пособие1

n-го порядка непрерывна в точке a может быть представлена в виде:

f(x) = Xn f(k)(a)(x ¡ a)k + o((x ¡ a)n); k!

k=0

Формула Тейлора применяется и при нахождении пределов функций в особых случаях (неопределенностях указанного вида):

0/0 когда функция есть отношение бесконечно малых; 1=1 когда функция есть отношение бесконечно больших.

При нахождении этих пределов используется также и следующее правило.

Правило Лопиталя Пусть функции f(x) è g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением может быть самой точки x = a, причем lim f(x) = lim g(x) = 0 (èëè lim f(x) =

Используя формулу Тейлора имеем, что в некоторой окрестности 0 ñïðà-

31

ãäå b неопределенность вида 1=1. Вычисляем по правилу Лопиталя:

Аппарат теории пределов и дифференцирования позволяет выявить характерные черты поведения функции и строить ее график выявлением общих свойств, которыми, возможно, она обладает.

Определение 4.3. Значение f(x) в точке a называется локальным максимумом (минимумом), если найдется окрестность точки a, в которой

f(a) ¸ f(x) (f(a) · f(x)).

Определение 4.4. Если на некотором интервале кривая расположена ниже (выше) любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх (вниз) на этом интервале. Точка на кривой, где меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Определение 4.5. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если выполняется хотя бы одно из соотношений:

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой при x ! +1 (x ! ¡1), åñëè

lim [f(x) ¡ kx ¡ b] = 0 ( lim [f(x) ¡ kx ¡ b] = 0).

x!+1 x!¡1

Построение графиков функций. Построение графиков функций основано на использовании определений и нижеследующих правил, опирающихся на свойства пределов и производных.

Правило 4.1. Возрастание и убывание функции y = f(x) характери-

зуется знаком ее производной y0: если на некотором интервале y0 > 0, то на этом интервале функция возрастает, если y0 < 0, то убывает.

Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения и где ее производная равна нулю или не существует (необходимое, но недостаточное условие экстремума).

Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее производной, то функция имеет экстремум в точках, где ее производная меняет знак, а сама функция непрерывна. Отсюда вытекает следующее правило.

32

Правило 4.2. Чтобы найти точки экстремума функции y = f(x) íóæ- íî:1) найти производную y0 и критические точки, в которых y0(x) = 0

или не существует, а сама функция непрерывна, и которые лежат внутри области определения функции;

2) определить знак y0(x) слева и справа от каждой критической точки; если при переходе через критическую точку x0 производная y0 меняет знак ñ + íà -, òî x0 точка максимума; если с - на +, то x0 точка минимума;

если не меняет знака, то нет экстремума.

Иногда проще исследовать критические точки по знаку второй производной:

2а) найти y00 и определить знак в критических точках; если в критиче-

ской точке x0 имеет место y00 > 0, òî x0 точка минимума; если y00 < 0, òî x0 точка максимума; если y00=0, то вопрос остается открытым, поэтому

возвращаемся к 2).

Правило 4.3. Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции y = f(x), на отрезке [a; b], где она непрерывна, нужно:

найти критические точки внутри [a,b] и вычислить значения функции в этих точках;

вычислить f(a) è f(b);

сравнить полученные значения функции.

Правило 4.4. Чтобы найти абсциссы точек перегиба кривой y = f(x),

нужно:

найти точки x, ãäå y00(x)=0, или не существует, а кривая непрерывна и

которые лежат внутри области ее определения;

определить знак y00 слева и справа от каждой из этих точек, тогда исследуемая точка x будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нее y00(x) имеет разные знаки;

интервалы, где кривая выпукла вверх (вниз), определяются из условия, что их границами могут быть только абсциссы точек перегиба, точки разрыва и граничные точки области определения кривой.

Правило 4.5. Чтобы найти вертикальные и наклонные асимптоты кривой y = f(x), нужно воспользоваться определением, а для нахождения k è

b соотношениями

33

Непрерывна всюду.

