Линейная алгебра и аналитическая геометрия

p : ax + by = 1.

Наша задача – найти значения параметров a и b. Т.к. M 0 Î p, то a8 + b6 = 1

и после упрощения получаем 8b+6a=ab. Это одно из уравнений, связывающее неизвестные параметры. Из самого смысла параметров а и b уравнения “в отрезках” получим: площадь треугольника, образованного прямой p и осями координат, выражается формулой

S = a2×b или ab = ±2S .

Согласно условию нашей задачи имеем

ab = ±24.

Это второе уравнение. Итак, требуется решить систему уравнений

ì8b + 6a = ab,

íîab = ±24.

Эта система равносильна следующей

ìa = ± 24b,

íîb2 m 3b ±18 = 0,

которая имеет два решения a1= –8, b1=3 и a2=4, b2= –6. Подставляя эти значения в уравнение прямой “в отрезках” и упрощая, получим искомые уравнения прямых:

3x–8y+24=0 и 3x–2y–12=0.

III Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая проходит через точку M0(x0;y0) и имеет направляющий

Это и есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(x0;y0) в направлении вектора a = {l,m}.

Замечание 2. Если на параметр t смотреть как на время, то уравнения

(4) определяют прямолинейное и равномерное движение точки M(x;y) со

скоростью v = l 2 + m2 в направлении вектора a = {l,m}; точка M0(x0;y0)

– начальная (t=0) точка движения.

Пример. Составить уравнения движения точки M0(1;1), движущейся прямолинейно и равномерно в направлении вектора s = {3,4} со скоростью

v = 15. Установить, в какой момент времени она пересечет прямую

x–y+9=0.

Решение. Сравнивая модуль вектора s, равный s = 32 + 42 = 5, с

заданной скоростью v=15, мы видим, что в качестве вектора a надо взять 3× s , т.е. a = {9,12}. Тогда искомые уравнения имеют вид:

В любой момент времени t координаты движущейся точки вычисляются по формулам (5), в частности, и в момент пересечения с прямой x–y+9=0. Но в этот момент они должны удовлетворять и уравнению этой прямой, т.е. момент пересечения есть решение уравнения (1+9t)–(1+12t)+9=0 или – 3t+9=0. Отсюда t=3.

éj = j0 ,

совокупностью уравнений ê

ëj = j0 + p.

Рассмотрим теперь случай, когда прямая p не проходит через полюс. Пусть M0(ρ0;φ0) – основание перпендикуляра, опущенного из полюса на эту прямую. Возьмем текущую точку M(ρ;φ). В прямоугольном треугольнике

ìx + y - z = 0,

Например, уравнения í

î2x - 4y + z = 0

двух плоскостей определяют прямую, проходящую через начало координат и точку P(1;1;2) (координаты точек О и Р удовлетворяют обоим уравнениям).

Однако, задание линии уравнениями (1) не всегда удобно. Возможен, и очень естественен с кинематической точки зрения, другой подход к понятию линии: линия – это траектория движения материальной точки. Этот подход приводит к параметрическим уравнениям линии, когда абсцисса, ордината и аппликата текущей точки линии выражаются функциями вспомогательной переменной – параметра t:

ìx = x(t),

ïíy = y(t), ïîz = z(t).

Например, параметрические уравнения

ìx = R cost,

ïíy = R sin t,

ïîz = Vt

задают так называемую винтовую линию. Ее можно понимать как траекторию точки, движущейся равномерно по образующей кругового цилиндра, если сама образующая равномерно вращается вокруг оси цилиндра.

§2. Общее уравнение плоскости

Будем считать, что в пространстве задана некоторая ДПСК. Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной

плоскости, называется ее нормальным вектором. Обозначение: n = {A; B;C}.

Теорема. В декартовых координатах всякая плоскость определяется уравнением первой степени, т.е. уравнением вида

Ax+By+Cz+D=0. (1)

И обратно: всякое уравнение вида (1) определяет в пространстве некоторую плоскость.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы об общем уравнении прямой на плоскости.

