Том-2_РУ

Колебания

Результирующее колебание опишется уравнением

x x1 x2 A cos t cos t 2Acos 2 t cos t

(во втором сомножителе пренебрегаем слагаемым Δω/2 по сравнению с ω). Таким образом, уравнение, описывающее биения, имеет вид:

Изменение х будет определяться частотой ω, а выражение под знаком модуля меняется медленно и определяет амплитуду биений. Знак модуля поставили потому, что амплитуда по определению величина положительная.

Таким образом, биения можно рассматривать как почти гармоническое колебание с медленно меняющейся амплитудой. График функции (5.8) дан на

рис. 5.4. Амплитуда A(t) 2Acos 2 t характеризует размах колебаний при би-

ениях. Циклическая частота Δω называется циклической частотой биений. Период биений

21

Колебания

где 02 01 – разность фаз складываемых колебаний. Эти два уравнения

составляют систему, которая задает траекторию движения в параметрической форме. Чтобы получить уравнение траектории в обычной форме, исключим из (5.10) параметр t. Из первого уравнения

Из второго уравнения системы (5.10) по формуле косинуса суммы имеем:

После математических преобразований это уравнение можно привести к виду (попробуйте выполнить это самостоятельно):

22

2. Разность фаз складываемых колебаний . Уравнение (5.15) примет вид:

Из него получается уравнение прямой, проходящей начало координат и лежащей в II и IV четвертях (рис. 5.7):

3. Разность фаз складываемых колебаний 2 . Уравнение (5.15) переходит в следующее:

то есть в каноническое уравнение эллипса. Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам. Если A1 A2 R , то эллипс вырождается в окружность

Такие замкнутые траектории точки, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу*. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат 0x и 0y и равны соответственно

2А1 и 2А2.

________________________________________________________________________________________________________________________

*Лиссажу Жан Энтуан (1822–1880), французский физик.

23

Колебания

Отношение частот y x равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с

горизонтальными и вертикальными сторонами прямоугольника, в который она вписана.

С помощью фигур Лиссажу можно найти неизвестную частоту по известной.

§6 Затухающие колебания

Вреальных физических системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы сопротивления (внутреннее трение, сопротивление среды, потери энергии за счет нагревания проводников и т. д.), действие которых уменьшает энергию системы. Уменьшение энергии приводит к затуханию колебаний.

6.1Затухающие колебания пружинного маятника

Вреальных условиях на шарик массы m, совершающий колебания вдоль оси 0x под действием силы упругости, действует также сила сопротивления. Предположим, что это сила вязкого трения. При малых скоростях она пропорциональна скорости

где r – коэффициент сопротивления. Знак « » обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. В этом случае второй закон Ньютона запишется в виде

Разделив обе части полученного уравнения на m, перепишем его следующим образом:

24

Величину β называют коэффициентом затухания. Напомним, что ω0 – собственная частота колебаний, то есть частота, с которой совершались бы свободные колебания при отсутствии трения.

Уравнение (6.3) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Решение уравнения (6.3) зависит от соотношения между коэффициентом затухания β и собственной частотой ω0. Если затухание невелико (β<ω0), то его решение имеет вид:

– частота затухающих колебаний. Согласно (6.4) движение маятника мож-

но рассматривать как колебание с частотой ω и амплитудой А, изменяющейся по закону

По закону Джоуля Ленца

25

Колебания

Разделив (6.9) на произведение Ldt и учтя, что

Уравнение (6.11) по своему виду совпадает с дифференциальным уравнением (6.3) для затухающих механических колебаний. Если затухание невелико ( 0 ), то его решение имеет вид:

График функции q(t) имеет тот же вид, что и x(t) (см. рис. 6.1).

6.3 Основные характеристики затухающих колебаний

Величинами, характеризующими затухающие колебания, являются:

1. Коэффициент затухания (β) – скалярная физическая величина, характеризующая скорость затухания.

[β]=1/с

Чем больше коэффициент затухания, тем быстрее уменьшается амплитуда (рис. 6.3).

26

Колебания

2. Время релаксации (τ) – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е =2,71… раз (е – основание натуральных логарифмов).

Найдем связь между β и τ. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается согласно (6.6) по закону

A(t) A0e t

Если t , то A( ) Ae0 . Сделаем подстановку:

Ae0 A0e .

Отсюда 1.

3. Логарифмический декремент затухания (λ) – безразмерная величина,

количественная характеристика быстроты затухания колебаний, численно равная натуральному логарифму отношения двух следующих друг за другом амплитуд A(t) и A(t T ) в одну и ту же сторону (см. рис. 6.1)

Установим связь между логарифмическим декрементом затухания и коэффициентом затухания.

Ae t

ln A0e0 (t T ) ln e T T .

Средние значения логарифмических декрементов некоторых систем приведены в таблице 6.1.

4. Число колебаний за время релаксации – Ne.

5. Добротность колебательной системы (Q) – безразмерная физическая величина, характеризующая убыль энергии за период и равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за один период Т.

где WT W (t) W (t T ) .

27

Колебания

Если затухание невелико, то добротность определяется по соотношению:

Большим значениям Q соответствует слабое затухание.

Типичные значения добротности некоторых систем приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1. Средние значения логарифмических декрементов затухания и типичные значения добротности Q некоторых систем

6. Энергия колебаний. Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды (см. формулу (4.4)), то закон изменения энергии при затухающих колебаниях примет вид:

6.4 Апериодический процесс

Рассмотрим, каким будет характер движения при больших коэффициентах затухания. Согласно (6.5) частота затухающих колебаний

Если 0 , то частота затухающих колебаний обращается в нуль, а пе-

риод – в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим. Если 0 , то движение носит апериодический (непериодический) ха-

рактер. Это означает, что выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

На рис. 6.4 показаны графики изменения координаты при апериодическом процессе в зависимости от начальных условий.

1 – направление отклонения и направление начальной скорости совпадают;

28

Колебания

2 – направление отклонения и направление начальной скорости противоположны, но скорость маленькая; 3 – направление отклонения и направление начальной скорости противоположны.

§7 Вынужденные колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие.

7.1Вынужденные механические колебания

Вкачестве колебательной системы рассмотрим пружинный маятник, совершающий колебания вдоль оси 0x (см. п. 3.1). Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее механические колебания, называется вынуждающей силой. Пусть вынуждающая сила изменяется по закону

где Ω – частота вынуждающей силы, а F0 – ее амплитудное значение. Кроме вынуждающей силы на маятник действуют также те силы, что и при свободных колебаниях, то есть квазиупругая сила и сила сопротивления (см. п. 6.1). Запишем второй закон Ньютона:

29

30