4.12. Дифференциал функции

Пустьфункция имеет в точкех производную, т.е. существует

.

Тогда по теореме о пределе функции

,

где приили

. (8)

Второе слагаемое в формуле (8) является б.м.в. более высокого порядка, чем . Первое слагаемое называетсяглавной или линейной частью приращения функции.

Определение 2. Главная часть приращения называетсядифферен-циалом функции и обозначается

. (9)

Тогда формула (8) примет вид

.

В частности, для функции , т.е. для аргу-ментаи поэтому окончательно формула (9) принимает вид

.

Из рисунка следует геомет-у

рический смысл дифференциала.

х

Таким образом, дифференциал функции – это приращение ординаты точки, лежащей на касательной.

Отметим основные свойства дифференциала, которые следуют из соответствующих правил дифференцирования:

1.

2.

3.

Найдём выражение для дифференциала сложной функции . Тогдаили.

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргу-мента. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью.

Замечание 3. Из обозначения производной следует, что производнуюможно рассматривать как отношение дифференциалов.

Лекция № 20.

Тема 5 : Основные теоремы о дифференцируемых функциях

5.1. Теорема Ролля

Теорема. Если функция непрерывна на, дифференцируема наи, то существует такая точка, что

Если .

Поэтому будем считать, что и в силу непрерывности функцииона достигает насвоего наибольшего и наименьшего значений. При этом, так как, то хотя бы одно из них дости-гается внутри промежутка. Пусть это.

Покажем, что (теорема Ферма). Приимеем

.

Аналогично, при

В силу дифференцируемости имеему

.

Замечание 1. Теорема имеет

простой геометрический смысл:

существует точка , в которойх

касательная к кривой а b

параллельна оси Ох.

5.2. Теорема Лагранжа

Теорема. Если функция непрерывна на, дифференци-руема на, то существует такая точка, в которой

.

Составим функцию

.

Так как функция непрерывна на, дифференцируема наи, то по теореме Ролля существует точка, в которой, т.е.

5.3. Правило Лопиталя

Теорема. (Раскрытие неопределённости вида ). Пустьидифференцируемы в окрестности точкиx₀ и . Тогда, если существует, то существуети.

Запишем отношение функций . К числителю и зна-менателю применим теорему Лагранжа, где.

Если перейти к пределу при , тогда

Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и для случая, если , так как заменой онсводится к случаю при

Покажем это,

.

Замечание 3. Теорема имеет место и для неопределённости вида . Неопределенности видов и приводятся к рассмотренным

случаям путём алгебраических преобразований.

Например, снеопределённостьювида поступаютследующим образом: .

При неопределённостях вида: применяют лога-рифмирование, т.е. вместо предела функциирассматривается предел

.

Замечание 4. Требование существования предела в правиле Лопиталя существенно. Так, например, правило Лопиталя нельзя применить к пределу

, так как не существует . В тоже время

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.