- •Дифференциальное исчисление Лекция № 18. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •4.5. Правила дифференцирования
- •4.6. Производная сложной функции
- •Лекция № 19.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.8. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 22.
- •6.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 23.
- •6.8*. Кривизна кривой
- •С о д е р ж а н и е
4.12. Дифференциал функции
Пустьфункция имеет в точкех производную, т.е. существует
.
Тогда по теореме о пределе функции
,
где приили
. (8)
Второе слагаемое в формуле (8) является б.м.в. более высокого порядка, чем . Первое слагаемое называетсяглавной или линейной частью приращения функции.
Определение 2. Главная часть приращения называетсядифферен-циалом функции и обозначается
. (9)
Тогда формула (8) примет вид
.
В частности, для функции , т.е. для аргу-ментаи поэтому окончательно формула (9) принимает вид
.
Из рисунка следует геомет-у
рический смысл дифференциала.
х
Таким образом, дифференциал функции – это приращение ординаты точки, лежащей на касательной.
Отметим основные свойства дифференциала, которые следуют из соответствующих правил дифференцирования:
1.
2.
3.
Найдём выражение для дифференциала сложной функции . Тогдаили.
Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргу-мента. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью.
Замечание 3. Из обозначения производной следует, что производнуюможно рассматривать как отношение дифференциалов.
Лекция № 20.
Тема 5 : Основные теоремы о дифференцируемых функциях
5.1. Теорема Ролля
Теорема. Если функция непрерывна на, дифференцируема наи, то существует такая точка, что
Если .
Поэтому будем считать, что и в силу непрерывности функцииона достигает насвоего наибольшего и наименьшего значений. При этом, так как, то хотя бы одно из них дости-гается внутри промежутка. Пусть это.
Покажем, что (теорема Ферма). Приимеем
.
Аналогично, при
В силу дифференцируемости имеему
.
Замечание 1. Теорема имеет
простой геометрический смысл:
существует точка , в которойх
касательная к кривой а b
параллельна оси Ох.
5.2. Теорема Лагранжа
Теорема. Если функция непрерывна на, дифференци-руема на, то существует такая точка, в которой
.
Составим функцию
.
Так как функция непрерывна на, дифференцируема наи, то по теореме Ролля существует точка, в которой, т.е.
5.3. Правило Лопиталя
Теорема. (Раскрытие неопределённости вида ). Пустьидифференцируемы в окрестности точкиx0 и . Тогда, если существует, то существуети.
Запишем отношение функций . К числителю и зна-менателю применим теорему Лагранжа, где.
Если перейти к пределу при , тогда
Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и для случая, если , так как заменой онсводится к случаю при
Покажем это,
.
Замечание 3. Теорема имеет место и для неопределённости вида . Неопределенности видов и приводятся к рассмотренным
случаям путём алгебраических преобразований.
Например, снеопределённостьювида поступаютследующим образом: .
При неопределённостях вида: применяют лога-рифмирование, т.е. вместо предела функциирассматривается предел
.
Замечание 4. Требование существования предела в правиле Лопиталя существенно. Так, например, правило Лопиталя нельзя применить к пределу
, так как не существует . В тоже время
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.