Решите самостоятельно следующие задачи:

1. Найдите наибольшее и наименьшие значение функции в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямойx+y+5=0

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy(x+y+1) в замкнутой области, ограниченной линиями

3. Доказать, что из всех треугольников, имеющих данный периметр 2p наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Задание №22

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Подробнее об этом можно прочесть в [4] гл.8 и [1]гл.XXVIII

вектор-градиентобозначаетсяgrad u илиu.

Пример 1. Даны функция трех переменных, вектори точка.

Найти: 1) Graduв точкеM₀;

2) производную в точке M₀по направлению вектора;

3) наибольшую крутизну поверхности uв точкеM₀.

Решение:

1)Вектором градиентом функции трех переменныхu(x,y,z) является векторgrad(илив случае двух переменных)

Найдем частные произведения функции u:

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке M_o.

Следовательно, вектор-градиент в точке M₀имеет вид:

2)Производная по направлению векторавычисляется по формуле, то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором.

Так как , то его длинаи, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с,, используя формулу скалярного произведения в координатной форме, получим

Итак, производная функции uпо направлению вектораравна.

3)Поскольку |gradu| есть наибольшее значение производнойв данной точкеP, а направлениеgraduсовпадает с направлением луча, выходящего из точкиP, вдоль которого функция меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функцииu(x,y,z)

|gradu| =.

Решите самостоятельно следующие задачи:

1. Найти вектор-градиент функции в точке(1,1)

2. Найти производную функции в направлении вектора-градиента

Аналогичные задачи можно найти в [3] гл.8

Задание №23

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных.

Двойным интеграломот функциипо областиDназывается предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областейn стремится к бесконечности, а наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:

Если функция непрерывна в замкнутой областиD, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения областиDна элементарные и от выбора точекР_к

Если >0 в областиD, то двойной интеграл

геометрически есть объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными осиOZ, и снизу областьюDплоскостиХОY.

Основные свойства интегралов

1.

2.гдеС– постоянная

3. Если область интегрирования Dразбита на две областиD₁иD₂, то

Различают два основных вида области интегрирования:

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямымих=а их=в(a<в), а снизу и сверху непрерывными кривымиy=φ₁(x)иy=φ₂(x), каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке / рис.1/.

По такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется внутренний интеграл в которомхсчитается постоянным.

2. Область интегрирования Dограничена снизу и сверху прямымиy=cиy=d (c<d), а слева и справа непрерывными кривымих=φ₁(y)их=φ₂(y) каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).

В такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется интеграл, в которомyсчитается постоянным.

Правые части формул называются двукратными или повторными интегралами. В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным.

Подробнее о двойных и тройных кратных интегралах можно прочесть в [5] гл.14 и [1] гл. XXVI

Пример 1. Вычислить двойной интеграл:.

По области D:y=x², y=2-x². ОбластьDизобразить на чертеже.

Решение:Изобразим областьD. Кривые, задающие областьDпредставляют собой параболы. Составив из их уравнений систему и решив её, найдём точки их пересечения.

Итак, точки пересечения парабол(1,1)и(-1,1).Изобразим областьDв декартовой системе координат.

Двойной интеграл в декартовых координатах записывается так:В зависимости от вида области интегрирования двойной интеграл сводится к повторному по разным формулам.

Область Dявляется областью первого вида,хизменяетсяот -1 до +1, у оту=х² доу=2-х², следовательно наш интеграл сводится к следующему повторному интегралу:

Возьмем внутренний интеграл, считая х– постоянным, то есть рассматривая его как обычный интеграл по переменнойу.

А затем внешний интеграл по переменной х

Пример 2. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями:

x+y=4, x=0, Z=0.

Решение:Как было сказано, объем тела с помощью двойного интеграла выражается по формуле:

- это цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными осиОХ.

Направляющей служит парабола, точнее одна ветвь параболы

x+y=4 - это плоскость, параллельная осиOZ, пересекающая плоскостьХОУпо прямой, заданной уравнениемx+y=4. Построим ее на том же чертеже.

Уравнения Х=0иZ=0задают соответственно координатные плоскостиZOУиХОУ.

Итак, нетрудно себе представить, что тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью , снизу плоскостью ХОУ, сбокух=0иx+y=4.

Необходимо построить область D.

Область интегрирования D принадлежит одновременно и к первому и ко второму виду.

Будем рассматривать ее как область первого вида. Воспользуемся формулой для области первого вида.

Чтобы правильно расставить пределы интегрирования, нужно помнить, что пределами на внешнем интеграле могут быть только числа (пределы изменения Х), а на внутреннем, в общем случае, функции. Нужно уяснить, какой кривой ограничена область снизу, и какой – сверху, и записать соответственно правые части уравнений кривых, решенных относительноУ, в качестве пределов интегрирования. В качестве под интегральной функциипишем правую часть уравнения.

Получим:

=

Ответ: .