
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
2.2. Предел функции
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
,
за исключением, быть может, самой
точки
.
Определение
5. Число А
называется пределом функции
в точке
,
если
,
что
и при этом пишут
.
у
Геометрически
это представля-
ется следующим
образом:
,
что
.А
Упрощенно это определение
можно представить
так:
Число А называется пределом х
функции
прих,
стремящимся
а
к числу а,
если точка
приближается к числуА,
когда точка х
приближается к а.
Пример 3.
Покажем, что для функции
.
Зададим произвольное
и определим
.
Запишем неравенство
.
Существенным понятием, особенно при нахождении пределов функции, являются односторонние пределы.
Определение 6. Число А называется правым (левым) пределом функ-
ции
в точке
,
если
,
что
и при этом пишут
.
Связь между односторонними пределами и пределом функции уста-навливает следующая теорема.
Теорема.
Если функция
в точке
имеет предел
,
то
.
Верно и обратное.
Из таких же
соображений определяется и предел
функции при
.
Определение 7.
Число А
называется пределом функции
при
,
если
,
что
выполняется неравенство
и при этом пишуту
,
если
и
,
если
.А
Геометрически
это выглядит
следующим образом:
О
М
х
что
будет
.
Пример 4.
Покажем, что для функции
.
Зададим
и определимМ.
Запишем неравенство
.
Замечание 2. Иногда удобно использовать другое, эквивалентное опре-деление предела функции:
Число А
называется пределом функции
в точке
,
если
.
Лекция № 15
2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение 1.
Функция называется бесконечно малой
величиной (б.м.в.) при
,
если
.
Напомним это
определение:
,
что
.
Определение 2.
Функция называется бесконечно большой
величиной (б.б.в.) при
,
если
,
что
и при этом пишут
.
Пример 1.
Покажем, что для функции
Зададим
.
Получим неравенство
т.е. в этой окрестности
точки
значения функции по модулю будут больше
заданного числаМ.
Замечание 1.
При определении б.м.в. и б.б.в. следует
обратить внимание на фразу “при
“,
так, например, функция
является б.м.в. при
и б.б.в. при
,
что видно, в частности, из графика
этой функции.
Замечание 2. Все б.б.в. являются неограниченными функциями. Обрат-ное, вообще говоря, неверно, что видно из примера.
Пример 2.
Очевидно, функция
является неограниченной при
,
но она не является б.б.в. Например, для
последовательности
,
Замечание 3.
Б.м.в. принято обозначать:
Б.м.в. и б.б.в. обладают следующими свойствами:
1. Сумма конечного числа б.м.в. есть б.м.в..
Не нарушая общности, рассмотрим случай двух б.м.в. Зададим для суммы . Тогда в силу определения б.м.в. одновременно выполняется
и
,
т.е. сумма
б.м.в.
2. Произведение ограниченной функции на б.м.в. есть б.м.в.
Доказывается
аналогично с учетом, что
,
где
.
3.
Если
б.м.в. при
,
то
б.б.в. при
.
Верно и обратное.
Пусть
б.м.в. Это означает, что
.
Тогда
,
т.е.
б.б.в. Аналогично доказывается и
обратное утверждение.