разложе-

нии правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj; Mj; Nj

приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой ча- стей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (òàê êàê

полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффици-

ентов. R

Пример 5.11. Найти

Корни знаменателя x1 = ¡2 кратности 1 и x2 = 1 кратности 2. Поэто- ìó x3 ¡ 3x + 2 = = (x + 2)(x ¡ 1)2 и подынтегральная функция может

быть представлена в виде

x2 ¡ x + 1	=	A1	+		A2	+	A3	:
		x + 2		x ¡ 1			(x ¡ 1)2
x3 ¡ 3x + 2

Приводя к общему знаменателю, получаем

x2¡x+1 = A1(x¡1)2+A2(x¡1)(x+2)+A3(x+2) =

x3¡3x+2 x3¡3x+2

= (A1+A2)x2+(¡2A1+A2+A3)x+(A1¡2A2+2A3): x3¡3x+2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего сотношения, получаем

8 ¡2A1

+ A2 + A3

= ¡1;

+ A2

= 1;

< A1 ¡ 2A2 + 2A3

= 1:

= 3.

Решая эту систему, :

A1 = 9; A2

= 9; A3

находим

Таким образом,

¡x+1

dx = 7

x+2

x¡1

(x¡1)

x ¡3x+2

= 7 ln

x + 2

2 ln

j ¡

+ C:

R 9

Rx1

3(x 1)

Корни знаменателя

= 2 кратности 1 и два комплексных корня

Пример 5.12. Найти

x ¡2x¡4

2x3 +2x¡2

dx.

x2;3 = ¡1 §i. Поэтому x3 ¡2x ¡4 = (x ¡2)(x2 + 2x + 2) и подынтегральная функция может быть представлена в виде

2x2 + 2x ¡ 2

Mx + N

x3 ¡ 2x ¡ 4

x ¡ 2

x2 + 2x + 2

Приводя к общему знаменателю, получаем

2x2+2x 2

A(x2+2x+2)+(Mx+N)(x¡2)

¡2x¡4

x ¡2x¡4

(A+M)x +(2A¡2M+N)x+(2A¡2N)

x3¡2x¡4

8	A	M		= 2;
	2A+		2M + N = 2;
<	2A ¡		2N	= 2:
Решая эту систему, :	¡		A = 1; M = 1; N = 2:
				¡

находим

Таким образом,

x+2

+2x¡2

dx =

2x 4

¡2

+2x+2

x 2

¡x+1+1¡

dx =

¡dx

x+1

x2+2x+2

x 2

x2+2x+2

= ln jx ¡ 2j +

ln(x

+ 2x + 2) + arctg(x + 1) + C:

5.2.5. Интегрирование простейших иррациональностей и выражений,p содержащихp p тригонометрические функцииp .pÏóñòü p

R(x; r1 x; r2 x; :::; rn x) рациональная функция от x; r1 x; r2 x; :::; rn x: Ýòà

функция, а следовательно, и интеграл от не¼, рационализируется подстановкой x = tr;ãäå r наименьшее общее кратное чисел r1; r2; :::; rn. Тогда

dx = rtr¡1dt и под интегралом стоит рациональнàÿ ôóíêöèÿ îò t: Àíàëî-

³2

гично, если подынтегральное выражение R

ax+b

;

ax+b

rn ax+b

x; 1

cx+d

cx+d; :::;

cx+d

axq

ax+b

= tr; ãäå r íàè-

есть рациональная функция от x;

;

; :::;

ax+b

cx+d

cx+d, то подынте-

гральная функция рационализируется подстановкой

cx+rd

меньшее общее кратное чисел r1; r2; :::; rn. Тогда x =

¡dtctr¡+ba

: Подставляя в

исходное выражение, получаем раöиональную функцию от t:

2 и 3 равно 6. Поэтому делаемR замену x = t6: Тогда dx = 6t5dt è

Пример 5.13. Вычислить

dx:

x¡px2

Наименьшее общее кратное чисел

dx =

6t dt = 6

dt =6

2 1+1dt =

x¡px2

¡t

¡1

R t2¡1 R

t ¡1

t¡1

t+1

= 6 (t2 + 1)dt + 6

= = 6 (t2 + 1)dt + 3

= 2t3 + 6t + 3 ln

+ C = 2t3 + 6t + 3 ln

t¡1

3 ln

t + 1

+ C =

j6 ¡

t+1

Для интегрирования

рациональных¯

функций вида R(sin x; cos x) приме-

= 2px + 6 p6 x + 3 ln

6 x¡1

+ C:

px+1

няют подстановку t = tgx2 , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда x = 2arctg t; dx = 1+2dtt2 ; sin x = 1+2tt2 ; cos x =

