Математика к.р. №1-3
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)
ОДОБРЕНО: |
УТВЕРЖДЕНО: |
Кафедра «Высшая и |
Декан ф-та ТСиЗ |
прикладная математика» |
|
|
«__» ______2011г. |
Составители: Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., проф., Голечков Ю.И., д.ф.-м.н., доц., Захарова М.В., к.ф.-м.н., доц., Сперанский Д.В., д.т.н., проф.
МАТЕМАТИКА
Задания на контрольные работы № 1 – 3
для студентов 1 курса заочной формы обучения направлений: 190100.62 – Наземные транспортно-технологические комплексы,
профиль – НК;
140100.62 – Теплоэнергетика и теплотехника, профиль – ТТ;
270800.62 – Строительство, профили – ГС, ВВ.
Задания на контрольные работы № 1 – 2
для студентов 1 курса заочной формы обучения направления
190700.62 – Технология транспортных процессов, профиль – ТЕ.
Москва 2011г.
1
Методические указания по выполнению контрольных работ
Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 5, в контрольной работе №1 решает задачи 1.1.45, 2.1.55, 2.2.25, 3.1.5, 3.2.25; в контрольной работе №2 – 6.2.5, 6.3.15, 7.1.15, 7.1.45, 7.3.5; в контрольной работе №3 – 8.2.15, 8.3.5, 9.1.35, 9.1.65, 9.2.25.
Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента.
Вконце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.
Вкаждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.
2
Задания на контрольные работы № 1 – 3
для студентов 1 курса заочной формы обучения направлений: 190100.62 – Наземные транспортно-технологические комплексы,
профиль – НК;
140100.62 – Теплоэнергетика и теплотехника, профиль – ТТ;
270800.62 – Строительство, профили – ГС, ВВ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
1.1.41. Найти объем пирамиды, построенной на векторах:
a(2;−3;1), b(0;4;− 2), c(5;3;1) . Сделать чертеж.
1.1.42. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: a(3;− 2;1); b(2;− 5;0). Сделать чертеж.
1.1.43. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах: a(4;− 2;1); b(0;2;5) ; c(−3;1;6). Сделать чертеж.
1.1.44. Найти площадь треугольника, построенного на векторах:
a(4;− 2;0) , и b(1;− 3;2) . Сделать чертеж.
1.1.45. Найти объем пирамиды, построенной на векторах: a(3;0;1); b(5;2;4); c(2;−1;3). Сделать чертеж.
1.1.46. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:
aи b , если a (2;0;–3); b (3;–1;1). Сделать чертеж.
1.1.47.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
a(2;4;− 5); b(1;0;2) ; c(−3;1;4) . Сделать чертеж.
1.1.48. Найти площадь треугольника, построенного на векторах:
a(−2;0;4) иb(5;−1;2). Сделать чертеж.
3
1.1.49. Найти объем пирамиды, построенной на векторах: a ; b и c , если
a (4;–2;3); b (0;–5;1); c (2;–7;3). Сделать чертеж.
1.1.50. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:
a(3;1;4) и b(2;−1;0). Сделать чертеж.
2.1.51. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (2;3;−1) |
и |
|||
M2 (3;1;4) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой: |
|
|||
а) A(5;− 3;14); |
б) B(5;14;− 3); |
в) C(−3;5;14) ; |
г) D(−3;14;5); |
|
д) E(14;− 3;5) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.52. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (1;1;−1) |
и |
|||
M2 (2;−1;3) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой: |
|
|||
а) A(4;− 5;11) ; |
б) B(4;11;− 5) ; |
в) C(−5;4;11); |
г) D(−5;11;4); |
|
д) E(11;− 5;4). Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.53. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (0;1;−1) |
и |
|||
M2 (1;2;− 3) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой: |
|
|||
а) A(3;4;− 7) ; |
б) B(3;− 7;4) ; |
в) C(4;3;− 7); |
г) D(4;− 7;3); |
|
д) E(−7;4;3). Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.54. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (2;0;−1) |
и |
|||
M2 (3;−1;2) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой: |
|
|||
а) A(5;− 3;8) ; |
б) B(5;8;− 3) ; |
в) C(−3;5;8) ; |
г) D(−3;8;5) ; |
|
д) E(8;− 3;5) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.55. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (−1;0;4) и |
||||
M2 (1;1;1) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой |
|
|||
а) A(5;3;−5); |
б) B(5;−5;3); |
в) C(3;5;−5) ; |
г) D(3;−5;5) ; |
|
д) E(−5;5;3) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.56. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (0;−2;3) |
и |
|||
