Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы

3.1. Основные виды матриц

Определение 1. Матрицей называется совокупность чисел, располо-женных в т строках и п столбцах и обозначается

Число, стоящее на пересечении -ой строки и-го столбца, обозначаетсяи называется элементом матрицы;размерность матрицы.

Существуют следующие виды матриц:

1. Матрица – строка

2. Матрица – столбец

3. Нулевая матрица  все ее элементы нули.

4. Единичная матрица

5. Диагональная матрица .

6. Симметрическая матрица – для ее элементов выполняется равенство для всех

Важной характеристикой квадратной матрицы А является её опреде-литель, который обозначается Если, то матрицаА назы-вается невырожденной. В противном случае – вырожденной.

Определение 2. Две матрицы иодинаковой размер-ности называются равными, если равны все их соответствующие элементыдля всех

3.2. Действия над матрицами

1. Транспонирование матриц.

Определение 3. Транспонированием матрицы называется замена её строк столбцами с сохранением их номеров.

Транспонированная матрица обозначается А ^Т.

Пример 1. Найти А ^Т, если матрица

Тогда

2. Сложение матриц.

Определение 4. Суммой двух матриц иодинаковой размерности называется матрицаС той же размерности, элементы которой определяются равенствами и обозначается.

3. Умножение матрицы на число.

Определение 5. Произведением матрицы на некоторое числоназывается матрица, элементы которой равны элементам матрицыА, умноженным на это число , т.е.и обозначается.

Пример 2. Найти матрицу , если

4. Умножение матриц.

Определение 6. Произведением матрицы размерности и матрицы размерности,называется матрица , размерности, элементы которой удовлетворяют равенству

и обозначается .

Замечание 1. Как видно из определения, произведение двух матриц будет определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример 3. Найти произведение матриц

Тогда

Замечание 2. Легко убедиться в том, что в общем случае произведение матриц не обладает коммутативным свойством, т.е. что видно из следующего примера.

Пример 4. Найти произведение матриц

Тогда имеем

3.3. Обратная матрица

Определение 7. Обратной матрицей матрицы А называется матрица , для которой выполняется равенство

Из этого определения следует, что понятие обратной матрицы является взаимообратным и определено только для квадратных матриц. При этом для существования обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Покажем, что обратной матрицей для случая матрицыА размер-ности будет матрица

где  алгебраические дополнения элемента .

Тогда

Например,

и т.д.

Так же можно проверить и равенство

Замечание 4. Аналогично для матрицы А размерности обратная матрицаимеет вид

3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

Введем следующие матрицы

Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно пред-ставить в следующем виде (матричная форма системы уравнений (1))

(2)

Пусть тогда для матрицыА существует обратная

Умножая обе части равенства (2) слева на ,получим

(3)

В силу равенств иформула (3) принимает вид

(4)

Не трудно убедиться в том, что выражение (4), полученное для Х, действительно является решением уравнения (1). Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем

Замечание 5. Решение, полученное по формуле (4), то же самое, что было получено по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы (1), можно непосредственно проверить, если подставить в формулу (4) выражение для обратной матрицы.

Пример 5. Матричным методом решить систему уравнений

Здесь

Тогда

следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения

аналогично далее

Таким образом, получим окончательное решение

.