Уравнение (1) называют общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C – это проекции нормального вектора плоскости.

Уравнение вида

A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)=0

является уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) и имеющей нормальный вектор n = {A; B;C}.

Пример. Составить уравнение плоскости α, проходящей через данную точку M0(1;2;3) и перпендикулярной плоскостям β:x+2y–z=0 и

γ:2x–y+3z+1=0.

Решение. Нормальные векторы n1 = {1;2;-1} и n2 = {2;-1;3} плоскостей β и γ перпендикулярны своим плоскостям, а значит параллельны плоскости α, т.к. a ^ b и a ^ g . Но тогда векторное произведение n1 ´ n2 ,

будучи перпендикулярным своим сомножителям, будет также перпендикулярным к плоскости a , т.е. оно является нормальным вектором этой плоскости. Найдем его:

вектором искомой плоскости α. Теперь можем составить ее уравнение:

1(x–1)+(–1)(y–2)+(–1)(x–3)=0 или

x–y–z+4=0.

§3. Неполные уравнения плоскости

Рассмотрим сейчас некоторые частные случаи общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0, именно случаи, когда какие-либо из

коэффициентов A,B,C,D обращаются в ноль.

1)D=0; плоскость Ax+By+Cz=0 проходит через начало координат.

2)A=0; плоскость By+Cz+D=0 параллельна оси Ox (поскольку ее

нормальный вектор n = {0; B;C} перпендикулярен оси Ox).

3) B=0; плоскость Ax+Cz+D=0 параллельна оси Oy (ибо этой оси перпендикулярен ее нормальный вектор n = {A;0;C}).

4) С=0; плоскость Ax+By+D=0 параллельна оси Oz (по причине аналогичной в пунктах 2) и 3)).

5) A=0, B=0; плоскость Cz+D=0 параллельна координатной плоскости Oxy (в силу 2) и 3) она параллельна осям Ox и Oy).

§4. Взаимное расположение двух плоскостей

Рассмотрим две плоскости

α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, α2: A2x+B2y+C2z+D2=0.

Как и в случае прямых на плоскости, взаимное расположение плоскостей полностью определяется их нормальными векторами n1 = {A1; B1;C1} и

n2 = {A2 ; B2 ;C2 }.

Условие параллельности плоскостей:

a1 || a2 Û n1 || n2 , что означает

A1 = B1 = C1 .

A2 B2 C2

Условие перпендикулярности плоскостей:

a1 ^ a2 Û n1 ^ n2 Û n1 × n2 = 0, что означает

A1 × A2 + B1 × B2 + C1 ×C2 = 0.

Угол (острый) φ между плоскостями:

§5. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны точка M*(x*;y*;z*) и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0. Формула для расстояния d(M*,α) от точки M* до плоскости α выводится аналогично формуле для расстояния от точки до прямой на плоскости. Если M0 некоторая точка плоскости α, то

nПрименяя формулу, выражающую проекцию одного вектора на другой через их скалярное произведение, и

Это и есть формула для вычисления расстояния от точки M*(x*;y*;z*) до

плоскости α:Ax+By+Cz+D=0.

Пример. Составить уравнение плоскостей, параллельных данной плоскости α: 2x–2y–z–3=0 и отстоящих от нее на расстояние d=5.

Решение. Найдем какое-нибудь решение уравнения 2x–2y–z–3=0. Пусть, например x=0, y=0, тогда z= –3, значит точка M0(0;0;–3)Îα. По условию искомые плоскости параллельны данной. Значит, их уравнения отличаются от уравнения данной плоскости α лишь свободным членом:

β:2x–2y–z+D=0.

Запишем расстояние от точки M0 до плоскости β и приравняем его 5:

2 × 0 - 2 × 0 - (-3) + D = 5, 22 + (-2)2 + (-1)2

или D + 3 = 15, D + 3 = ±15.

