6.6. Асимптоты линий

Определение 2. Прямая называется асимптотой линии , если расстояние от текущей точкиМ линии до этой прямой при стремится к нулю.

Из определения асимптоты следует:

1. Прямая являетсявертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов равен.

2. Если для линии прямая наклонная асимптота, то , где.

у

х

Из рисунка , т.е. расстояние.

Для нахождения асимптот линий применяется

Теорема 2. Если для линии прямаяявляется асимп-тотой при, то. Верно и обратное.

Пусть является асимптотой для. Это означает, чтои тогда

Обратно. По теореме о пределе функции имеем равенство

,

т.е. прямая является асимптотой линии.

Пример 2. Найти асимптоты линии .

Имеется вертикальная асимптота , так какпри.

Определим наклонную асимптоту: угловой коэффициент свободный член

Замечание. Иногда значения пределов могут быть различными при и. В этом случае говорят ободносторонних асимптотах.

Например, для линии , а. А коэффициентb находим с помощью правила Лопиталя

т.е. линия имеет правостороннюю и левостороннюю

асимптоты.

6.7. Общий план исследования функций и построение графиков

Для исследования и построения графиков функций удобно придер-живаться следующей последовательности действий:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить чётность, нечётность или функция общего вида.

3. Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти точки разрыва функции и выяснить их характер.

5. Определить интервалы возрастания, убывания, точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

7. Найти асимптоты.

8. По полученным результатам построить график функции.

Пример 3. Построить график функции , где.

1. 2. Функция общего вида.

3. . 4. Точек разрыва нет, функция непрерывна.

5. Находим производную  крити-ческая точка на экстремум. Построим таблицу

х		а
	+	0	
у		1

6. Находим вторую производную  критические точки на перегиб. Построим таблицу

х
	+	0		0	+
у		перегиб		перегиб

7. Определяем наклонную асимптоту

горизонтальная асимптота.

8. На основании полученных результатов строим график функции. Это более удобно начинать с построения характерных точек (точки пересечения с координатными осями, точки экстремума, перегиба) и асимптот.

у

О а х