1¡t2 : К сожалению, универсальная тригонометрическая подстановка часто

1+t2

приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками. Если R(¡ sin x; cos x) = ¡R(sin x; cos x), òî

делают замену cos x = t и тогда sin x dx = ¡dt: Ïðè R(sin x; ¡ cos x) =

¡R(sin x; cos x), полагают sin x

t; ïðè ýòîì cos xdx = dt; а в случае

sin x;

cos x)

= R(sin x; cos x) делают замену tg x = t, при которой

x = arctg t, dx =

; sin x =

; cos x =

, или замену ctg x = t,

1+t2

если это удобнее. Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 5.14. Вычислить интеграл R cos4 x sin3 xdx. Делаем замену cos x = t. Тогда

cos4 x sin3 xdx =

cos7 x

cos5 x

= ¡ Z t4(1 ¡ t2)dt =

+ C =

+ C:

Делая замену sin x = t, получаем

sin x

Пример 5.15. Вычислить интеграл

cos3 x

dx.

cos3 x

)

dx = Z

(1 ¡

= Z

¡ Z

+ C =

sin4 x

3t3

=¡3 sin3 x + sin x + C:

R 1 dx.

Пример 5.16.

Найти интеграл

sin4 x

Делаем замену tgx = t: Подставляя, получаем

sin4 xdx = Z

t4(1 + t2)

= Z

(1 + t2)2dt

(1 + t2)dt

= Z

+ Z

= ¡

+ C = ¡

ctg3x ¡ ctgx + C:

3t3

Заметим, что замена

t здесь удобнее, так как тогда

dx = ¡

1+t2

ctg1 =

sin x =

и поэтому R

dx =

sin4 x

1+t2

= ¡ Z

(1 + t2)2dt

= ¡ Z

(1 + t2)dt = ¡

¡ t + C = ¡ ¡

ctg3x

¡ ctgx + C:

(1 + t2)

5.2.6. Задача интегрирования в конечном виде

Как известно, элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и им обратные функции, а также полученные из перечисленных с помощью их суперпозиции и операций сложения, умножения, вычитания, деления, извлечения корня. При изучении производных мы видели, что производная элементарной функции снова есть элементарная функция. Для первообразной это не так. Не для

каждой элементарной функции первообразная есть элементарная функ-

ция. Наиболее известны из них следующие

e¡x2 dx,

cos x2 dx, sin x2 dx,

sin x dx

x интегральный синус,

cos xdx

x интегральный ко-

= si

= ciR

синус,

li x =

y dy

- интегральный логарифм.

ln x

5.3. Определ¼нный интеграл

5.3.1. Определение и свойства

Определение 5.3. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b].

Разобьем отрезок [a; b] на части точками a = x0 < x1 < ::: < xn = b, âûáå-

рем внутри каждого элементарного отрезка [xi; xi+1] по точке »i 2 [xi; xi+1] и составим сумму ¾n = nP¡1 f(»i)Δxi, ãäå xi = xi+1 ¡ xi. Предел сумм

i=0

¾n при неограниченном увеличении числа точек разбиения, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения, способа выбора точек »i,

при условии, что величина max xi стремится к нулю, называется опреде-

ленным интегралом (интегралом Римана) от функции f(x) и обозначается

Rb f(x) dx:

Заметим, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] за исклю-

чением конечного числа точек разрыва первого рода, то для нее существует

интеграл Римана.

Отметим некоторые свойства определенного интеграла при условии су-

ществования всех используемых ниже интегралов.

Rab

f(x) dx = ¡c

f(x) dx: b

f(x) dx = Ra

2. Rab

f(x) dxb+ Rc

f(x)

3. Rab(f(x) § g(x))

= Ra

dx:

( )

§ Ra

( )

f x

g x

dx:

k f(x) dx = k Ra

f(x) dx (kb = const.)

Åñëè f(x) > 0 è a 6 b, òî Ra

f(bx) dx > 0.

