Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

КДМ, ч2(5-7)

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
4.7 Mб
Скачать

21

Следствиетеоремы

 

 

Любыедверш,приноднойыграни

 

 

 

, могутбыть

 

 

 

соед цепьюпроизвольной

 

образом

,чт о

 

 

 

 

разбивь

етсяни

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например

 

 

 

 

 

 

 

 

Грани Γ1, Γ3, Γ4

,грань

Γ2

.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

9

Г3

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г4

 

Г1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

6

Г2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

4

 

 

 

 

Границыграней:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ1 = {2,3,4} или

34};

2 =

3, 4, 5}

 

23, 34, 45,15} ;

 

 

Γ3 = 1){1, 2, 4

{

15, 24,

};

.

 

 

 

 

2){5, 6,

9}

7, 67,

79, 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ4 = {6,7,8,9

{67

,79,89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эй ераграфа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длялюбогосвязногографа

 

 

,

,

,

 

 

 

 

являющегосяплоским,

 

справедливосоотношение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

где

количествовершин,

 

количребер, ство

 

 

 

 

 

 

 

количествогранейплоск го

графа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графы K 5 и

3,3 – непланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

графов

 

 

подреберазбиения

 

 

 

Впроизвольномграфе

G

 

e = {u,v}

два

 

: e

e

{a,

где

новаявершина,

не

 

.

Таким,р

 

{u,v} графа

G подразбивается

 

a

ребра

 

 

: G

- {u,v}

a}

v}.

 

G

5

Операциястягиванияребер

Операциястягиванияребер

смежныхве шин

(опе ац воположнаяр).

 

2

2

1

 

 

1

3

4

3=4

Дваграфаназываются гомеоморфными, если

иегоре. б

23

-

итолькотогдане

гомеоморфных

Критерий

итолькотогдане

стяг

K 5

 

Граф

от

K3,3 ,

 

 

непланарен.

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

b2

 

b1

 

 

b3

 

 

 

a2

a3

 

 

 

 

24

 

Алгоритмплоскойукладкиграфа

Дляплоскойукладкиграфапроверки

является лионпланарным,

испоалгориьзуетмся

γ.

 

Дляправиработыльнгоритмабезограничения(й области

применения)о

пределим

свойствагр,котфовп рыеднвходаются

алгоритма:

 

 

-графдолженбытьсвязным;

-графдолженимехобыодтьцяи; нкл

-графнедолжсоденржать мостов,.е.реберпослеудалениякоторых граспфннесколькоадаетсякомпонентсвязности.

 

Алгоритм γ плоскойукладки

графа G представляетсобойпроцесс

 

последовательприсоединениякнекоторомуужеуложенномуого

 

 

 

на

 

 

!

 

G )некоторойновойцепитакже

 

 

плоскости графу G (подграфграфа

 

 

 

принадлежащей G , обаконцакоторойпринадлежат

!

 

 

G.Этацепьразбивает

однуизгранейграфа

!

 

 

 

 

G надве.

 

 

 

 

 

При этомвкачественачальногоплоскогографа

 

!

выбираетсялюбой

 

 

G

простойциклсходнграфа.Прпрогоцессдотехпорлжается,покане

 

 

 

 

будетполученаплоскукладкаграфя

 

G илиприсоединениенекоторой

 

цепиоказываетс

яневозможным,томслучаеграфявляетсяпланарным.

 

 

 

 

Пуестьграф

G ипострнекоторплоскенауклаядкая

 

!

 

 

G

подграфа

G .

 

 

 

 

Сегментом S относительно

текущейплоскойукладки

!

илипросто

G

 

 

сегментом будемназыватьподграфисходногографа

 

G

 

 

одногоизсле вующихухидов:

 

 

 

 

1)

ребро

e = {u,v} исходногографа

G такое,что

непринадлежит

текущейплоскойукладкеграфа,

~

e G , но концевые вершины этого ребра

u, v принадлежат этой плоскойукладке

;

25

2)

связнаякомпонентаграфа

~

G G ,дополненная всемиребграфами

G ,инцидентнывершинавзятойкомпконцевршинамими нты этихребер.

 

~

 

 

!

 

G .

 

 

Граф G G получается вычитанием графа G изисходногографа

 

 

Контактнаявершина

этовершина

v сегмента

S

относительно

!

,

G

 

которая

принадлежмножествуверши

 

 

текущей плоской

 

укладки.