Функция четная, так как '(¡x) = '(x), следовательно, ее график сим-

горизонтальная асимптота.

y0 = ¡x'(x), y0 > 0 ïðè x < 0 è y0 < 0 ïðè x > 0. Поэтому на интервале (¡1; 0) '(x) возрастает, а на (0; +1) убывает.

Òàê êàê y0 = 0 ïðè x = 0 è y0 > 0 левее 0, y0 < 0 правее 0, то в точке x = 0 максимум.

y00 = (x2 ¡ 1)'(x), y00=0 в точках x = 1 è x = ¡1. Ïðè x < ¡1 è x > 1 y00 > 0, à ïðè ¡1 < x < 1 имеем y00 < 0. В первом случае функция выпукла вниз, во втором вверх.

Теоретические упражнения.

1.Доказать, что производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая.

2.Доказать, что производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная.

3.Доказать, что производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.

34

4. Доказать, что если функция f (x) дифференцируема в точке x = 0 è

f (0) = 0, òî f0 (0) = lim f(x)

x!0 x .

5. Доказать, что производная f0 (0) не существует, если

f (x) = ½ x sin (1/x) ; x 6= 0; 0; x = 0:

6. Доказать, что производная от функции

f (x) = ½ x2 sin (1/x) ; x 6= 0; 0; x = 0:

разрывна в точке x = 0.

7. Доказать приближенную формулу

p

a2 + z ¼ a + z/(2a); a > 0; jzj ¿ a:

8.Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x)+g (x) в точке x = x0 если, в этой точке:

а) функция f (x) дифференцируема, а функция g (x) не дифференцируема;

б) обе функции f (x) è g (x) не дифференцируемы.

9.Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 è f (x0) 6= 0, а функция g (x) не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение f (x) g (x) является недифференцируемым в точке x0:

10.Что можно сказать о дифференцируемости произведения f (x) g (x) â

предположениях задачи? Рассмотреть примеры:

f (x) = jxj ; g (x) = jxj + 1; x0 = 0:

35

11.Найти f0 (0), åñëè f (x) = x (x + 1) ::: (x + 1234567) :

12.Выразить производную y000 от сложной функции y [u (x)] через производные от функций y (u) è u (x).

13.Пусть y (x) è x (y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить x00 через y0 è y00.

14.Доказать, что функция f (x) = x ¡ sin x монотонно возрастает на

отрезке: а) [0; 2¼]; á) [0; 4¼]. Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной?

15.Доказать теорему: если функции ' (x) è Ã (x) дифференцируемы на

отрезке [a; b] è '0 (x) > Ã0 (x) 8x 2 (a; b), à ' (a) = Ã (a), òî ' (x) > Ã (x) 8x 2 (a; b].

Дать геометрическую интерпретацию теоремы.

У к а з а н и е. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции f (x) = ' (x) ¡ Ã (x).

16. Доказать неравенство 2x/¼ < sin x для трех случаев:

не имеет в точке x = 0 экстремума.

18. Исследовать на экстремум в точке x0 функцию

f (x) = (x ¡ x0)n ' (x), считая, что производная '0 (x) не существует,

но функция ' (x) непрерывна в точке x0 è ' (x0) 6= 0, n натуральное число.

36

19.Исследовать знаки максимума и минимума функции x3 ¡ 3x + q и выяснить условия, при которых уравнение x3 ¡3x+q = 0 имеет а) три различных действительных корня; б) один действительный корень.

Расчетные задания

1. Исходя из определения производной, найти f0 (0).

37

38

2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 2.31) к данной кривой в точке x0.

3.14. y = ln tg (x/2) ¡ x/sin x:

3.15. y = 2x + ln jsin x + 2 cos xj : 3.16. y = pctg x ¡ ptg3 x.3:

39

3.17. y = ln ¯¯¯x+px2+1¯¯¯: q 2x