( ) 6

6 Ra

Åñëè f x

g(x) è a

b, òî

f(x) dx

g(x) dx:

¯a

f(x) dx¯

6 a

jf(x)jdx (a 6 b):

·¯

, òî

Åñëè

¯f(x)

m(b ¡ a) · f(x) dx =· M(b ¡ a):

9. Åñëè f(x) непрерывна на [a; b], то существует точка c èç [a; b] такая,

÷òî Rb f(x) dx = f(c)(b ¡ a):

5.a3.2. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Нью- тона-Лейбница. Рассмотрим функцию Φ(x) = Rx f(t) dt и опишем несколь-

ко свойств этой функции.

Теорема 5.3. Если f(x) интегрируемая на [a; b] функция, то Φ(x) непрерывна на [a; b].

Теорема 5.4. Если f(x) непрерывная на [a; b] функция, то Φ0(x) = f(x) íà [a; b].

Таким образом, Φ(x) одна из первообразных функции f(x); следовательно, Φ(x) = F (x) + C; ãäå F (x) другая первообразная f(x): Далее, так как Φ(a) = 0; òî 0 = F (a) + C; следовательно, C = ¡F (a) и поэтому Φ(x) = F (x)¡F (a): Полагая x = b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

f(x)dx = Φ(b) = F (b) ¡ F (a):

Пример 5.17.

0	1		0	1	¯	1
Z	ex2xdx =	21	Z	ex2d(x2) = 21 ex2	¯		= e1¡2 e0	= e¡2 e:
						0
					¯

Пример 5.18.

¼			¼
R			R				¯	¼
3	3		3	3		sin4 x		3
sin		x cos xdx =	sin		xd sin x =	4	¯	¼	=
¼			¼				¯	4

=14(sin4 ¼3 ¡ sin4 ¼4 ) = 14(( 23 )4 ¡ (( 22 )4) = 645 :

5.3.3.Интегрирование по частям в определ¼нном интеграле. Â

определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям.

Âэтом случае она приобретает вид4 4

Zb Zb

f0(x)g(x) dx = fg(x)jba ¡ f(x)g0(x) dx:

a a

Также ее можно записать так

dx = 2tdt и поэтому

Zb Zb

g(x) df(x) = fg(x)jba ¡ f(x)dg(x):

a a

Пример 5.19.

¼		¼
2		2			¼
Z0	¼	¡ Z0	¼	¼

	x cos xdx = x sin xj02		sin xdx = x sin xj02	+ cos xj02	=		¡ 1:
						2

5.3.4. Замена переменных в определ¼нном интеграле. Один из вариантов результатов о замене переменных в определ¼нном интеграле следующий.

Теорема 5.5. Пусть f(x)- непрерывна на отрезке [a; b] и функция '(t) удовлетворяет условиям:

		'(®) = a; '(¯) = b; a 6 '(t) 6 b 8t 2 [®; ¯];
производная '0(t) определена всюду на отрезке [®; ¯]:
	Ra	R
Тогда	b	¯
Тогда		f(x) dx = f('(t))'0(t) dt:
		®

Замечание. При отказе от непрерывности функции f(x) в условиях теоремы 2.3 приходится требовать монотонности функции '(t).

Пример 5.20. Вычислить интеграл 1+xdxx: Положим x = t2: Тогда

0 p

2t3dt

= 2

((t3 + 1) ¡ 1)dt

= 2

((t + 1)(t2 ¡ t + 1) ¡ 1)dt

1 + t

¯0

= 2 (t2 ¡ t + 1)dt ¡ 2

1 + t

3 ¡ 2 + t ¡ ln(1 + t)

= 2

+ 2 ¡ (ln 3 ¡ ln 1)¶

¡ 2 ln 3:

5.4. Несобственные интегралы

5.4.1. Несобственные интегралы первого рода.

