- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 13. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 14. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 15
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 16
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
2.4. Теорема о пределе функции
Эта теорема является важной, так как используется при доказатель-стве многих теорем и утверждений.
Теорема. Если функция имеет предел при , то в некоторой окрестностиона представляется в виде суммы, гдеА её предел, а б.м.в. при . Верно и обратное.
Пусть , т.е. б.м.в. или .
Обратно. Пусть . Тогда, т.е..
Замечание 4. Теорема остаётся справедливой и для случая . Тогда вместо фразы “в некоторой окрестности“ следует читать “при достаточно большихх“.
2.5. Основные теоремы о пределах
Предположим, что существуют пределы соответствующих функций. Тогда справедливы теоремы:
Теорема 1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е.
.
Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен про-изведению пределов этих функций, т.е.
.
Следствия:
1. Если .
2. .
Теорема 3. Если , то.
Пусть иТогда по теореме о пределе функции имеем,, гдеи б.м.в. при .
Напишем тождество
Поскольку является б.м.в. по свойствам б.м.в., то тогдаи по теореме о пределе функции получаем
, ч. т. д.
Утверждение следующей теоремы практически очевидно, а её дока-зательство следует из определения предела функции.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности выполняетсяи, то.
Замечание 5. Доказательства теорем 1–2 аналогичны доказательству теоремы 3.
Покажем, как с помощью этих теорем вычисляются некоторые пределы.
Пример 3. Найти .
Так как , то имеем
2.6. Раскрытие неопределённостей
Рассмотрим пример: найти предел .
Здесь и.
Этот случай классифицируется как неопределённость вида . Известны также неопределённости следующих видов:и, если1 является пределом некоторой функции, то .
Чтобы раскрыть эти неопределённости, т.е. найти соответствующие пределы, необходимо выполнить соответствующие тождественные преобра-зования функции под знаком предела, которые зависят от вида неопре-делённости и самой функции. Рассмотрим это на конкретных примерах.
Пример 4. .
Пример 5. .
Пример 6.
Пример 7.
Лекция № 16
2.7. Первый стандартный предел
Теорема. . (1)
Выражение под знаком предела является неопределённостью вида. Раскроем данную неопределённость, C
исходя из геометрических соображений. A
Построим окружность с центром в R
точке и радиусомR. Выберем
угол х в первой координатной четверти х
и сравним площади трех фигур: AOB, О D B
сектор AOB и СOВ.
Из рисунка видно, что площади
указанных фигур связаны соотношением:
.
Вычислим эти площади:
откуда имеем .
С учётом того, что , разделим обе части неравенства наи получим
или .
Так как , то на основании теоремы4 (п.2.5) имеем требуемое равенство (1).
Замечание 1. Правомерность предельного перехода под знаком косинуса будет показана в следующей лекции.
Пример 1.
Пример 2.