M2 (1;−1;2) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой |
|
|||
а) A(3;1;0) ; |
б) B(3;0;1) ; |
в) C(1;3;0); |
г) D(1;0;3); |
|
д) E(0;3;1). Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.57. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (0;− 2;3) |
и |
|||
M2 (1;−1;2) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой |
|
|||
а) A(−1;− 3;4) ; |
б) B(−1;5;− 3) ; |
в) C(−3;−1;5) ; |
г) D(−1;5;− 3); |
|
д) E(5;−1;− 3) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
2.1.58. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (1;1;1) |
и |
|||
M2 (−3;2;0) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой |
|
|||
|
|
|
|
4 |
а) A(−11;4;− 2); |
б) |
B(−11;− 2;4); |
в) C(4;−11;− 2) ; |
г) D(−2;−11;4); |
|
|
д) E(−2;4;−11) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|||
2.1.59. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (2;− 2;1) |
и |
|||||
M2 (3;1;−1) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой |
|
|||||
а) A(5;7;− 5) ; |
б) |
B(5;− 5;4) ; |
в) C(4;5;− 5) ; |
г) D(4;− 5;5) ; |
|
|
д) E(−5;5;4) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|||
2.1.60. Составить уравнения прямой, проходящей через т. M1 (2;−1;1) |
и |
|||||
M2 (1;2;−1) и указать какая из т. A,B,C,D, E лежит на этой прямой |
|
|||||
а) A(−1;8;− 5) ; |
б) |
B(−1;− 5;8) ; |
в) C(8;−1;− 5) ; |
г) D(8;− 5;−1) ; |
|
|
д) E(−5;−1;8) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|||
2.2.21. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) |
||||||
перпендикулярна прямая: |
|
|
|
|||
3y + z |
− 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− z +1 = 0 |
|
|
|
|
|
x + 2y |
|
|
|
|
|
|
а) x − 5y − 3z = 0 ; |
|
б) x + 5y − 3z +1 = 0; |
в) − 5x + y − 3z + 2 = 0; |
|
||
г) 5x − y + 3z + 5 = 0 ; |
д) 3x − y + 5z − 3 = 0. |
|
|
|||
Сделать схематический чертеж.
2.2.22. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
2x − y + z |
− 2 = 0 |
|
|
− 2y + 3z −1 = 0 |
|
x |
||
а) 5x − 3y − z = 0 ; |
б) − 3x + 5y − z + 2 = 0; |
в) − 5x − 3y − z +1 = 0 ; |
г) − x − 5y − 3z + 3 = 0; |
д) x − 5y + 3z −1 = 0 . |
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.23. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д)
перпендикулярна прямая: |
|
|
2x − z + 3 = 0 |
|
|
|
|
|
x + 3y − 2z + 3 = 0 |
|
|
а) 3x + 3y + 6z − 5 = 0 ; |
б) x − y + 2z −1 = 0; |
в) 6x − y + 3z = 0; |
г) 3y − 6y + 2z −1 = 0; |
д) 5x − 3y + z − 2 = 0. |
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.24. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
x + 2y − z + 5 = 0 |
|
|
= 0 |
y + 3z −1 |
|
а) 3x − 7y + z − 3 = 0 ; |
б) 7x − 3y + z − 2 = 0 ; |
в) x − 3y + 2z −1 = 0; |
г) 2x − 7y − z = 0; |
д) x − 3y + z + 2 = 0 . |
|
Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
|
5 |
2.2.25. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
7x + 2y − z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y − z + 3 = 0 |
|
|
а) 6x + 5y − z + 3 = 0; |
б) 5x + 6y − z = 0 ; |
в) − x + 6y + 5z −1 = 0 ; |
г) x − 6y + 5z + 3 = 0; |
д) x + 5y − z + 2 = 0 . |
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.26. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
x − 2y |
+ 3z + 4 = 0 |
|
|
|
+ z = 0 |
|
|
2x − y |
|
|
|
а) x + 5y + 3z − 8 = 0 ; |
б) 5x + 3y + z +1 = 0; |
в) 2x + 5y − 3z − 2 = 0; |
|
г) 5x + y − z + 3 = 0; |
д) x − 5y − 3z = 0 . |
|
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.27. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
x |
− 3y |
+ z +1 = 0 |
|
|
|
|
= 0 |
2x + 3y − 2z − 7 |
|||
а) 4x + 3y − 9z + 5 = 0; |
б) 2x − y + z + 2 = 0; |
в) 3x − 4y − 9z = 0; |
г) 3x + 4y + 9z −1 = 0; |
д) − 2x + y − z + 5 = 0 . |
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.28. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
2x + y |
− z + 5 = 0 |
|
|
|
− 2z +10 = 0 |
|
|
x + 3y |
|
|
|
а) x + 3y + 5z − 2 = 0; |
б) 2x − 3y − 5z = 0 ; |
в) 3x − y − 5z +1 = 0 ; |
|
г) x − 3y − 5z + 4 = 0; |
д) 2x + 3y + 5z − 2 = 0 . |
|
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.29. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
2x + y − z + 3 = 0 |
|
|
|
|
|
x − y + 3z = 0 |
|
|
а) 2x + 7y − 3z −1 = 0 ; |
б) 7x − 2y + 3z +1 = 0 ; |
в) 2x − 7y − 3z + 5 = 0; |
г) x − 2y + z − 3 = 0 ; |
д) x + 2y − z +1 = 0. |
|
Сделать схематический чертеж.
