- •Дифференциальные уравнения Лекция № 37. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 38
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 39. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 40
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде
.
Если к тому же
,
то
. (6)
Пусть в уравнении (6) выполняются условия:
,
тогда оно примет вид
. (7)
Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.
Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим
(8)
Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл
(9)
Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции и. Пусть, например,. Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение. Аналогично, если, тоявляется решением уравнения (7).
Пример 3.Найтиобщеерешениеуравнения .
Преобразуем уравнение:
или
,
при этом . Интегрируя уравнение, получим
или
К этому решению нужно добавить решение вида , а решение видавходит в общее решение при. Окончательно, имеем
Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:
Разделим переменные:
Интегрируя, получим
или .
Если известна начальная масса M0 при , тогда
и .
Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t1 масса вещества стала равной M1. Тогда
или
Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.
Лекция № 38
2.3. Однородные уравнения
Определение 1. Функция называетсяоднородной функцией, если выполняется.
Например, функция является однородной, так как
.
Определение 2. Уравнение вида называется однородным уравнением, еслиоднородная функция.
Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.
По условию . Положим в этом тождестве, тогда
и уравнение примет вид
.
Сделаем замену и.
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
или .
Интегрируя его, а затем, подставляя , находим решение.
Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решениемили.
Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку , еслиподкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.
Если текущая точка у
кривой, то по условию задачи,
получаем уравнение
у
Получили однородное урав-
нение, поэтому сделаем замену О А В х
и .
Тогда уравнение примет вид
.
Разделяем переменные
и интегрируем
.
Выполнив обратную замену , имеем
.
Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты
находим и получим искомое уравнени кривой
.
2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)
Определение 3. Уравнение вида , гдеинепрерывные нафункции, называется линейным.
Его решение будем искать в виде
. (1)
Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим
. (2)
Функцию выберем из условия
.
Проинтегрируем это уравнение
.
Тогда уравнение (2) примет вид
.
Окончательно, имеем
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение ищем в виде . Тогда для функцииполучаем уравнение
а для функции
Окончательно, имеем
.
2.5. Уравнения Бернулли
Определение 4. Уравнение вида , где, называется уравнением Бернулли.
Отметим, что при оно становится линейным, а при уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем.
Покажем, что уравнение Бернулли путём замены , приводится к линейному. Действительно,
.
Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные.
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Разделим данное уравнение на и получим уравнение Бернулли
.
Здесь . Решение ищем в виде. Тогда
.
Для функции получаем уравнение
,
а для функции
Проинтегрируем это уравнение, тогда .
Таким образом, общее решение имеет вид
.
2.6. Уравнения в полных дифференциалах
Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если
, (3)
где частные производные непрерывны в некоторой области.
Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала.
Теорема. Если полный дифференциал некоторой функции, то выполняется условие (3). Верно и обратное.
Пусть выражение является полным дифференциалом. Это означает, что, так как
.
Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе по х, получим
.
Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворятьусловиям:
.
Интегрируя первое из них, получим
где является фиксированной точкой из области определения функцийи, а произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение:
и воспользуемся условием (3)
откуда
и .
Таким образом, функция найдена
. (4)
Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах. Если выполняется условие (3), то согласно теореме имеем
общий интеграл.
С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах
. (5)
Пример 4. Решить задачу Коши
Проверим выполнение условия (3):
,
т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем
или
.
Приведём подобные члены и соберём все константы в одну:
.
Значение константы С определим из начального условия: .
Тогда решение задачи Коши будет иметь вид
.