Задание №7

Следующие три задачи относятся только к студентам специальности ЭВМ.

Задача №7: Привести квадратичную форму к каноническому виду;найти ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найтиматрицу перехода к ортонормированному базису.

Квадратичной формой действительных переменных называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени. Если- квадратичная форма переменных, а λ – какое-то действительное число, то.

Если n=2, то.

Матрица у которой, называется матрицей квадратичной формы. Т.к. А – симметричная матрица, то корни λ₁и λ₂характеристического уравнения

являются действительными числами.

Пусть инормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам λ₁и λ₂ в ортонормированном базисе. В свою очередь векторыобразуют ортонормированный базис. Матрица

Является матрицей перехода от базиса к базису. Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид:

Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму (не содержащую членов с произведениями), говорят, что форма приведена к каноническому виду.

Пример 1. Приведем к каноническому виду квадратичную форму.

;;.

Составим характеристическое уравнение

=0 или.

;.

Определим собственные векторы

1. 

;

Полагая что , получим, то есть собственный вектор.

2. .

Полагая что , получим, то есть собственный вектор.

Чтобы нормировать векторы uиv, следует принять.

Итак, мы нашли нормированные собственные векторы

где - ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базисуимеет вид:

B=

Канонический вид квадратичной формы

Решите эту задачу самостоятельно:

Задача 7.1. Приведите к каноническому виду квадратичную форму

Подробнее можно об этом прочитать в [2], §23 и найти задачи на эту тему в [3] гл.5 §7.

Задание №8

Это задание относится к разделу «линейные операторы»; более подробно о линейных операторах (отображениях, преобразованиях) можно прочитать в [1] гл. 6, [2] §15 и найти решённые задачи этой темы можно в [3] гл. 5 §4.

Если в линейном пространстве Rкаждому векторупо некоторому правилу поставлен в соответствие вектор, то говорят, что в пространствеRзадан операторA. Оператор Aназывается линейным, если для любых векторовии любого действительного числаλвыполняются равенства:

Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор Aлинейным надо проверить, выполняются ли эти равенства.

Проверим, является ли оператор Aлинейным вR³

Возьмем два вектора и

То есть оператор Aявляется линейным, найдем его матрицу.

Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец , то есть, значит,,

Вторая координата произведения:

Третья координата произведения:

Итак, матрица оператора

Найдем собственные значения линейного оператора:

(1-λ)·(1-λ)²-1·1=0

(1-λ)³=1

1-λ=1

λ=0

Оператор Aимеет собственное значениеλ=0кратности3.

Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

положив

получим:

Собственному числу соответствует собственный вектор