2.2.30. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:
x |
− y + 3z −1 = 0 |
|
|
|
= 0 |
2x + y − z − 2 |
||
а) 2x + 7y − 3z + 5 = 0 ; |
б) − 2x + 7y + 3z − 5 = 0 ; в) 2x − 7y − 3z +1 = 0 ; |
|
6 |
г) 7x − 2y + 3z = 0 ; д) 3x − 7y + 2z − 5 = 0.
Сделать схематический чертеж.
3.1.1–3.1.10. Дана матрица А. Найти матрицу А-1, обратную данной. Решить задачу, воспользовавшись определением обратной матрицы. Сделать проверку, вычислив произведение А.А-1.
|
3 2 |
1 |
|
|
1 − 2 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.1. |
A = 2 |
3 |
1 |
|
3.1.2. |
A = 2 |
3 |
− 4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 2 |
− 5 |
|
|
|
2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
4 − 3 |
2 |
|
1 1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.3. |
A = 2 |
5 |
− |
3 |
3.1.4. |
A = 2 |
− 1 |
2 |
|
|
|
|
|
6 |
− |
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
4 |
|
|
||||
|
2 −1 |
−1 |
|
|
3 4 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.5. |
A = 3 |
4 |
− 2 |
3.1.6. |
A = |
2 |
−1 |
− 3 |
|
||
|
|
− 2 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 5 |
|
|
||||
|
1 1 |
− 1 |
|
1 |
− 4 |
− 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.7. |
A = 8 |
3 |
− 6 |
3.1.8. |
A = 3 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
− 3 |
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
3 |
− 6 |
|
|||||
|
7 − 5 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
3.1.9. |
A = 4 |
0 |
11 |
3.1.10 . |
5 |
1 |
2 |
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
− 1 1 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
3 |
|
||||
3.2.21–3.2.30. Применяя метод Гаусса (метод исключения неизвестных), решить систему линейных уравнений. Сделать проверку.
x1 |
+ 2x2 − 3x3 |
|
|
+ 4x4 |
|
|
= −13 |
|
4x1 + 2x2 |
+ 2x3 + x4 |
= 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
+ |
2x |
|
|
|
− x |
|
|
|
+ 2x |
|
|
|
= −8 |
|
x |
|
|
− 3x |
|
− x |
|
+ |
7x |
|
= 13 |
|||||||||||||||||
3.2.21. |
|
1 |
|
|
|
− x |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+ x |
4 |
|
|
= 10 |
3.2.22. |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
= 6 |
|||
|
3x |
|
|
|
|
|
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
− |
|
2x − x |
|
+ x + x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
||||
3x1 + x2 + x3 |
+ 3x4 |
= 1 |
|
3x1 + 4x2 + x3 + x4 |
= −2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x1 + 2x2 |
+ 2x3 − 2x4 |
= 4 |
x1 |
|
|
+ 2x2 |
− 3x3 |
+ x4 |
= 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
− 3x |
|
|
− x |
|
|
+ 2x |
|
|
= 8 |
5x |
|
|
|
+ 2x |
|
|
− x |
|
|
+ 2x |
|
= 25 |
|||||||||||||||||||
3.2.23. |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
= −2 |
3.2.24. |
|
|
1 |
|
|
|
− x |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
+ x |
|
4 |
= 18 |
|||||||
|
− 2x |
1 |
− x |
2 |
+ x |
3 |
+ 4x |
4 |
|
3x |
1 |
|
2 |
|
+ 2x |
3 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3x1 |
+ 4x2 |
+ x3 |
+ 2x4 |
= 1 |
|
3x1 |
+ x2 |
+ x3 |
+ |
3x4 |
|
= 18 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
7
x1 − x2 |
+ 2x3 |
+ 3x |
4 = 0 |
2x1 |
− x2 |
+ x3 − 2x4 |
|
= 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
− |
2x |
|
|
+ x |
|
= |
7 |
|
2x |
|
+ 3x |
|
|
− 2x |
|
− x |
|
|
|
= 13 |
||||||||||||||||||||||||||
3.2.25. |
2x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= −3 |
3.2.26. |
x |
|
1 |
− 3x |
|
2 |
+ x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
= 0 |
|||||||||||||
|
1 |
− 3x |
2 |
+ x |
3 |
− x |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
+ 2x |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 |
− 2x |
− +x3 |
+ |
2x4 = 6 |
4x1 |
|
− 3x2 |
|
− 2x3 |
+ 3x4 = 11 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 |
− x2 |
+ x3 |
|
− 2x4 |
|
= 9 |
3x1 |
|
+ x2 − 2x3 |
|
+ x4 = 11 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
+ 2x |
|
+ x |
|
|
|
+ x |
|
|
|
= −2 |
2x |
|
|
|
− 3x |
|
|
|
|
+ x |
|
|
+ 2x |
|
|
|
|
= 5 |
|||||||||||||||||||||||
3.2.27. |
|
1 |
|
+ x |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= 5 |
3.2.28. |
x |
|
1 |
− |
2x |
|
2 |
|
