Решите следующие задачи самостоятельно.

Найдите производные следующих функций.

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

ЗАДАНИЕ №13

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределённостей вида илииспользуетсяправило Лопиталя:

Пусть идве дифференцируемые на некотором интервале функции, причем, и пусть при(или), обе эти функции стремятся к нулю (или). Тогда, еслипри данном стремленииxсуществует, то существует и

.

Пример 1. Найти предел

Решение:Приимеем неопределённость. Функции,, дифференцируемы в некоторой окрестности точки, причем. Если, то по правилу Лопиталя получим:

Ответ:

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида или, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 2. Найти предел .

Решение:Приполучается неопределенность вида. Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду

Теперь при и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя

Ответ:

Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

Пример 3. Найти предел .

Решение: Здесь,при. Следовательно, имеем неопределенность. Приводим эту последовательность к видуи получаем

где буква Л над знаком равенства означает применение правила Лопиталя.

Ответ:

Подробнее о вычислении пределов по правилу Лопиталя можно прочесть в [1] гл.4 §2, 4, 5 и найти соответствующие задачи в [3].

Следующие задачи решите самостоятельно:

Вычислить:

1. 

2. 

3. 

Задание №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.

Подробно об этом можно прочесть в [1], гл.11, [4] гл.5.

1. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию дляи по результатам исследования построить ее график.

2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].

1. Для исследования функции используется общая схема исследования функции.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .

2. Найти точки пересечения функции с осями координатОx и Oy.

3. Найти точки разрыва и определить тип.

4. Установить, является ли функция четной, нечетной и периодической.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Найти , определить точки экстремумови интервалы возрастания>0) и убывания<0) графика функции.

7. Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции.

8. По результатам исследования построить график функции .

2. План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a,b].

1. Найти критические точки функции =0 или не существует).

2. В каждой критической точке определить знак производной слева и справа. Если меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.

3. Вычислить значения функции в точках экстремума и приx=a, x=b.

4. Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке[a,b].

Пример 1. Пусть.

Решение:

1. Функция определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т.к. область допустимых значений для функцииy=lnx:

2. В точке графикпересекает осьOx.С осьюOy график функциине пересекается.

3. В граничной точке x=0 области допустимых значений функцияимеет бесконечный разрывIIрода, потому что

.

4. Функция является четной, нечетной или периодической, если выполняется одно из равенств,,, гдеT>0 –период.

Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно, является функцией общего вида.

5. Так как в точке x=0 имеет бесконечный разрыв, то прямаяx=0 (ось Oy) являетсявертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты.

Поэтому (ось Ox)естьгоризонтальная асимптота(y=0)

6. Находим и критические точки:

1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e)и(e,∞),на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e),например,>0; возьмем точку в(e,∞),например,<0.

Составим таблицу

	(0,e)	e≈2.72	(e,+∞)
	+	0	-
	Возрастает		Убывает

7. Находим вторую производную , , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

	-	0	+
График	Выпуклый		Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

8. На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по осиOy,равный 0.1.

На отрезке [1; 5]функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функциив точкеx=1 иx=5:y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .