|
x = 8 (cos t + t sin t) ; |
18.21. |
½ y = 8 (sin t ¡ t cos t) ; |
18.23. |
0 · t · ¼/4: |
½ y = 4 sin3 t; |
|
x = 4 cos3 t; |
|
¼/6 · t · ¼/4: |
|
x = 2 (t ¡ sin t) ; |
18.25. |
½ y = 2 (1 ¡ cos t) ; |
|
0 · t · ¼/2: |
|
x = 2 (cos t + t sin t) ; |
18.27. |
½ y = 2 (sin t ¡ t cos t) ; |
|
0 · t · ¼/2: |
|
x = 2 cos3 t; |
18.29. |
½ y = 2 sin3 t; |
0· t · ¼/4:
½x = t sin t + t cos t;
18.31.y = t cos t + t sin t;
0· t · ¼:
½¡ ¢
18.22.x = ¡t2 ¡ 2¢ sin t + 2t cos t; y = 2 ¡ t2 cos t + 2t sin t;
18.24. |
0 |
· t · 2¼: |
|
½ y = et (cos t ¡ sin t) ; |
|
|
x = et (cos t + sin t) ; |
|
0 |
· t · 3¼/2: |
|
|
x = 4 (2 cos t ¡ cos 2t) ; |
18.26. |
½ y = 4 (2 sin t ¡ sin 2t) ; |
|
0 |
· t · ¼: |
|
18.28. |
|
x = |
¡ |
t2 ¡ 2 sin t + 2t cos t; |
|
· |
|
|
¢ |
½ y = |
¡2 ¡ t2 |
¢cos t + 2t sin t; |
|
0 |
|
t · 3¼: |
|
½x = et (cos t + sin t) ;
18.30.y = et (cos t ¡ sin t) ;
¼/6 · t · ¼/4:
19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
19.1. ½ = 3e3'/4; |
¡ ¼/2 · ' · ¼/2: |
19.2. ½ = 4e4'/3; |
¡ ¼/2 · ' · ¼/2: |
19.3. ½ = p |
|
e'; |
¡ ¼/2 · ' · ¼/2: |
2 |
19.4. ½ = 5e5'/12; |
¡ ¼/2 · ' · ¼/2: |
19.5. ½ = 6e12'/5; |
¡ ¼/2 · ' · ¼/2: |
19.6. ½ = 3e3'/4; 0 · ' · ¼/3:
19.7. ½ = 4e4'/3; 0 · ' · ¼/3: 19.8. ½ = p2e'; 0 · ' · ¼/3:
19.9. ½ = 5e5'/12; 0 · ' · ¼/3: 19.10. ½ = 12e12'/5; 0 · ' · ¼/3:
19.11. ½ = 1 ¡ sin '; ¡ ¼/2 · ' · ¡¼/6:
19.12. ½ = 2 (1 |
¡ cos ') ; |
¡ ¼ · ' · ¡¼/2: |
19.13. ½ = 3 (1 |
+ sin ') ; |
¡ ¼/6 · ' · 0: |
19.14. ½ = 4 |
(1 |
¡ sin ') ; 0 · ' · ¼/6: |
19.15. ½ = 5 |
(1 |
¡ cos ') ; |
¡ ¼/3 · ' · 0: |
19.16. ½ = 6 |
(1 |
+ sin ') ; |
¡ ¼/2 · ' · 0: |
19.17. ½ = 7 |
(1 |
¡ sin ') ; |
¡ ¼/6 · ' · ¼/6: |
19.18. ½ = 8 (1 ¡ cos ') ; ¡ 2¼/3 · ' · 0:
19.19. ½ = 2'; 0 |
· ' · 3/4: |
19.20. ½ = 2'; 0 |
· ' · 4/3: |
19.21. ½ = 2'; 0 |
· ' · 5/12: |
19.22. ½ = 2'; 0 · ' · 12/5: 19.23. ½ = 4'; 0 · ' · 3/4: 19.24. ½ = 3'; 0 · ' · 4/3: 19.25. ½ = 5'; 0 · ' · 12/5:
19.26. ½ = 2 cos '; 0 · ' · ¼/6: 19.27. ½ = 8 cos '; 0 · ' · ¼/4: 19.28. ½ = 6 cos '; 0 · ' · ¼/3:
19.29. ½ = 2 sin '; 0 · ' · ¼/6: 19.30. ½ = 8 sin '; 0 · ' · ¼/4: 19.31. ½ = 6 sin '; 0 · ' · ¼/3:
20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.
