- •§1. Несобственные интегралы 1-го рода
- •I Определение
- •II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода
- •II Интегралы от знакопеременных функций
- •§3. Несобственные интегралы 2го рода
- •I Одно свойство определенного интеграла
- •II Определения
- •III Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода
- •§4. Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода
- •§5. Замечания к теме
- •I Об интегралах смешанного типа
- •II о замене переменной в несобственных интегралах
- •§6. Гамма-функция Эйлера
III Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода
Примем без доказательства теорему, которая упрощает вычисление несобственных интегралов 2-го рода.
Теорема 1. Пусть функция имеет на отрезкеодну или несколько особых точек и пусть– её первообразная, т.е.всюду, за исключением особых точек. Если эта первообразная непрерывна и в этих особых точках, то имеет место формула
.
Примеры. 2. .
3.
4. . Найдем первообразную:
В нуле первообразная не определенна, однако . Положив, мы получим непрерывную напервообразную, поэтому
.
§4. Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода
Эти признаки совершенно аналогичны признакам сходимости для несобственного интеграла 1-го рода. Приведем лишь их формулировки.
Теорема 1 (1-й признак сравнения). Пусть функции инепрерывны наи– их общая особая точка. Если они удовлетворяют условию, то:
1) из сходимости интеграла от функции следует сходимостьинтеграла от функции;
2) из расходимости интеграла от функции следует расходимостьинтеграла от функции.
Теорема 2 (2-й признак сравнения). Пусть функции инепрерывны и неотрицательны наи– их общая особая точка. Если приэти функции эквивалентны, то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
В качестве эталонного интеграла 2-го рода берут интеграл вида
,
который сходится при , и расходится при .
Примеры. 1. .
При (0 – особая точка) . Кроме тогона. Т.к. интеграл
расходится, то и данный интеграл также расходится.
2. . Особая точка:.
Прежде всего, разложим подкоренное выражение на множители:
.
Теперь нетрудно получить при оценку
=.
Интеграл сходится как эталонный, следовательно сходится и данный интеграл.
Теорема 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл , то сходится и интеграл(такую его сходимость называ-ют абсолютной).
Пример 3. .
Рассмотрим модуль подынтегральной функции при :
.
Интеграл сходится как эталонный. Последовательно применяя 2-й и 1-й признаки сравнения, получим, чтосходится. Значит, и исходный интеграл сходится, причем абсолютно.
Пример 4. .
Если к этому интегралу применить (незаконно!) свойство линейности, то получим разность двух несобственных расходящихся интегралов. На самом же деле для подынтегральной функции нетрудно получить эквивалент-ность в особой точке. Действительно,
.
Значит, при, и исходный интеграл сходится вместе с эталонным.
§5. Замечания к теме
I Об интегралах смешанного типа
Если на бесконечном промежутке подынтегральная функция имеет особые точки, то интеграл разбивают на сумму отдельных интегралов, пользуясь свойством аддитивности. При этом необходимо, чтобы в каждом таком интеграле была бы одна особая точка, причем она являлась бы пределом интегрирования. Для простоты и бесконечно удаленную точку считаем особой.
Примеры. 1.. Здесь две особые точки:и. Разобьем интеграл на сумму двух:
.
При : , где. Поэтому интегралсходится вместе сдля любого. Если же, то, где. Значит, интегралсходится вместе слишь для. Окончательный вывод: данный интеграл сходится при.
2. Исследуйте самостоятельно интеграл , разбив его на сумму таким образом:
.