105

Дифференциальное исчисление Лекция № 18. Тема 4 : Производная и дифференциал

4.1. Производная функции

Пусть функция определена в точкех и некоторой её окрест-ности .

Определение 1. Производной от функции в точкех называется предел отношения её приращения в этой точке к соответствующему приращению аргументаприи обозначается

. (1)

Другие обозначения производной:

Замечание 1. Очевидно для существования предела (1) необходимо вы-полнение равенства , где левая производ-ная (), аправая производная ().

Определение 2. Функция , имеющая конечную производную в точкех, называется дифференцируемой в этой точке, а если она диффе-ренцируемая в каждой точке промежутка , то она называется диффе-ренцируемой в этом промежутке.

Замечание 2. Не для всех функций существует предел (1).

Например, определим производную функции в точкераскроем знак модуля, вычисляя предел (1) слева и справа,

Таким образом, функция является не дифференцируемой в точке

Пример показывает, что не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Верно ли обратное?

Теорема 1. Если функция дифференцируемая в некоторой точкеx, то она в этой точке непрерывна.

Пусть существует предел (1). Это по теореме о пределе функции означает, что

, где . (2)

Из формулы (2) следует . Переходя к пределу, получаем

, ч.т.д.

Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция ).

4.2. Производные основных элементарных функций

Используя определение производной, можно получить значения производных основных элементарных функций. Рассмотрим примеры:

Пример 1. Найти производную функцию .

.

В частности, если , то.

Пример 2. Аналогично, для функции .

В частности, если

Пример 3. Найти производную функции .

Пример 4. Аналогично, для функции .

Приведём таблицу производных элементарных функций:

1. .

2. . 3..

4. . 5..

6. . 7..

8. . 9..

10. . 11..

12. . 13..

Формулы (2-7) нами доказаны.

Остальные формулы будут доказаны позже.

4.3. Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение точки М. Пусть в момент времени t точка М находится на расстоянии от начального поло-женияМ₀.

t₀ t

s

М₀ М М₁

В последующий момент точкаМ заняла положение М₁ на расстоянии от начального положения. Тогда средняя скорость забудет, а скоростьв момент времениt :

.

Таким образом, если функция – это путь, проходимый точкойМ, то производная от этой функции – скоростьдвижения точки.

4.4. Геометрический смысл производной

Пусть функция дифференцируема в точкех.

у

О х х

Из рисунка следует, что Перейдём к пределу при

Таким образом, значение производной равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой в данной точке. Исходя из этого, уравнение касательной в точке к кривой имеет вид

.

Прямая, проходящая через точку М₀, перпендикулярно касательной называется нормалью. Её уравнение имеет вид

.

Отметим частный случай:

если уравнение касательной,  нормали.

Пример 6. Найти уравнения касательной и нормали к функции в точке

Имеем

Найдем производную функции

Таким образом, получим

уравнение касательной,

уравнение нормали.