Metodichka_TG

Расстоянием между двумя вершинами u и v графа G называется длина кратчайшей простой цепи, соединяющей эти вершины; обозначается: d(u,v).

Если вершины u и v графа G не связаны, расстояние считается равным бесконечности: d(u,v)= .

В связном графе расстояние является метрикой, т.е. удовлетворяет следующим аксиомам.

u,v,w V:

1)d(u,v) 0 (d(u,v)=0 <=> u=v);

2)d(u,v)=d(v,u);

3)d(u,v)+d(v,w)= d(u,w).

Кратчайшая простая цепь, соединяющая вершины u и v, называется геодезической и обозначается: (u,v).

Алгоритм нахождения кратчайших маршрутов (волновой).

Пусть задан неориентированный граф G=(V,E). Необходимо найти расстояние от одной заданной вершины до другой, или от одной заданной ко всем остальным вершинам графа G.

Идея алгоритма:

–выбирается некоторая вершина графа G и определяются все “соседи” выбранной вершины (“соседями” называются вершины, смежные с данной);

–эти вершины помечаются;

–определяются “соседи соседей” и также помечаются и т. д.

Алгоритм заканчивает работу, если:

–все вершины помечены (граф связен);

–построены все геодезические, связывающие данную вершину со всеми остальными;

–найдены расстояния от данной вершины ко всем остальным.

Если не все вершины в результате работы алгоритма помечены, это означает что граф G не связен.

Пример:

Эксцентриситетом, или отклоненностью, вершины v графа G называется длина максимальной геодезической, исходящей из этой вершины; обозначает-

ся: e(v) max d(v,u) , v V, u V .

Диаметром графа G называется максимальный среди всех эксцентриситетов вершин графа; обозначается: d(G) max e(u), u V .

Периферией графа G называется множество вершин графа G, для которых эксцентриситет равен диаметру, т.е.: e(v) d(G) .

Радиусом графа G называется минимальный из эксцентриситетов вершин графа G; обозначается: r(G)=min e(u), u V.

Центром графа G называется множество вершин, для которых эксцентриситет равен радиусу графа. т.е.: e(v) = r(G).

Матрица расстояний несвязного графа может состоять из нескольких матриц (для каждой компоненты) или иметь блочный вид.

Пример: найти e(v) в заданном графе

b

a

g h

d

c

f e

d(G)=3; r(G)=2; периферия: {a,c,e,f}; центр: {b,d} - для первой компоненты связности.

d(G)=1; r(G)=1; периферия: {g,h}; центр: {g,h} - для первой компоненты связности.

2.4 ВЕРШИННАЯ И РЕБЕРНАЯ СВЯЗНОСТЬ

Вершинной связностью графа G называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному, или тривиальному, графу; обозначается: (G).

( K n )=n-1; ( Pn )=1; ( Cn )=2.

Реберной связностью графа G называется наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному графу; обозначается: (G) .

( K n )=n-1; ( Pn )=1; ( Cn )=2.

Для тривиального графа реберную связность полагают равной 0.

Пример:

(G)=1,(G)=2.

Вершина v графа G называется точкой сочленения, или разделяющей вершиной, если граф G\{v} имеет больше компонент связности, чем граф G.

Ребро е графа G называется мостом, если его удаление приводит к нарушению связности графа.

мост: (v3,v4).

v6

v8 v7

Связный непустой граф называется неразделимым, если в нем отсутствуют точки сочленения.

Матрица весов для графа G:

Найти кратчайшие расстояния от 1 вершины ко всем остальным.

1)l(1) = 0;

l(2) = l(3) = … = l(7) =∞; p = 1.

2)Г(1) = {3,5,6,7};

l(3) = min(l(3), l(1)+C(1,3)) = min(∞,0+4)=4;

l(5) = min(l(5), l(1)+C(1,5)) = 16;

l(6) = min(l(2), l(1)+C(1,2)) = 14;

l(7) = min(l(2), l(1)+C(1,2)) = 2.

3)min(4,16,14,2) = 2; min = l(7) = 2;

p = 7.

4)Г(7) ={1,2,3,5,6};

l(2) = min(l(2), l(7)+C(2,7)) = min(∞, 2+9)=11;

l(3) = min(l(3), l(7)+C(3,7)) = 4;

l(5) = min(l(5), l(7)+C(5,7)) =16;

l(6) = min(l(6), l(7)+C(6,7)) = 14.

5)min(11,4,16,14) = 4; min = l(3) = 4;

p = 3.

6)Г(3) = {1,4,5,6,7};

l(4) = min(l(4), l(3)+C(4,3)) = 13;

l(5) = min(l(5), l(3)+C(5,3)) = 16;

l(6) = min(l(6), l(3)+C(6,3)) = 14.

7)min(13,16, 14) = 13; min = l(4) = 13; p=4.

8)Г(4) = {2,3,5};

l(5) = min(l(5), l(4)+C(5,4)) = 16;

l(2) = min(l(6), l(3)+C(6,3)) = 11.

9)min(11,16) = 11; min = l(2) =11;

p = 2.

10) Г(2) = {4,6,7};

l(6) = min(l(6), l(2)+C(2,6)) = 14.

11)min = l(6) =14; p = 6.

12)l(5) = min(l(5), l(6)+C(5,6)) = 16; p=5.

