- •Дифференциальные уравнения Лекция № 37. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 38
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 39. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 40
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Лекция № 39. Тема 3 : ду высших порядков
3.1. Определение ду п-го порядка
Общий вид дифференциального уравнения п-го порядка (ДУ-п):
, (1)
или разрешенного относительно старшей производной:
.
Дляпоискачастногорешениянеобходимо задать начальные условия:
. (2)
Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция илисоответст-венно, которая:
1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных .
2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функцияилисоответственно будет удовлетворять условиям (2).
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
3.2.1. .
Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Проинтегрируем уравнение три раза:
3.2.2. (нету).
При помощи замены уравнение принимает вид
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
После замены уравнение принимает вид
Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку
Тогда получим
и
Так как , то
.
Интегрируя, окончательно получаем
3.2.3. (нетх).
При помощи замены …
уравнение принимает вид
.
Пример 3. Решить задачу Коши .
После замены получим уравнение с разде-ляющимися переменными:
Проинтегрируем:
.
Воспользуемся начальными условиями
Разрешим уравнение относительно и разделим переменные
Проинтегрируем
Из начальных условий находим и, окончательно, получаем частное решение
Тема 4 : Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства
Общий вид
, (3)
где инепрерывные на некотором отрезкефункции.
Определение 2. Функции иназываютсялинейно зависи-мыми (ЛЗ) на , если, где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенствоили, если, то, т.е.
В противном случае, функции иназываютсялинейно независимыми (ЛНЗ).
Например, функции и ЛЗ, так как , а функциии ЛНЗ, так как
Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского
,
что следует из теорем:
Теорема 1. Если функции илинейно зависимы (ЛЗ) на, то определитель Вронского.
Так как , то
.
Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором отличен от нуля, т.е.то
Так как ирешения уравнения (3), то
Первое равенство умножим на , второе наи сложим полученные результаты. С учётом, что
,
получим уравнение с разделяющимися переменными
Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию
(4)
или
.
Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если
то .
Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором.
Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на получим
Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на , то.
Предположим обратное, т.е. при некотором. Тогда по теореме2 . Предположим, что(в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство
т.е. функции илинейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.