Том-2_РУ

Колебания

6.Фаза колебаний (φ) – величина, определяющая мгновенное состояние колебательной системы

, (1.4)0

где φ0 – начальная фаза (значение фазы при t=0). [φ]=рад.

§ 2 Гармонические колебания

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся ве-

Оба представления равноправны. В дальнейшем мы будем считать, что колеблющаяся величина изменяется по закону косинуса.

Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: Во-первых, большинство колебаний в природе и технике имеют характер,

близкий к гармоническим.

Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени t) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания скалярной величины определяются в целом тремя независимыми постоянными параметрами: частотой, амплитудой и начальной фазой. Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями, а частота и период – свойствами колебательной системы. Если хотя бы один из этих параметров изменяется во времени, то колебания не будут гармоническими.

2.1 Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Из курса механики известно, что скорость изменения величины определяется как первая производная этой величины по времени:

где vmax =Aω0 – максимальное (амплитудное) значение скорости.

Ускорение определяется как вторая производная колеблющейся величины по времени:

где amax A 02 – максимальное (амплитудное) значение ускорения.

11

Колебания

Гармонические колебания можно представить графически. Для случая φ0=0 они имеют вид, показанный на рис. 2.1. Из формул (2.2) и (2.3) и сравнения графиков можно сделать следующие выводы:

t и а(t) колеблются в противофазе, то есть а(t) опережает t по фазе на π;

v(t) опережает t по фазе на π/2.

Сравнив данное выражение с формулой (2.1), можно сделать вывод, что

Уравнение (2.4) называется дифференциальным уравнением гармониче-

ских колебаний. Оно представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Дифференцирование ведется по времени t.

Согласно обозначениям, принятым Ньютоном, производные по времени обозначаются следующим образом:

Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний можно записать в виде:

Если при анализе физических процессов той или иной природы, сделанных на основе законов и приближений, возникает уравнение подобного вида, то это означает, что рассмотренная система может совершать гармонические колебания. Частота колебаний будет определяться свойствами самой системы.

12

Колебания

§3 Примеры систем, совершающих гармонические колебания

3.1 Пружинный маятник

Рассмотрим шарик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k (рис. 3.1). Сместим шарик от положения равновесия на расстояние, равное х, после чего предоставим систему самой себе. Возникшая сила упругости стремится вернуть шарик в положение равновесия. По закону Гука

Уравнение (3.3) приведем к каноническому виду. Для этого разделим обе части уравнения на массу m. Получим:

где ω0 – это физический параметр, характеризующий колебательные свойства системы и называемый собственной частотой колебаний.

Таким образом, движение шарика под действием упругой силы F kx описывается дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид:

Период колебаний пружинного маятника:

13

Колебания

В рассмотренном примере сила по своей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает ту же закономерность, то есть оказывается равной kx, где k – постоянная положительная величина. Силы такого вида, независимо от их природы, называются квази-

упругими.

3.2 Физический маятник

Физический маятник – это твердое тело, способное совершать колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

где d 2 2 угловое ускорение маятника, dt

J момент инерции маятника относительно оси колебаний. На основании (3.9) и (3.10) можно записать

Уравнение (3.11) является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка. Колебания, описываемые этим уравнением, не будут гармоническими.

Если угол отклонения мал (до 3 5 ), то sin ( должен быть выражен в радианах). Уравнение (3.11) в этом случае можно привести к виду:

Введем обозначение:

14

Решение уравнений (3.12) и (3.14) имеет вид:

(3.15)

где A max – амплитуда колебаний, то есть наибольший угол, на который

отклоняется маятник.

Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими.

Период гармонических колебаний физического маятника

3.3 Математический маятник

Если нить длинная, то шарик можно считать материальной точкой. Момент инерции J шарика относительно оси колебаний в этом случае равен:

J ml2 .

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул (3.16) и (3.17) получается, что математический маятник с длиной

15

Колебания

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (3.18) называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

3.4 Колебательный контур

Колебательный контур – цепь, содержащая катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С (рис. 3.4).

Колебания в контуре можно вызвать, сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд. Замкнем ключ К в положение 1 (рис. 3.5). На об-

которая возрастает. Активное сопротивление R=0, поэтому полная энергия не расходуется на нагревание проводов и остается величиной постоянной

Wэл Wм const

16

Колебания

и приведем уравнение (3.24) к виду:

где qmax максимальное (амплитудное) значение заряда.

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гар-

моническому закону. Для периода колебаний колебательного контура получается формула, которая называется формулой Томсона*:

где Umax=qmax/C – амплитудное значение напряжения.

Продифференцировав функцию (3.27) по времени, получим выражение для силы тока:

где Imax=ω0qmax – амплитудное значение силы тока.

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.

________________________________________________________________________________________________________________________

*Томсон Уильям (лорд Кельвин) (1824–1907), английский физик.

17

Колебания

§4 Энергия колебаний

Установим характер изменения энергии на примере колебаний пружинного маятника. Они совершаются под действием упругой силы. Потенциальная энергия гармонического колебания

Это означает, что полная энергия гармонического колебания оста-

ется величиной постоянной. Отметим, что полная энергия пропорцио-

энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Наибольшие значения кинетической и потенциальной энергии равны между собой.

18

Колебания

§5 Сложение гармонических колебаний

Любая колебательная система в общем случае может совершать одновременно несколько колебаний, которые отличаются друг от друга частотой, фазой, направлением. Сложение нескольких колебаний значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.

5.1 Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма

Возьмем ось, которую обозначим буквой х. Из точки 0, взятой на оси, отложим вектор длиной А, образующий с осью 0x угол φ0, равный начальной фазе

(рис. 5.1).

Если привести этот вектор во вращение с постоянной угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от А до +А. С течением времени угол будет изменяться по закону

0t 0 ,

Соответственно, проекция вектора A на ось х изменяется по закону

5.2 Сложение одинаково направленных гармонических колебаний

Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний мож-

19

Колебания

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов позволяет свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов.

б). Рассмотрим сложение колебаний одного направления с различными, но близкими частотами. В результате получаются негармонические колебания называемые биениями.

Обозначим частоту одного колебания ω, а частоту второго – (ω+Δω). По условию Δω<<ω. Будем считать, что амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны А. За начало отсчета времени примем момент, когда начальные фазы равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь вид:

20