+ x |
|
3 |
+ |
3x |
|
4 |
|
= 4 |
||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
2 |
+ 2x |
3 |
|
− 3x |
4 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 |
+ |
2x2 + x3 − 2x4 |
= 3 |
3x1 |
− 5x2 |
|
+ 2x3 |
|
+ x4 |
|
|
= 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 |
+ x2 |
− 2x3 + x4 |
= 4 |
3x1 |
− x2 |
|
+ 2x3 |
+ x4 |
|
= 19 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
− 2x |
|
|
+ x |
|
|
+ 3x |
|
|
|
= 11 |
|
2x |
|
+ 2x |
|
− x |
|
|
+ 3x |
|
= 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||
3.2.29. |
|
|
1 |
|
|
− x |
2 |
− x |
|
3 |
|
+ x |
|
|
4 |
|
|
3.2.30. |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
+ x |
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
= 13 |
|
1 |
|
− 2x |
2 |
|
+ 2x |
3 |
4 |
|
= 19 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 |
+ x2 |
|
+ 3x3 |
+ 2x4 |
= 14 |
4x1 |
|
− 3x2 |
|
+ 2x3 |
+ 2x4 = 34 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Введение в математический анализ. Производная и ее приложения.
6.2.1–6.2.10. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
6.2.1. а) lim |
1− 2x |
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
1+ x |
|
− |
1− x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→∞ 3x − 2 |
x→0 |
|
|
|
|
|
3x |
||||||||||||||||||||||||
|
1− cos x |
x + 3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
5x2 |
x→∞ x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
||||||||||
6.2.2. а) lim |
|
x3 |
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
2 + x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 7 |
|||||||||||||||||
x→∞ 2x |
|
|
|
|
x→7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
arcsin3x |
|
2x −1 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
5x |
x→∞ |
2x +1 |
|||||||||||||||||||||||||
6.2.3. а) lim |
|
2x3 |
+ x2 − 5 |
б) lim |
x − |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ x − 2 |
|
x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→∞ x3 |
x→1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 1 |
2x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− cos2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x→∞ |
|
|
4x |
|
|||||||||||||||||
6.2.4. а) lim |
|
3x4 |
+ x2 − 6 |
б) lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
− x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ 2x4 |
|
x→0 |
|
1+ 3x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||
в) lim |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim(1+ 2x)1x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
arctgx |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8
6.2.5. а) lim |
|
2x2 + 6x − 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
5x2 − x −1 |
||||||
x→∞ |
|
|
|||||
в) lim |
cos x − cos3 x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.6. а) lim |
|
3 + x + 5x4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
x→∞ x4 −12x + 1 |
|||||||
в) lim |
|
x2ctg2x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
sin3x |
|
|
|
|
6.2.7. a) lim |
|
x − 2x2 + |
5x4 |
; |
|||||||||
|
|
+ 3x2 + x4 |
|
|
|||||||||
x→∞ 2 |
|
|
|
||||||||||
в)lim |
1− cos6x |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 1− cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.2.8. a) lim |
|
5x2 − 3x +1 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→∞ 3x2 + x − |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
в)lim |
tg2 |
(x |
/ 2) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.9. a) lim |
|
7x |
4 − 2x3 + 2 |
; |
|
||||||||
|
|
|
x4 + 3 |
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в)lim1− cos4x ; x→0 2x tg2x
6.2.10.a) lim 8x5 − 3x2 + 9 ; x→∞ 2x5 + 2x2 + 5
в)lim5xctg3x;
x→0
1− |
|
1− x2 |
|
||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x→0 |
x |
|
|||
|
|
|
|
||
г) lim x[ln(x +1)− ln x] |
|
|||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) lim |
|
1+ 3x |
− |
1− 2x |
|
|
|
x + x |
2 |
|
|||
x→0 |
|
|||||
|
|
|
||||
г) lim (2x +1)[ln(x + 3)− ln x] |
|||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)lim |
1+ 3x2 −1 |
; |
|||
|
x2 + x3 |
|
|||
x→0 |
|
|
|||
г)lim(x − 5)[ln(x − 3) − ln x].
