- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
1.3. Элементарные функции
К основным или простейшим элементарным функциям относятся:
1. Степенная где.
2. Показательная .
3. Логарифмическая .
4. Тригонометрические: .
5. Обратные тригонометрические: .
В качестве повторения постройте графики этих функций.
Применяя к этим функциям арифметические действия и операцию суперпозиции конечное число раз, будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными.
Например, .
Иногда полезно использовать так называемые гиперболические функ-ции, которые также относятся к элементарным:
.
Легко непосредственно проверить следующие их свойства:
.
Можно заметить, что эти свойства напоминают свойства тригоно-метрических функций, поэтому они соответственно и называются гипер-болическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.
Остальные функции относятся к так называемым неэлементарным. Примеры неэлементарных функций:
функция Дирихле;
целая часть числа, где x наибольшее целое число, не превосхо-дящее x, например, .
Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
2.1. Предел последовательности и переменной величины
Определение 1. Значения функции натурального аргумента , гденазываются последовательностью, которая обозначается
.
Примеры последовательностей:
1. .
2. . 3..
Определение 2. Последовательность называетсяограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенству . Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она называетсяограниченной.
Например, последовательность 1 является возрастающей и ограничен-ной, последовательность 2 возрастающая и ограничена снизу, а после-довательность3ограничена.
Определение 3. Число а называется пределом последовательности или пределом переменной величиныxn , если , чтои пишут
или .
Дадим геометрическое представление предела так как что выглядит следующим образом
( )
а х
Таким образом, если а предел последовательности , то, чтовсееечлены,начинаяснекоторого попадут в эту окрестность.
Пример 1. Покажем, что предел первой последовательности равен 1, т.е. .
Зададим произвольное и составим неравенство, т.е.. Тогда номер члена, начиная с которого все члены последовательности попали в окрестность, определится из условия. Например, если , то, начиная с номера, все члены последовательности удовлетворяют неравенству или попали в окрестность.
Определение 4. Переменная xn называется бесконечно большой при , если, чтои при этом пишут
или , еслии
или , если.
Пример 2. Покажем, что для второй последовательности .
Зададим и составим неравенство. Тогда неравенство выполняется, где.
Особое внимание следует уделить замечанию:
Замечание 1. Концептуально такие же определения и свойства имеют место и для любой переменной величины х. Например, число а называ-ется пределом переменной величины х, если , чтои пишутили, т.е. последовательность пред-ставляет собой переменную величину, значения которой пронумерованы.
Из определения предела последовательности следуют её свойства:
1. Если переменная имеет предел, то он единственный.
2. Предел постоянной равен этой постоянной.
3. Если переменная имеет предел, то она ограничена.
4. Не всякая переменная имеет предел (см. последовательность 3 и задайте ).
5. Монотонная ограниченная переменная имеет предел.