Для студентов ЭКИ-1 / MATANALIZ - 1 / ОГЛАВЛЕНИЕ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Часть 1»

ОГЛАВЛЕНИЕ

Тема Введение в математический анализ……………………….. 5 §1. Функции одной переменной: основные понятия……………………...... 5 §2. Элементарные функции…………………………………………………... 10 §3. Последовательности: основные понятия, примеры……………………. 14 §4. Бесконечно малые последовательности и их свойства………………… 16 §5. Предел последовательности……………………………………………… 18 §6. Бесконечно большие последовательности и их свойства………………. 21 §7. Теоремы о пределах последовательностей……………………………… 23 §8. Монотонные последовательности. Число …………………………… 25 §9. Предел функции………………………………………………………….. 27 §10. Замечательные пределы………………………………………................. 33 §11. Эквивалентные б.м. и б.б. функции……………………………………. 36 §12. Понятие непрерывности функции……………………………………… 40 §13. Классификация точек разрыва…………………………………………… 42 §14. Основные свойства непрерывных функций…………………………….. 44

Тема Производная……………………………………………………….. 45

§1. Задачи, приводящие к понятию производной…………………………..... 45 §2. Определение и смысл производной……………………………………..... 46 §3. Бесконечные и односторонние производные…………………………...... 47 §4. Дифференцируемость функции..................................................................... 48 §5. Основные правила дифференцирования...................................................... 50 §6. Производные основных элементарных функций........................................ 52 §5. (продолжение) Основные правила дифференцирования........................... 57 §7. Дифференциал функции................................................................................ 60 §8. Производные высших порядков................................................................... 63

Тема Основные теоремы о дифференцируемых функциях..... 66

§1. Необходимое условие экстремума............................................................... 66 §2. Теорема о среднем значении........................................................................ 67 §3. Обобщение формулы конечных приращений............................................. 69 §4. Раскрытие неопределенностей. Правило Бернулли-Лопиталя.................. 70 _{Тема Исследование функций с помощью производных........ 74}

§1. Условие постоянства функции..................................................................... 74 §2. Условие монотонности функции................................................................. 75 §3. Исследование функции на экстремум......................................................... 76 §4. Исследование функции на выпуклость и перегиб...................................... 80 §5. Асимптоты графика функции....................................................................... 85 §6. Общая схема исследования функции.......................................................... 88 §7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке................ 91

Тема Формулы Тейлора и Маклорена.............................................. 94

§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона................................ 94 §2. Формула Тейлора произвольной функции.................................................. 96 §3. Формула Маклорена. Оценка R_n(x)..................................................... 98 §4. Разложение по формуле Маклорена некоторых

элементарных функций.................................................................................. 99 §5. Приложения формулы Маклорена............................................................... 103

Тема Функции нескольких переменных.......................................... 107

§1. Евклидово пространство: точки, множества, сходимость......................... 107 §2. Определение функции нескольких переменных........................................ 108 §3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность..................... 109 §4. Частные производные................................................................................... 110 §5. Дифференцируемость и полный дифференциал........................................ 112 §6. Производные сложных функций.................................................................. 113 §7. Сущестование и дифференцируемость неявной функции......................... 114 §8. Касательная к кривой в пространстве.......................................................... 115 §9. Касательная плоскость к поверхности......................................................... 118 §10. Производные высших порядков.................................................................. 120 §11. Экстремумы функции нескольких переменных........................................ 121 §12. Наибольшее и наименьшее значения функции в области........................ 124 §13. Производная по направлению. Градиент................................................... 125 ^{§14. Метод наименьших квадратов..................................................................... 130}

Тема Комплексные числа и многочлены......................................... 134

§1. Комплексные числа: основные определения............................................... 134 §2. Тригонометрическая форма комплексного числа....................................... 135 §3. Показательная форма комплексного числа................................................. 137 §4. Многочлены................................................................................................... 139

Cписок рекомендованной литературы........................................................... 141

Приложения………………………………………………………………….… 142

3