|
20.1. |
x2 |
+ y2 = 1; |
z = y; z = 0 (y ¸ 0) : |
|
9 |
|
20.2. z = x2 + 4y2; |
z = 2: |
|
20.3. x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
¡ z2 |
= 1; z = 0; z = 3: |
|
20.4. |
92 |
42 |
|
x |
+ |
y |
|
¡ |
36z |
= |
¡ |
1; |
z = 12: |
|
|
|
|
|
|
92 |
|
42 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.5. |
x |
+ |
y |
|
+ |
z |
|
= 1; |
z = 1; z = 0: |
|
16 |
9 |
4 |
|
|
20.6. x2 + y2 = 9; |
z = y; z = 0 (y ¸ 0) : |
|
20.7. z = x2 + 9y2; |
z = 3: |
|
20.8. x2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y2 |
¡ z2 |
= 1; z = 0; z = 3: |
|
20.9. |
42 |
|
x |
2+ 16y |
2¡ 64z |
2= ¡1; |
z = 16: |
|
9 |
|
20.10. |
x |
+ |
y |
|
+ 16z = 1; z = 2; z = 0: |
|
16 |
9 |
|
20.11. |
x2 |
|
y2 |
|
= 1; z = yp |
|
|
; z = 0 (y ¸ 0) : |
|
+ |
|
3 |
|
3 |
4 |
|
20.12. z = 2x2 + 8y2; z = 4: |
|
20.13. |
x2 |
+ 25y2 |
¡ |
z2 = 1; z = 0; z = 2: |
|
81 |
|
20.14. |
x2 |
+ |
y2 |
|
36z2 |
= |
|
|
1; z = 12: |
|
|
|
¡ |
¡ |
|
42 |
92 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.15. |
x |
+ |
y |
|
+ 36z |
= 1; z = 3; z = 0: |
|
16 |
9 |
|
20.16. |
x2 |
+ 16y2 |
= 1; z = yp |
|
; z = 0 (y ¸ 0) : |
|
3 |
|
3 |
|
20.17. z = x2 + 5y2; z = 5: |
|
20.18. x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
¡ z 2 |
|
= 1; z = 0; z = 4: |
|
20.19. |
92 |
42 |
|
|
x |
+ 25y |
¡ |
|
z |
|
= |
¡ |
1; z = 20: |
|
|
100 |
|
92 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.20. |
x |
+ |
y |
|
+ 64z |
= 1; z = 4; z = 0: |
|
16 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.21. x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
27 |
+ 25 |
|
= 1; z = p |
|
|
|
; z = 0 (y ¸ 0) : |
3 |
20.22. z = 4x2 + 9y2; |
|
z = 6: |
20.23. x2 + |
y2 |
|
¡ |
z2 = 1; z = 0; z = 3: |
4 |
|
20.24. |
x2 |
+ |
y2 |
|
|
|
z2 |
= |
|
|
1; z = 20: |
25 |
9 |
¡ |
100 |
¡ |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20.25. |
x |
+ |
y |
|
+ |
|
z |
|
= 1; z = 5; z = 0: |
16 |
9 |
100 |
20.26. 2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x27 |
= 1; z = p |
|
; z = 0 (y ¸ 0) : |
|
3 |
20.27. z = 2x2 + 18y2; z = 6: |
20.28. |
x2 |
+ |
y2 |
|
¡ |
z2 = 1; z = 0; z = 2: |
25 |
9 |
20.29. |
x2 |
+ |
y2 |
|
|
|
64z2 |
= |
|
|
1; z = 16: |
16 |
9 |
¡ |
|
|
¡ |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20.30. |
x |
+ |
y |
|
+ |
|
z |
|
= 1; z = 6; z = 0: |
16 |
9 |
|
144 |
20.31. |
x2 |
+ |
y2 |
|
+ |
z2 |
|
= 1; z = 7; z = 0: |
16 |
9 |
196 |
21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1 16 ось вращения Ox, в вариантах
17 31 ось вращения Oy.
21.1. y = ¡x2 + 5x ¡ 6; y = 0:
21.2. 2x ¡ x2 ¡ y = 0; 2x2 ¡ 4x + y = 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.3. y = 3 sin x; y = sin x; 0 · x · ¼: |
|
21.4. y |
= 5 |
cos x; |
|
y = cos x; x = 0; x |
¸ |
0: |
|
2 |
x; |
x = ¼/2; y = 0: |
|
21.5. y = sin |
|
|
21.6. x = p3 |
|
; x = 1; y = 1: |
|
|
y ¡ 2 |
|
|
21.7. y = xex; y = 0; x = 1: |
|
|
21.8. y = 2x ¡ x2; y = ¡x + 2; x = 0: |
|
21.9. y = 2x ¡ x2; y = ¡x + 2: |
|
|
21.10. y = e1¡x; y = 0; x = 0; x = 1: |
|
|
21.11. y = x2; y2 ¡2 x = 0: |
|
|
21.12. x2 + (y ¡ 2) |
= 1: |
|
|
|
|
21.13. y = 1 ¡ x2; x = 0; x = p |
|
; x = 1: |
y ¡ 1 |
21.14. y = x2; y = 1; x = 2: |
|
|
21.15. y = x2; y = p |
|
|
|
|
|
|
x: |
|
|
|
|
21.16. y = sin (¼x/2) ; y = x2: |
|
|
21.17. y = arccos (x/3) ; |
y = arccos x; |
y = 0: |
21.18. y = arcsin (x/5) ; |
y = arcsin x; |
y = ¼/2: |
21.19. y = x2; x = 2; y = 0: |
|
|
21.20. y = x2 + 1; |
y = x; x = 0; y = 0: |
|
21.21. y = p |
|
; |
y = 0; y = 1; x = 0; 5: |
x ¡ 1 |
21.22. y = ln x; x = 2; y = 0:
21.23. y = (x ¡ 1)2 ; y = 1:
21.24. y2 = x ¡ 2; y = 0; y = x3; y = 1:
21.25. y = x3; y = x2:
21.26. y = arccos (x/5) ; y = arccos (x/3) ; y = 0: 21.27. y = arcsin x; y = arccos x; y = 0:
21.28. y = x2 ¡ 2x + 1; x = 2; y = 0:
21.29. y = x3; y = x:
21.30. y = arccos x; y = arcsin x; x = 0: 21.31. y = (x ¡ 1)2 ; x = 0; x = 2; y = 0:
22. Вычислить несобственные интегралы или установить их сходимость (расходимость).