 

 

 

 

 

 

 

Допустимойгранью

длясегмента

S назывтакг ается

 

рань Γ графа

!

,

 

G

 

котсодержитвсераяконтактныевершинысегмента

 

 

S .

 

 

Обозначим Γ(Si ) множествовсехдопустимыхгранейдлясегмента

 

 

Si .

 

 

Простаяцепь

α сегмента S ,содержащаяразличные2 контактные

 

 

 

 

 

вершинынесоде контактныхугихжащаявершин,

 

 

 

 

 

 

называется α -цепью.

 

 

 

 

 

Простая α-цепь проходитизконтактной

 

вершины черезнеконтактныеи

 

 

 

возвконтращвершинусяатную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм γ.

 

 

 

 

0.

Выберемнекоторыйпростоцикл

 

C графа G иуложимегона

 

 

плоскостилучше(выбирать

простойцикл

графа

G ,доставляющий

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

окружение графа): G := C.

 

 

 

 

 

 

1.

Найдемграниграфа

 

!

 

 

S относительно

 

G имножествосегментов

 

текущейукладки

!

 

 

 

 

 

 

 

G .Еслимножествосегментовпустперейтик. 7.

 

 

 

 

 

2.

Длякаждогосегмента

S найдеммножестводопустимыхграней

 

 

 

 

Γ(S) .

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Есущлисегментствует

S , длякоторого

Γ(S) = (множество

 

гранейпусто),граф

 

G неплан.Выходизаренлгоритма,иначепереходк

 

 

 

 

п. 4.

4.Еслисегмент

допустимаягрань( Γ(S

5.Для

допустимуюгрань Γ .

6.Поместимпроизвольную

заменим ! на !

G G L

текущаяплоскукладкаграфя

7.Построена

Пример.

Определипланарностьпосплоскуюроить

1

6

Инициализация :

– выберемвграфепростойцикл

плоскости ! ;

G := C

– опреддлянмножестволимгограней.

 

 

 

26

S

однавно

 

 

то кп. иначе6,п.

 

 

 

S

произвольную

 

α -цепь L,принадлежащую S ,вгрань

Γ ,

. 1.

!

частичная,

G

G .

 

 

 

уклграф

.

 

 

G .

2

5

егона

Г2

4

Г1

3

27

 

сегментов

 

 

 

плоскойМножествосегмен

в

 

 

 

длясегмента

 

 

 

граней:

Γ

 

Γ

 

1

2

3

1

2

Г

2

4

Г

3

S1

2

5

S3

4

2

1

2

Выбер м

 

α -цепь

уложим

допустимых

1

2

1

2

Г2 5

2

Г3

4

Г1

3

4

Г1

3

28

4) новойтекущейплоскойукладки

гранейисегментов.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Г2

 

 

 

 

 

Г3

 

 

 

 

 

3

 

S1

2

S2

5

S3

6

4

2

3

4

5)каждогосегментадопустимых

граней:

= {Γ1, Γ2, Γ

Γ(S2)

= { Γ3}.

сегмент S

укладываемегоедин

 

грань

Γ2 .Полутекущуючастичнуюаемукладкуграфа

 

.

6)

новойтекущейчастичнойукладки

 

определим

гранейи .

 

 

 

2

Г4

2

Г1 3

29

S1

6

 

 

3

4

Множествагранейдля:

 

 

= { Γ3}.

Выбираем

длянего

 

Γ3.

Получаем

 

 

 

множествогранейисегментов

 

 

 

 

2

S

 

 

 

Г5

 

 

 

 

Г

3

 

3

4

Множествогранейдля

 

 

 

 

Γ5}.

Выбираем

 

и α -цепь

 

 

допустимойграни текущуючастичную.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

4

2

Г

 

2

Г

 

 

 

 

Г6

 

Г5

 

 

 

 

 

 

 

Г5

 

Г1

3

 

Г1

3

30

9)новойтекущейнах

гранейисегм.Длясегментантов

граней

 

 

составляет:

Γ(S3) = {Γ1}.

допустимойграни

Γ1.

 

 

S3

6

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

Г5

4

3

10)Получаемновую .

сегментовпустая,следов, закончилтельно

граф

-

планарныйипострегоуклоенаск. я

 

 

4

2

Г

Г6

Г5

Г7 3

1

 

не

 

Число

графа

это min числопересдвухепричбенийр

 

рафа

Cr(G) ).

Числоравно0,грпланарен

Искаженность минимальноекоторых

приводитк

(

Sk(G)).