КДМ, ч2(5-7)
.pdf21
Следствиетеоремы
|
|
Любыедверш,приноднойыграни |
|
|
|
, могутбыть |
|
|||
|
|
соед цепьюпроизвольной |
|
образом |
,чт о |
|
||||
|
|
|
разбивь |
етсяни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Грани Γ1, Γ3, Γ4 |
,грань |
Γ2 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Г3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Г4 |
|
Г1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
6 |
Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
Границыграней: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Γ1 = {2,3,4} или |
34}; |
2 = |
3, 4, 5} |
|
23, 34, 45,15} ; |
|||
|
|
Γ3 = 1){1, 2, 4 |
→ { |
15, 24, |
}; |
. |
|
|
|
|
2){5, 6, |
9} |
7, 67, |
79, 8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Γ4 = {6,7,8,9 |
{67 |
,79,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эй ераграфа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длялюбогосвязногографа |
|
|
, |
, |
, |
|
|
|
|
|
являющегосяплоским, |
|
справедливосоотношение: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
где |
− количествовершин, |
|
− количребер, ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
− количествогранейплоск го |
графа |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Графы K 5 и |
3,3 – непланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
графов |
|
|
|
подреберазбиения |
|
|
|
|
Впроизвольномграфе |
G |
|
e = {u,v} |
два |
|
|
: e |
e |
{a, |
где |
новаявершина, |
не |
|
. |
Таким,р |
|
{u,v} графа |
G подразбивается |
|
a |
ребра |
|
|
|
: G |
- {u,v} |
a} |
v}. |
|
G
5
Операциястягиванияребер
Операциястягиванияребер |
смежныхве шин |
(опе ац воположнаяр).
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
3
4 |
3=4 |
Дваграфаназываются гомеоморфными, если
иегоре. б
23
-
итолькотогдане
гомеоморфных
Критерий
итолькотогдане
стяг |
K 5 |
– |
|
Граф |
от |
K3,3 , |
|
|
непланарен. |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
b2 |
|
b1 |
|
|
b3 |
|
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|
|
24
|
Алгоритмплоскойукладкиграфа |
|
Дляплоскойукладкиграфапроверки |
является лионпланарным, |
|
испоалгориьзуетмся |
γ. |
|
Дляправиработыльнгоритмабезограничения(й области |
||
применения)о |
пределим |
свойствагр,котфовп рыеднвходаются |
алгоритма: |
|
|
-графдолженбытьсвязным;
-графдолженимехобыодтьцяи; нкл
-графнедолжсоденржать мостов,.е.реберпослеудалениякоторых граспфннесколькоадаетсякомпонентсвязности.
|
Алгоритм γ плоскойукладки |
графа G представляетсобойпроцесс |
|
|||
последовательприсоединениякнекоторомуужеуложенномуого |
|
|
|
на |
||
|
|
! |
|
G )некоторойновойцепитакже |
|
|
плоскости графу G (подграфграфа |
|
|
|
|||
принадлежащей G , обаконцакоторойпринадлежат |
! |
|
|
|||
G.Этацепьразбивает |
||||||
однуизгранейграфа |
! |
|
|
|
|
|
G надве. |
|
|
|
|
||
|
При этомвкачественачальногоплоскогографа |
|
! |
выбираетсялюбой |
||
|
|
G |
||||
простойциклсходнграфа.Прпрогоцессдотехпорлжается,покане |
|
|
|
|
||
будетполученаплоскукладкаграфя |
|
G илиприсоединениенекоторой |
|
|||
цепиоказываетс |
яневозможным,томслучаеграфявляетсяпланарным. |
|
|
|
||
|
Пуестьграф |
G ипострнекоторплоскенауклаядкая |
|
! |
||
|
|
G |
||||
подграфа |
G . |
|
|
|
|
|
Сегментом S относительно |
текущейплоскойукладки |
! |
илипросто |
|||
G |
||||||
|
|
сегментом будемназыватьподграфисходногографа |
|
G |
||
|
|
одногоизсле вующихухидов: |
|
|
|
|
1) |
ребро |
e = {u,v} исходногографа |
G такое,что |
непринадлежит |
текущейплоскойукладкеграфа, |
~ |
e G , но концевые вершины этого ребра |
|
u, v принадлежат этой плоскойукладке |
; |
25
2) |
связнаякомпонентаграфа |
~ |
G − G ,дополненная всемиребграфами |
G ,инцидентнывершинавзятойкомпконцевршинамими нты этихребер.