Отсюда имеем D1=–18, D2=12. Искомые плоскости имеют уравнения:

b1 :2x–2y–z–18=0 и b2 :2x–2y–z+12=0.

ЛЕКЦИЯ 8

§6. Другие виды уравнения плоскости

I Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Выведем уравнение плоскости, которая проходит через три различные

точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Так как указанные точки не лежат на одной прямой, векторы

M1M 2 = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1} и M1M 3 = {x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1}

неколлинеарны, а потому произвольная точка M(x,y,z) лежит в одной

компланарность равносильна равенству нулю смешанного произведения векторов. Записав смешанное произведение через проекции векторов, получим:

Это и есть уравнение плоскости проходящей через данные три точки.

II Уравнение плоскости “в отрезках”

Рассмотрим плоскость, которая пересекает все координатные оси и не проходит через начало координат. Введем обозначения для точек пересечения с осями: M1(a;0;0), M2(0;b;0) и M3(0;0;c). Составим уравнение плоскости, используя формулу (1):

Вычислив определитель, получим:

(x–a)bc+yac+zab=0.

Разделим обе части уравнения на abc:

x -a a + by + cz = 0.

И окончательно

Это и есть уравнение плоскости “в отрезках”.

§7. Прямая в пространстве

I Общие уравнения прямой

Как уже говорилось ранее, в аналитической геометрии линию в пространстве понимают как пересечение двух поверхностей. В частности, прямую линию мы будем рассматривать как пересечение двух плоскостей. Поэтому, если в пространстве задана некоторая ДПСК, то уравнениями

Будем называть эти уравнения общими уравнениями прямой (конечно, предполагается, что прямые пересекаются).

Очевидно, существует бесчисленное множество пар плоскостей, пересекающихся по данной прямой, и соответственно этому существует бесчисленное множество общих уравнений (1) для данной прямой.

Общие уравнения удобны при решении задачи о пересечении прямой и плоскости или двух прямых, задачи о проектировании прямой на плоскость. В других задачах более удобными оказываются иные формы уравнений прямой.

II Канонические уравнения прямой

Определение. Всякий ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется ее направляющим вектором. Обозначение:

a = {l,m,n}.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) в направлении вектора a = {l,m,n}. Возьмем текущую точку прямой M(x,y,z)

и рассмотрим вектор M 0 M = {x - x0 , y - y0 , z - z0 }. Он лежит на данной

прямой и поэтому коллинеарен ее направляющему вектору a = {l,m,n}.

Осталось написать условие коллинеарности, т.е. пропорциональность проекций:

Решение. Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно:

1)найти какую-либо точку прямой; 2) найти направляющий вектор прямой.

1)Найти какую-нибудь точку прямой (3) – это означает найти какоенибудь решение этой системы двух уравнений с тремя неизвестными.

Положим, например, x=0. Система (3) превратится в

ìy + z = -4,

íî- y + z = 8.

Отсюда нетрудно найти: z=2, y= –6. Итак, точка M0(0;–6; 2) принадлежит прямой (3).

2) Прямая определена как пересечения двух плоскостей, значит она лежит в каждой из них и поэтому перпендикулярна их нормальным векторам

n1 = {3,1,1} и n2 = {1,-1,1}. В качестве направляющего вектора можно

взять любой вектор перпендикулярный к векторам n1 и n2 , например, их векторное произведение

i j k

n1 ´ n2 = 3 1 1 = 2i - 2 j - 4k , 1 -1 1

или вектор, коллинеарный ему a = {1,-1,-2}. Итак, искомые канонические

уравнения имеют вид

x -1 0 = y-+16 = z--22.

Пример. Составить уравнения прямой, проходящей через точки

M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2).

Решение. Для того, чтобы использовать канонические уравнения (2), положим M0=M1, a = M1M 2 = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}. Получим: