- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
1.1. Определение функции
При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s, скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скоростиv величина пути s зависит от времени t.
В этом случае изменение одной величины (t) произвольно, а другая (s) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.
Пусть заданы два множества X и Y.
Определение. Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, при этом пишут
или .
Элемент называетсяаргументом функции f, а элемент значением функции. Множество X, при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции, а множество Y областью изменения функции. Эти множества соответственно обозначаются и.
Примеры функций:
1. Скорость свободного падения тела . ЗдесьX и Y множества действительных неотрицательных чисел.
2. Площадь круга . ЗдесьX и Y множества положитель-ных действительных чисел.
3. Пусть X множество студентов группы, т.е. , а множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции f рассматривается критерий оценки знаний.
В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множествив виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки):
отрезок;
интервал;
числовая ось (множество действительных чисел);
или окрестность точки a.
а х
Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чиселy, то таким правилом определена многозначная функция . Например,.
Примеры. Найти области определения и значений функций:
1. .
2. .
3. .
4. .
1.2. Способы задания функции
1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.
Примеры:
1. . 2. . 3. .
В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы): для всех, любых; существует, можно указать.
Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если из этого промежутка выполняется неравенствоилии пишутилисоответственно. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если выполняется условие. В противном случае функция называетсянеограниченной.
Функция называется четной (нечетной), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциямиобщего вида.
Функция называется периодической с периодом Т, если выполня-ется условие.
Например, функция является возрастающейи убывающей. Функция является монотонной. Функцияограничена для, так как. Функции:являются четными, а функции нечетными. Функция периодическая с периодом .
Функция может быть задана и уравнением вида
(1)
Если существует такая функция , что, то уравнение (1) определяет функцию заданнуюнеявно. Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию.
Пусть , а, тогда функцияназываетсясложной функцией или суперпозицией двух функций F и f. Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функцийи.
Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у, а в качестве функции – переменную х, то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается . Например, для функцииобратной функцией служитили, если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.
Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ). Например, поставим в соответствие каждому числу число1, а каждому число0. В результате получим единичную функцию
Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.
Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.
2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.
у
d
a b
O x
c
Функцию можно задавать с помощью таблиц:
3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y. Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.
-
х
х1
х2
x3
…
xn
у
у1
у2
у3
…
уn
Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.