22.1. |
Re |
|
x ln x. |
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.3. |
R1 |
|
2+x3 dx. |
|
1 x cos x |
22.5. |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln3 x. |
|
1 |
|
|
dx |
|
22.7. |
R1 |
|
px3+1dx. |
|
1 |
|
sin x |
|
22.9. |
1 |
|
|
|
3x+1 |
R1 |
|
(2+x)2p |
|
|
|
|
|
dx. |
|
x+1 |
|
1 |
|
|
dx |
22.11. |
R0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
x2 |
+2x+2 |
|
|
R1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.13. |
x x5+4 dx. |
|
|
1 |
|
|
+6x+9 |
22.15. |
R0 |
x2+2x+2dx. |
|
|
1 |
|
|
x+1 |
|
|
1 xarctgx |
22.17. 1 |
2+xp |
|
|
|
dx. |
x+1 |
22.19. |
R0 |
5+x6 dx. |
|
|
R1 |
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
2+sin x |
22.21. 1 |
(6x+1)p |
|
dx. |
x+1 |
22.23. |
R0 |
x2+x+8. |
|
|
R1 |
|
|
dx |
|
22.2. R11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
22.4. R02 |
|
p |
x2¡1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
sin2 x |
. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
22.6. |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px¡1. |
|
|
|
|
|
|
R12 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2+1 |
|
|
|
|
|
|
22.8. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1p16¡x2 |
|
|
|
|
ln(1+p |
|
|
|
|
|
|
x) |
|
22.10. |
|
|
|
p |
|
|
|
sin x dx. |
|
|
|
x3 |
R0e |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
22.12. R11 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
22.14. |
|
|
|
|
cos x |
|
|
dx. |
|
|
x sin x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.16. R |
|
|
ex dx. |
|
¡R11 |
|
|
x2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
22.18. |
|
|
p |
|
|
sin xdx. |
|
|
x |
R0e |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
22.20. R02 |
|
|
|
|
|
|
|
x ln2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
22.22. |
|
|
|
sin x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
x+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0e x(xdx |
|
|
|
|
|
|
22.24. R0 |
ln x . |
|
|
|
Литература
1.Демидович В.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Издание 13. М.: Издательство МГУ, Издательство ЧеРо, 1997.
2.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1994.
3.Ельцов А. А. Высшая математика II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Конспект лекций. Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 1998.
4.Саженков А.Н., Саженкова Т.В., Славский В.В. Математический анализ. Теория пределов, непрерывность и дифференцируемость. Барнаул: Из-во Алтайского госуниверситета, 1997.
5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа,2001.
Содержание
Глава 1. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 2. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Глава 3. Предел функции. Непрерывность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Глава 4. Дифференцирование. Исследование функций. . . . . . . . . . . . . . . 29 Глава 5. Интегрирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Аннотация
Настоящее учебно-методическое пособие написано для использования на практических занятиях по курсу математического анализа на факультете информатики и прикладной математики Югорского государственного университета. В начале каждой темы кратко излагаются основные теоретические сведения (определения, формулировки теорем и формулы, необходимые для решения задач). Приводятся решения типовых задач, даются теоретические задачи. Каждая глава заканчивается списком расчетных заданий, которые могут использоваться как при проведении практических занятий, так и при подготовке контрольных работ и семестровых заданий. В первую часть включены материалы, относящиеся к первому семестру, т.е. метод математической индукции, пределы последовательностей и функций, дифференцирование, интегрирование функций одной переменной. При подборе задач были использованы: "Сборник задач по математи- ческому анализу"Б. П. Демидовича, "Сборник заданий по высшей математике"Л. А. Кузнецова и некоторые другие. Полный список использованной литературы приведен в конце пособия.