|
~ |
|
|
! |
|
G . |
|
|
Граф G − G получается вычитанием графа G изисходногографа |
|
|
||||||
Контактнаявершина |
− этовершина |
v сегмента |
S |
относительно |
! |
, |
||
G |
||||||||
|
которая |
принадлежмножествуверши |
|
|
текущей плоской |
|||
|
укладки. |
|
|
|
|
|
|
|
Допустимойгранью |
длясегмента |
S назывтакг ается |
|
рань Γ графа |
! |
, |
||
|
G |
|||||||
|
котсодержитвсераяконтактныевершинысегмента |
|
|
S . |
|
|
||
Обозначим Γ(Si ) − множествовсехдопустимыхгранейдлясегмента |
|
|
Si . |
|
|
|||
Простаяцепь |
α сегмента S ,содержащаяразличные2 контактные |
|
|
|
|
|||
|
вершинынесоде контактныхугихжащаявершин, |
|
|
|
|
|
||
|
называется α -цепью. |
|
|
|
|
|
||
Простая α-цепь проходитизконтактной |
|
вершины черезнеконтактныеи |
|
|
||||
|
возвконтращвершинусяа.ктную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритм γ. |
|
|
|
|
|
0. |
Выберемнекоторыйпростоцикл |
|
C графа G иуложимегона |
|
|
|||
плоскостилучше(выбирать |
простойцикл |
графа |
G ,доставляющий |
|
||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
окружение графа): G := C. |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Найдемграниграфа |
|
! |
|
|
S относительно |
||
|
G имножествосегментов |
|
||||||
текущейукладки |
! |
|
|
|
|
|
|
|
G .Еслимножествосегментовпустперейтик. 7. |
|
|
|
|
|
|||
2. |
Длякаждогосегмента |
S найдеммножестводопустимыхграней |
|
|
|
|
||
Γ(S) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Есущлисегментствует |
S , длякоторого |
Γ(S) = (множество |
|
||||
гранейпусто),граф |
|
G неплан.Выходизаренлгоритма,иначепереходк |
|
|
|
|
п. 4.
4.Еслисегмент
допустимаягрань( Γ(S
5.Для
допустимуюгрань Γ .
6.Поместимпроизвольную
заменим ! на !
G G L
текущаяплоскукладкаграфя
7.Построена
Пример.
Определипланарностьпосплоскуюроить
1
6
Инициализация :
– выберемвграфепростойцикл
плоскости ! ;
G := C
– опреддлянмножестволимгограней.
|
|
|
26 |
S |
однавно |
|
|
то кп. иначе6,п. |
|
|
|
S |
произвольную |
|
|
α -цепь L,принадлежащую S ,вгрань |
Γ , |
||
. 1. |
! |
частичная, |
|
G − |
|||
G . |
|
|
|
уклграф |
. |
|
|
G .
2
5
егона
Г2
4 |
Г1 |
3 |
27
|
сегментов |
|
|
|
плоскойМножествосегмен |
в |
|
|
|
длясегмента |
|
|
|
|
граней: |
Γ |
|
Γ |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
Г
2
4 |
Г |
3 |
S1 |
2 |
5 |
S3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
Выбер м |
|
α -цепь |
уложим |
допустимых
1 |
2 |
1 |
2 |
Г2 5
2
Г3
4 |
Г1 |
3 |
4 |
Г1 |
3 |
28
4) новойтекущейплоскойукладки
гранейисегментов.
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Г2 |
|
|
|
|
|
Г3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
S1 |
2 |
S2 |
5 |
S3 |
6 |
4 |
2 |
3 |
4 |
5)каждогосегментадопустимых
граней: |
= {Γ1, Γ2, Γ |
Γ(S2) |
= { Γ3}. |
сегмент S |
укладываемегоедин |
|
грань |
Γ2 .Полутекущуючастичнуюаемукладкуграфа |
|
. |
|
6) |
новойтекущейчастичнойукладки |
|
определим |
гранейи . |
|
|
|
2
Г4
2
Г1 3
29
S1 |
6 |
|
|
3 |
4 |
Множествагранейдля: |
|
|
= { Γ3}. |
Выбираем |
длянего |
|
Γ3. |
Получаем |
|
|
|
множествогранейисегментов |
|
|
|
|
2 |
S |
|
|
|
Г5 |
|
|
|
|
Г |
3 |
|
3 |
4 |
Множествогранейдля |
|
|
|
|
Γ5}. |
Выбираем |
|
и α -цепь |
|
|
|
допустимойграни текущуючастичную. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
Г |
|
2 |
Г |
|
|
|
|
Г6 |
||
|
Г5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г5 |
|
|
Г1 |
3 |
|
Г1 |
3 |
30
9)новойтекущейнах
гранейисегм.Длясегментантов |
граней |
|
|
|
составляет: |
Γ(S3) = {Γ1}. |
допустимойграни |
Γ1. |
|
|
|
S3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2
Г5
4
3
10)Получаемновую .
сегментовпустая,следов, закончилтельно |
граф |
- |
планарныйипострегоуклоенаск. я |
|
|
4
2
Г
Г6
Г5
Г7 3
1
|
не |
|
Число |
графа |
− это min числопересдвухепричбенийр |
|
рафа |
Cr(G) ). |
Числоравно0,грпланарен
Искаженность − минимальноекоторых
приводитк |
( |
Sk(G)). |