- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •Векторная алгебра Лекция № 4. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 5.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 6. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
Лекция № 5.
1.4. Способы задания векторов
Вектор может быть задан следующими способами:
1. Координатами вектора
2. Координатами начальнойz
и конечной точек.
3. Модулем вектора и углами,M
которые он образует с координатными осями.
При этом значения
называются направляющими косинусами. O y
Между этими способами задания az
векторов существует определённая связь. ax
Например, переход от (2) к (1) x ay
осуществляется следующим образом:
так как, тоz A
.
Переход от (3) к (1) и наоборот
осуществляется по формулам: B
x O y
1.5. Деление отрезка в заданном отношении
Рассмотрим следующую задачу: даны две точки и. Требуется найти точку такую, что отно-шениеz А
Построим векторы: М
Из условия коллинеарности векторов
и имеемВ
Полученное равенство представим в
координатной форме х О у
или окончательно
(1)
Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам
Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин Найти его центр тяжести. z В
Известно, что центр тяжести треугольника
лежит на пересечении его медиан и, если
точка К середина стороны ВС, то по А М К
свойству медиан у
Определим вначале координаты х С
точки К:
далее по формулам (1) получим координаты точки М:
Тема 2: Скалярное произведение
2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается
(2)
Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме
(3)
откуда получим
Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если постоянная сила, а вектор перемещения, то работа силы на перемещении
Из определения скалярного произведения следуют его свойства:
1. скалярное произведение коммутативно.
2. , если векторыиперпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.
3.
Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 4 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:
4.
Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.
2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы: .
Аналогично получаем:
Тогда, если
то
(4)
2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
Направляющие косинусы
По формулам (2) и (4) получаем
откуда
(5)
Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует
(6)
Аналогично получим
(7)
Если в формуле (7) положить , то найдем
.
Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов
; . (8)
Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.
Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство
Пример 2. Даны два вектора Найти их скалярное произведение и угол между ними.
По формулам (5) и (7) получаем
Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол с вектором
Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений
Из второго уравнения
системы получаем
Тогдареньонний
Из этого уравнения и. Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора, удовлет-воряющих условию задачи.