- •Дифференциальное исчисление Лекция № 18. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •4.5. Правила дифференцирования
- •4.6. Производная сложной функции
- •Лекция № 19.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.8. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 22.
- •6.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 23.
- •6.8*. Кривизна кривой
- •С о д е р ж а н и е
С о д е р ж а н и е
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Лекция № 1. Тема : Определители . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . 4
Основные свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . 5
Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Лекция № 2. Тема : Системы линейных алгебраических уравнений . . 8
Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Лекция № 3. Тема : Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Основные виды матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Решение систем линейных уравнений
с помощью обратной матрицы . . . . . . . . . . . . 16
Лекция № 4. Тема : Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Определение вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . 18
Декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Лекция № 4. Тема : Векторы (окончание) . . . . . . . . . . . . . 23
Способы задания векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Тема : Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . 24
Скалярное произведение двух векторов
и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 24
Скалярное произведение векторов,
заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 25
Длина вектора. Угол между двумя векторами.
Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . 25
Лекция № 6. Тема : Векторное произведение . . . . . . . . . . . 27
Векторное произведение двух векторов
и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 27
Векторное произведение векторов,
заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 27
Механический смысл векторного произведения . . . . . . . . 28
Тема : Смешанное произведение . . . . . . . . . . . 29
Смешанное произведение двух векторов
и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . 29
Смешанное произведение векторов,
заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 30
Лекция № 7. Тема : Линии на плоскости и их уравнения . . . . . . 32
Линии и их уравнения в декартовой системе координат . . . . 32
Параметрические уравнения линии . . . . . . . . . . . . . 32
Уравнение линии в полярной системе координат . . . . . . . 33
Преобразование системы координат.
Уравнение линии в новой системе координат . . . . . . 34
Лекция № 8. Тема : Прямая линия на плоскости . . . . . . . . . . 36
Уравнения прямой линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Взаимное расположение двух прямых . . . . . . . . . . . . 38
Уравнение прямой, проходящей через две точки . . . . . . . 38
Уравнение прямой, проходящей через точку
с заданным угловым коэффициентом . . . . . . . . . 39
Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . 39
Лекция № 9. Тема : Линии второго порядка . . . . . . . . . . . . 40
Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Классификация линий второго порядка . . . . . . . . . . . . 44
Лекция № 10. Тема : Плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Уравнение плоскости. Построение плоскости . . . . . . . . . 45
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку,
перпендикулярно заданному вектору . . . . . . . . . . 45
Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Угол между двумя плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . 46
Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . 47
Тема : Прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . 48
Уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Лекция № 11. Тема : Прямая в пространстве (окончание) . . . . . . 49
Уравнение прямой, проходящей через две точки . . . . . . . 49
Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . 50
Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . 51
Пересечение прямой с плоскостью . . . . . . . . . . . . . . 51
Лекция № 12. Тема : Поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Уравнение поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Лекция № 13. Тема : Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Определение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Лекция № 14. Тема : Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Предел последовательности и переменной величины . . . . . 62
Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Лекция № 15. Тема : Пределы (продолжение) . . . . . . . . . . . 65
Бесконечно малые и бесконечно большие величины . . . . . 65
Теорема о пределе функции . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . 67
Раскрытие неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . 68
Лекция № 16. Тема : Пределы (окончание) . . . . . . . . . . . . 69
Первый стандартный предел . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Число е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Второй стандартный предел . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Сравнение б.м.в. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Лекция № 17. Тема : Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . 73
Определение непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . 73
Основные теоремы о непрерывных функциях
Непрерывность элементарных функций . . . . . . . . 74
Классификация точек разрыва функции . . . . . . . . . . . 74
Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . 75
Лекция № 18. Тема : Производная и дифференциал . . . . . . . . 77
Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Производные основных элементарных функций . . . . . . . . 78
Механический смысл производной . . . . . . . . . . . . . 79
Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . 79
Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 81
Лекция № 19. Тема : Производная и дифференциал (окончание) . . . 82
Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . 82
Производная функции, заданной параметрическими
уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Производная функции, заданной неявно . . . . . . . . . . . 83
Производная степенно-показательной функции . . . . . . . . 83
Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . 84
Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Лекция № 20. Тема : Основные теоремы о дифференцируемых
функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Лекция № 21. Тема : Исследование функции . . . . . . . . . . . . 91
Возрастание и убывание функций . . . . . . . . . . . . . 91
Экстремум функции. Необходимые условия экстремума . . . . 91
Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 92
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . . . 94
Лекция № 22. Тема : Исследование функции (продолжение) . . . . . 95
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба . . . . . . . . . . . 95
Асимптоты линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Общий план исследования функции и
построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Лекция № 23. Тема : Исследование функции (окончание) . . . . . . 99
Исследование функции (пример) . . . . . . . . . . . . . . 99
Кривизна кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100