Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
cd495 / cd330 / МОДУЛЬ-2 / ВВ-АНАЛИЗ-ФУНКЦИЙ-ОДНОЙ-ПЕРЕМ.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.06 Mб
Скачать

3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций

Используя теоремы 13 о пределах функции (п.2.5), можно доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Пусть функции непрерывны в точкех0 и

.

Тогда имеем

ч.т.д.

Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Доказательство аналогично.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией, если знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю.

Доказательство аналогично.

Теорема 4. Пусть функция непрерывна в точкеи0, а функция непрерывна в точкех0 и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точкех0.

Здесь была использована подстановка и условие непрерыв-ности функциив точкех0.

В результате доказательств этих теорем и непрерывности основных элементарных функций приходим к важной обобщающей теореме:

Теорема 5. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

3.3. Классификация точек разрыва функции

Определение 4. Если в точке х0 нарушается условие непрерывности функции , то функция называется разрывной в точкех0, а точка х0точкой разрыва функции.

Определение 5. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, т.е. .

Схематичный вид функции в точке разрыва первого рода:

у

0 х0 х

Пример 2. Функции, имеющие разрывы первого рода:

;  целая часть числа х.

Определение 6. Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если .

В этом случае полагают и точках0 стано-вится точкой непрерывности. Функция в этой точке имеет вид

у

0 х0 х

Пример 3. Для функции точках0 = 0 является точкой устранимого разрыва.

Определение 7. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 4. Покажем, что функция в точкех0 = 1 имеет разрыв второго рода.

Пример 5. Покажем, что функция в точкех0 = 0 имеет разрыв второго рода.

Рассмотрим последовательность :

Как показано в п.2.2 последний предел не существует, т.е. имеем разрыв второго рода.

3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теоремы,описывающие эти свойства, проиллюстрируем на графиках.

Теорема 1. Если непрерывна на, то она ограничена на, т.е..

Теорема 2. Если непрерывна на, то насуществуют её наибольшее и наименьшееу

значения, т.е. М

и пишут

c

а 0 d b x

M

Теорема 3. Если непрерывна наи принимает на концах отрезка неравные значения, то дляy

любого промежуточного значения М

между этими числами существует по М

крайней мере одна точка ,

для которой .

0 a c b x

Следствие. Если непрерывная на функцияпринимает на концах значения разных знаков, тоy

существует по крайней мере одна

точка , в которой.a c b x

Этот факт используется для 0

нахождения корней уравнения.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке МОДУЛЬ-2