Лекция № 41
4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Общий вид линейного неоднородного уравнения
,
(1)
где
.
Как известно, общее
решение уравнения (1) имеет вид
.
Рассмотрим, как можно определить частное
решение
в зависимости от вида правой части (1)
в некоторых случаях:
1.
,
где
многочлен п-ой
степени.
Зададим вид
частного решения в форме
,
где
многочлен п-ой степени с неопределёнными коэффициентами. Найдём его производные:
Подставим эти
выражения в уравнение (1) и сократим
на
.
(2)
Здесь возможны случаи:
1.1. Число
не является корнем характеристического
уравнения, т.е.
.
Тогда слева и справа в выражении (2) стоят
многочлены п-ой
степени и, приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях, находим
неопределённые коэффициенты
.
1.2. Число
является простым корнем характеристического
уравнения, т.е.
,
а из теоремы Виета следует
.
Тогда слева в выражении (2) стоит многочлен
(п
1)-ой
степени, а справа п-ой
степени. Поэтому, для того чтобы
коэффициенты
были определены, необходимо частное
решение искать в виде многочлена (п
+
1)-ой
степени, но без свободного члена, так
как он исчезает при дифференцировании,
т.е.
.
1.3. Число
является двукратным корнем
характеристического уравнения, т.е.
,
а из теоремы Виета следует
.
Тогда слева в выражении (2) стоит многочлен
(п
2)-ой
степени, а справа
(п
1)-ой
степени. Рассуждая аналогично, получаем
.
Рассмотренные три случая можно объединить общим правилом
Правило 1.
Если правая часть уравнения (1) имеет
вид
,
то частное решение следует искать в
виде
,
где
многочлен п-ой
степени с неопределёнными коэффициентами,
а
кратность корня
характеристического уравнения.
Пример 1.
Найти общее решение уравнения
На предыдущей лекции было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Частное решение
будем искать в виде
(случай 1.3).
Подставим это
выражение в наше уравнение и сократим
на
:
или
.
Тогда общее решение будет иметь вид
2.
,
где
и
многочлены п-ой
и т-ой
степени соответственно.
Частное решение будем искать в виде
,
где
и
многочлены с неопределёнными
коэффициентами, а
.
Найдём производные:
Если подставить
эти выражения в уравнение (1), сократить
на
и приравнять коэффициенты при
и
,
то получим систему
(3)
Если подставить
числа
в характеристическое уравнение уравнения
(1), то получим
и тогда возможны случаи:
2.1. Числа
не являются корнями характеристического
уравнения, т.е.
.
Тогда слева в
уравнениях (3) стоят многочлены степени
.
Поэтому можно приравнять коэффициенты
при одинаковых степенях х.
В результате получим систему для
определения коэффициентов многочленов
и
.
2.2. Числа
- корни характеристического уравнения,
т.е.
и
.
Тогда слева в уравнениях (3) стоят многочлены степени на единицу меньшую, чем k и, рассуждая аналогично, как и ранее, частное решение ищем в виде
.
Итак, получаем
Правило 2. Если правая часть уравнения (1) имеет вид
,
то частное решение следует искать в виде
,
если
не
являются корнями характеристического
уравнения, и в виде
,
если
корни характеристического уравнения,
где
и
многочлены с неопределёнными
коэффициентами, а
.
Замечание 1.
Правило 2
справедливо и для случая
.
Тогда
и, если
корень характеристического уравнения,
то
Замечание 2. Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму двух функций, относящихся к правилам 1-2, то частное решение в силу линейности уравнения ищется в виде суммы двух функций, которые определяются соответственно правилами 1-2.
Пример 2. Найти частное решение уравнения
.
Здесь правая часть уравнения представляется в виде суммы двух функций:
и
.
Поэтому решение
ищем в виде
,
где
является частным решением уравнением
.
(4)
а
является частным решением уравнения
.
(5)
Для этого случая решение имеет вид (случай 2.1)
.
Подставим это выражение в уравнение (4):
.
Сократим на
и приравняем коэффициенты при
и
:
Из решения системы получаем
.
Решение уравнения (5) ищем в виде (случай 1.1)
.
Подставим это выражение в уравнение (5)
.
Приравнивая
коэффициенты при
,
приходим к системе
Из решения системы последовательно находим
.
Окончательно получим
.