Определение 5.4. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a; 1)

	>		A		A
и для всякого A		a существует интеграл		f(x) dx: Предел	lim f(x) dx
			Ra	A!1 Ra
называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неогра-
ниченному промежутку) и обозначается			Ra	A!1 Ra
			1		A
			f(x) dx: Åñëè lim		f(x) dx ñó-

ществует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется

сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несоб-

ственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Пример 5.21. Рассмотрим

xdx® . Пусть ® = 1: Тогда dxx

= lim dxx =

A!1 1

Таким образом,

рассмотренный инте-

Alim (ln xj1 ) =

Alim (ln A ¡ ln 1) = 1:

ãðàë ïðè ® = 1 расходится. Пусть теперь ® 6= 1: Тогда

1 dx

= lim

x1¡®

A =

ïðè ® < 1;

Z x®

A!1 Z x®

A!1

¯1

ïðè ® > 1;

® 1

и мы окончательно получили, что рассматриваемый¯

интеграл при ® 6 1

расходится и при ® > 1 сходится. Этот интеграл часто используется в

Определение 5.5. Несобственный интеграл первого						1		Ra
признаке сравнения в качестве эталонного.						ðîäà		1	f(x) dx íà-
						ðîäà			f(x) dx íà-
зывается абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Ra							jf(x)j dx:
Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсо-
			R						1
лютно, то он сходится.aОбратное утверждение неверно. Сходимость несоб-
ственного интеграла ¡1 f(x)dx определяется аналогично.									R
Определение 5.6.					1		a		R
Определение 5.6.				Говорим, что несобственный интеграл					¡1 f(x)dx
		1	a	1	R		R	f(x) dx. Ïî-
сходится если для некоторого числа a сходятся					f(x) dx è			f(x) dx. Ïî-
Â		R	aR	R	a	¡1
лагаем		¡1	¡1	a
		f(x) dx =		f(x) dx + f(x) dx:
	качестве точки		выбирают обычно 0.

Пример 5.22. Рассмотрим интеграл ¡1 1+xdxx2 : По определению сходимо- сти этого интеграла получаем

xdx

1+x

lim

1+x

¡1

A1!¡1A1

1+x

A2!+1 0

lim

ln(x

lim

ln(x + 1)

+ 1)¯A1

¯0

= A1!¡1

A2!+1

Следовательно, этот интеграл расходится.

С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к 1 можем записать

R			¡R					¯
1	xdx	= lim	A	xdx	= lim	1	ln(x2 + 1)	¯	A	=
	2	= lim		2	= lim	1	ln(x2 + 1)		¡A	=
¡1	1+x	A!1 A		1+x	A!1	2			¡A
¡1

= lim (ln(A2 + 1) ¡ ln(A2 + 1) = 0:

A!1

Это дает возможность ввести новое понятие.

R1 Определение 5.7. Говорим, что несобственный интеграл первого рода f(x) dx сходится в смысле главного значения Коши, если существует и

¡1

конечен предел lim RA f(x) dx.

A!1¡A

РассмотренныйR1 выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода ¡1 f(x)dx может сходиться в смысле главного значения Коши

	Отметим несколько1свойств несобственных интегралов							Ra	f(x)dx:
и расходиться в обычном смысле.								1
	1. Если интеграл	Ra	f(x)dx		b			b > a
Rb		1R			сходится, то для всякого					интеграл
Rb		1R			R		Rb		1
1	f(x)dx сходится и	1					1
	f(x)dx сходится и	f(x)dx =				f(x)dx + f(x)dx:
	2. Если интеграл	a	1		a	1			Ra
	2. Если интеграл	Ra	1			1			Ra
		f(x)dx сходится, то сходится интеграл ® f(x)dx è
имеет место равенство1Ra				® f(x)dx1= ® Ra			f(x)dx:
1	3. Если интегралы Ra		f(x)dx è Ra			g(x)dx сходятся, то сходятся интегралы
Ra	(f(x) § g(x))dx и имеет место равенство

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.07.201935.95 Кб15Понятие ценных бумаг.docx
#
04.12.2018527.36 Кб11Пособие 2 хх в..doc
#
30.04.2019409.09 Кб11пособие по написанию ВКР.doc
#
04.03.2016690.18 Кб158пособие по философии (1).doc
#
28.04.20191.01 Mб24пособие по философии.doc
#
04.03.2016528.5 Кб18пособие1.pdf
#
04.03.2016698.88 Кб34Пр ТВМС.doc
#
04.03.201692.16 Кб4правила внутр распорядка.doc
#
23.12.2018442.88 Кб7правоведение. ответы к экзамену.doc
#
20.11.20191.91 Mб3практ_модели мира.doc
#
17.11.201986.53 Кб0практика производственная 3.doc