x→∞
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)lim |
|
|
2x −1 − |
5 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
x − 3 |
|
|||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г)lim(7 − 6x)x /(3x−3). |
||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б)lim |
|
|
1+ 3x − |
2x + 6 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→5 |
|
|
|
x2 − 5x |
||||||||||||
г)lim(3x − 5)2x/(x2−4). |
||||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б)lim |
|
|
|
x − 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x − |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г)lim(3x −8)2 /(x−3).
x→3
6.3.11–6.3.20. Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
|
x + 4, |
x < −1; |
|||
6.3.11. |
|
2 |
+ 2, |
−1≤ x <1; |
|
f (x) = x |
|
|
|||
|
2x, |
x ≥1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x + 2, |
x ≤ −1; |
|||
|
|
|
2 |
+1, |
−1< x ≤1; |
6.3.12. |
f (x) = x |
|
|||
|
− x + 3, |
x >1. |
|||
|
|
|
|
|
|
9
|
− x, |
|
x ≤ 0; |
|||||||
6.3.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, 0 < x < 2; |
f (x) = − (x −1) |
|
|||||||||
|
x − 3, |
|
|
|
x ≥ 2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
|
x ≤ 0; |
|||||||
6.3.14. |
|
2 |
|
|
+1, |
|
|
0 < x <1; |
||
f (x) = x |
|
|
|
|
|
|||||
|
x, |
|
|
|
|
|
x ≥1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
x ≤ 0; |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
< x ≤ 2; |
|||
6.3.15. |
f (x) = x |
|
|
, |
0 |
|||||
|
x +1, |
|
|
|
x > 2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
x ≤ 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤ π ; |
||
6.3.16. f (x) = sin x, |
|
|||||||||
|
|
− 2, |
|
|
|
x > π. |
||||
|
x |
|
|
|
||||||
|
− ( x +1), |
x ≤ −1; |
||||||||
6.3.17. |
|
|
|
|
|
1) |
2 |
, |
|
−1< x ≤ 0; |
f (x) = (x + |
|
|
||||||||
|
x, |
|
|
|
|
|
x > 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 , |
|
|
x ≤ 0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤ π /4; |
||
6.3.18. |
f (x) = tg x, |
|
||||||||
|
2, |
|
|
|
|
|
x > π /4. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x, |
|
|
x ≤ 0; |
||||||
|
|
|
2 |
+1, 0 < x ≤1; |
||||||
6.3.19. |
f (x) = x |
|
|
|||||||
2, |
|
|
|
|
|
x >1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 x, |
|
|
x ≤ 0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3.20. |
f (x) = x, 0 < x < 4; |
|||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
x ≥ 4. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.11–7.1.20. Найти производные dy данных функций.
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
7.1.11. a) |
y = x2 |
sin3x ; |
б) y = t + arctg2t, |
при |
t = 1; |
||||
|
|
|
|
x = t3 − 6arcctgt |
|
|
|
|
|
|
в) y = (tgx3 )ln 4x . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y = 3t − arctgt2 |
, |
|
|
1 |
|
7.1.12. a) |
y = x3 |
ln 4x ; |
б) |
|
|
при |
t = |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x = t4 + arcctgt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10