Таким образом, найдены следующие кратчайшие маршруты от вершины 1:

(1-2): (1,7,2)=11; (1-3): (1,3)=4;

(1-4): (1,3,4)=(1,7,3,4)=(1,7,2,4)=13; (1-5): (1,5)=16; (1-6): (1,6)=14; (1-7): (1,7)=2.

2.5.2 АЛГОРИТМ ФОРДА

Алгоритм Форда – обобщение алгоритма Дейкстры для случая, когда некоторые ребра имеют отрицательные веса.

На шаге 2 алгоритма пересчет l(x) с помощью соотношения (1) производится для любых вершин, а не только для непомеченных. Значения l(x) могут уменьшаться как для помеченных, так и для непомеченных вершин, т.к. существуют ребра с отрицательным весом.

Если для некоторой помеченной вершины х происходит уменьшение величины l(x), то с этой вершины пометка снимается.

Процедура заканчивается, когда все вершины помечены, и после выполнения шага 2 ни одна из величин l(x) не изменяется.

Алгоритм.

Пусть lk(xi) – пометка вершины хi в конце (k+1)-й итерации, Г(s) – множество вершин, смежных с вершиной s.

Шаг 1. Присвоение начальных значений.

Положить S= Г(s), k=1, l1(s)=0, l1(xi)=c(s, xi) для всех xi Г(s). Положить l1(xi)= для всех остальных xi.

Шаг 2. Обновление пометок.

Для каждой вершины xi Г(s) (xis) изменить ее пометку следующим образом:

lk+1(xi)=min[lk(xi),min{ lk(xi)+c(xj, xi)}] для xj Ti, где Ti=Г(xi)S.

Шаг 3. Проверка на окончание.

Если k n-1 и lk+1(xi)= lk(xi) для всех xi, то пометки равны длинам кратчайших путей. Останов.

Если k<n-1 и lk+1(xi) lk(xi) для некоторой вершины xi, то перейти к шагу 4.

Если k=n-1 и lk+1(xi) lk(xi) для некоторой вершины xi, то в графе существует цикл отрицательного веса и задача не имеет решения. Останов.

Шаг 4. Подготовка к следующей итерации.

Обновить множество следующим образом:

S={xi | lk+1(xi) lk(xi)}.

Шаг 5. Положить k=k+1 и перейти к шагу 2.

Замечание. Алгоритм Форда не решает задачу при наличии цикла отрицательной длины. Для его обнаружения в процессе работы алгоритма просчитывается, сколько раз помечается каждая вершина: если вершина помечается ровно n раз, где n – число вершин графа, - процедура заканчивает работу: существует цикл отрицательной длины.

Пример:

2

7 12

6

Матрица весов для графа G:

1) s=1; вершины, смежные вершине 1: S= Г(s)={3,5,6,7}, k=1; l1(1)=0,

l1(3)=4, l1(5)=16, l1(6)=14, l1(7)=2, l1(2)= l1(4)= ;

2) Г(s)={2,3,4,5,6,7} - вершины, смежные вершинам 3,5,6,7;

для 2: Т2={7,6,4} {3,5,6,7}={7,6}, где {7,6,4} - вершины, смежные вершине 2; l2(2)=min( , min(2+9,14+3))=11;

для 3: Т3={1,4,5,6,7} {3,5,6,7}={5,6,7}, где {1,4,5,6,7} - вершины, смежные вершине 3;

l2(3)=min(4, min(16+12,14+10,2+2))=4;

для 4: Т4={2,3,5} {3,5,6,7}={3,5}, где {2,3,5} - вершины, смежные вершине 4; l2(4)=13;

для 5: Т5={1,3,4,6,7} {3,5,6,7}={3,6,7}, где {1,3,4,6,7} - вершины, смежные вершине 5;

l2(5)= 16;

для 6: Т2={1,2,3,5,7} {3,5,6,7}={3,5,7}, где {1,2,3,5,7} - вершины, смежные вершине 6;

l2(6)= 14;

для 7: Т2={1,2,3,5,6} {3,5,6,7}={3,5,6}, где {1,2,3,5,6} - вершины, смежные вершине 7;

l2(7)=2;

3)переходим к шагу 4, обновляем множество S;

4)S={2,4};

5)k=2; переходим к шагу 2;

6)Г(S)={2,3,4,5,6,7} - вершины, смежные вершинам 2,4;

для 2: Т2={7,6,4} {2,4}={4}; l3(2)=min(11, 13+2))=11;

для 3: Т3={1,4,5,6,7} {2,4}={4}; l3(3)=min(4, 13+9)=4;

для 4: Т4={2,3,5} {2,4}={2}; l3(4)= min(13, 11+2)=13;

для 5: Т5={1,3,4,6,7} {2,4}={4}; l3(5)= 16;

для 6: Т2={1,2,3,5,7} {2,4}={2}; l3(6)= 14;

для 7: Т2={1,2,3,5,6} {2,4}={2} l3(7)=2.

7) k n-1 и lk+1(xi)= lk(xi) для всех xi, следовательно, пометки равны длинам кратчайших путей.

Кратчайшие маршруты от вершины 1:

(1-2):(1,7,2)=11; (1-3): (1,3)=4;

(1-4): (1,3,4)=(1,7,3,4)=(1,7,2,4)=13; (1-5): (1,5)=16; (1-6): (1,6)=14; (1-7): (1,7)=2.