5.4. Формула Тейлора

Для функции , которая имеет производные до (п + 1)го порядка включительно в некоторой окрестности точки х₀, найдём многочлен сте-пени п, который удовлетворяет следующим условиям:

. (1)

Будем его искать в виде

. (2)

Определим из условий (1) коэффициенты в выра-жении (2), дифференцируя его и подставляя значение.

.

И тогда получим

.(3)

Естественно ожидать, что многочлен (3) в окрестности точки х₀ мало отличается от функции . Обозначим разность, которая называетсяостаточным членом.

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

где . Если остаточный член мал, то имеем приближенную формулу .

Пример 5. Составить формулу Тейлора для функции в окрест-ности точкии вычислить с точностьюзначение.

Учитывая, что иполучим

.

Положим в этой формуле

,

где . Из оценки остаточного члена определимп, т.е. решим неравенство

и тогда окончательно получим

Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций

6.1. Возрастание и убывание функций

Теорема. Если дифференцируемая на функциявозрастает (убывает), товыполняется. Верно и обратное.

Пусть Тогда отношение

Переходя к пределу, получаем

Аналогично доказывается случай

Докажем обратное утверждение. Пусть , а. По теореме Лагранжа имеем

.

Отсюда, с учётом знака правой части, имеем

Аналогично доказывается случай

Замечание 1. В некоторых точках может быть , так как производная является пределом.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции

Находим производную заданной функции

Знаки производной определим методом интервалов:

 +  +

1 0 1 х

Тогда имеем

6.2. Экстремум функции. Необходимое условие

Определение 1. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется.

Определение 2. Точки максимума и точки минимуманазываются точками экстремума функции, а соответствующие значения функции – экстремальными значениями.

Замечание 2. Не следует, вообще говоря, считать, что максимум и минимум функции являются соответственно её наибольшим и наимень-шим значениями.

y

0 а х₁ х₂ х₃ b x

Здесь х₁, х₃  точки минимума, х₂  точка максимума функции , а

Из теоремы Ролля следует необходимое условие существования экстремума функции:

Если функция дифференцируемая и имеет экстремум в точкех₀, то в этой точке

Как обстоит дело в точках, где производная не существует? Например, очевидно, что функция имеет минимум при, где она не дифференцируемая.

Таким образом, окончательно можем сформулировать

Необходимое условие экстремума. Если непрерывная функция имеет в точкех₀ экстремум, то в этой точке либо не существует.

Определение 3. Точки, в которых называютсястационар-ными. Стационарные точки и точки, в которых производная не сущест-вует, называются критическими.

Замечание 3. Очевидно, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например,  критическая точка, которая не является точкой экстремума (см. график функции ).

Как выделить из критических точек точки экстремума? Для этого существуют достаточные условия экстремума.