Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

КДМ, ч2(5-7)

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
4.7 Mб
Скачать

 

 

 

 

31

Толщина G

этоминимальноечисегоп анарныхподграфов,

 

 

объединениекоторыхдаетисходныйграф

G (о бозначают

 

t(G)).

 

 

Родграфа

G этоминимальнкоторыечислоручек, не бходимо

 

 

добавитьксфере,чтоможнобыулографжить

G без

 

самопересечений, ребер.

 

Непланарныйг

раф,

укладывающийся

наторебезп ресечений

 

самопересеченийреберназываются

тороидальными,род

 

такогографаравен1.

 

 

Ктороидальнымграфам

 

относят графы K5 , K7 , K 3,3 , K4, 4 .

Примерукладыванияграфа

 

K 3,3 наторе:

 

 

 

Заданиек

лабораторнойработе

 

 

Исходданграфные

G : GV(13, {5, 6}) .

 

 

1.

Определить,яв яется

исходный граф G планарным или

непланарным,используякритерийПонтрягина

-КуратовскогоилиВагнера.

 

Найтиподграф

 

G ,гомеоморфный K 5 или K 3,3

покритериюПонтрягина

-

Куратилипо,стягиваемыйдграфвского

K 5

или к K 3,3 покритерию

 

Вагнера.

 

 

 

 

 

2.

Еслиисходныйграфпланарен,обозначитьего

 

G1.

 

 

 

 

 

 

 

32

3.

Еслиисходныйграфнепланарен

 

, обозначитьего

G2.

 

4.

Еслиисходныйграфбылпланарен

 

,

добавитьминимальное

 

числоребдонепланарности

иобозначитьполученныйнепланарныйграф

 

 

 

G2.

 

 

 

 

 

 

5.

Если исходныйграфбылнепланарен

,

удалитьминимальное

 

числореберобозначитьполучепланграрныйф

 

 

G1.

 

 

6.

Количестводобавляемыхудаляемых( )припреобразованиях

 

 

 

графаребердолжнобытьобосновано.

 

 

 

 

 

7.

Построитьплоскуюукладкуграфа

 

G 1,используяалгоритм

γ .

Продемонстрироватьпошаговоевыполнениеалгоритма

 

 

γ .

 

 

8.

Длянепланарногографа

 

G2 найтирод,толщину,искаженность

 

 

ичислоскрещиваний.

 

 

 

 

 

Контрольныевопросы

1.Какойграфназываетсяплоским,планарным?

2.ЧтотакжокриваярданСформулироватье? теорему

Жорданоиследствиеизнее.

3.Датьопределениеграниграницы.

4.Какиеграниназываютвнутр? е?ннимишними

5.СформулиртеоремуЭйдплераяграфаоскогов. ть

6.Операцазбипод еберстягиванияе.ршин

Гомеоморфныеграфы.

7. СформукритериипланарностиирП нтрягвать на -

КуратовскогоиВагнера.

8.Алгоритмплоскойукладкиграфа.Опрседелениегмента,

контактнойвершины,

α − цепи,

допустимой грани.

9.

Характенепланарныхг ,истикиродафов,толщина,число

 

скрещиванийискаженность.

 

 

33

Лабораторнаяработа№7

Раскраскаграфов

Цельработы: приобретенпрактическихнавыковопределения

хроматичиндслаескогокса

для неорграфов,построении

оптимальной

субоптимальнойправильнойвершиннойребернойраскраскиграфов.

 

 

Теоретическаясправка

 

 

 

 

 

Вершиннаяраскраскаграфов

 

 

 

 

 

простой неориентированныйграф,

 

натурачис. льное

Вершинной

k-раскраской илипросто

k-раскраской

графа G называется

= ( , )

 

 

 

 

 

 

произвольнаяфункция

f, отображающаямножествовершин

 

графа G внекоторое k-элемножествоентное:

:

v

 

{

 

 

, G, … ,

}=A.

 

 

VG

 

 

 

 

 

Есднекоторойлиявершины

 

графа

: f(v)=i, тоговорятчтовершина

v

раскрашенавi

-тыйцвет .

 

 

 

 

Раскраска называется правильной,если

 

f(u) f(v) длюбыхясмежных

вершин u и v графа G (иликонцевыевершинылюбогоребра

 

окрашенывразныецвета).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граф,длякоторогосуществуетправильная

 

 

 

 

 

 

 

 

k-раскраска,назыв ется

k-

раскрашиваемым.

 

 

 

 

 

 

 

 

Хроматическоечислографа

 

G этоминимальноечислокрасок,при

 

которомграфимеетправильнуюраскраску.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Еслихроматическоечислоравно

 

 

k,тографназы

 

вается k-хроматическим

(обозначают χ(G) = k).

 

 

 

 

 

Правильную k-раскраску графа G можнорассмкакзбтриениевать

 

множествавершинграфа

 

 

 

 

 

 

G нанеболеечем

k непустых

множеств,которназываютсяе

цветнымиклассами

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

 

 

 

 

Графысмалымхро числоматическим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Леммао2

-храскрашиваемыхграфах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть – простойнеориентированныйграф

 

:

 

! ! =

 

 

 

) ( ) =

тогдаитолькотогда,когда

 

 

пустойграф,

.

 

 

) ( ) =

тогдаитолько

тогда,когда

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непустдвудграф.ольный

 

.

 

 

 

 

 

 

Еслинепустойграфявляетсядеревом,то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Леммаораскраскециклов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хроматическоечив лоциклаяксодержащего,

 

 

 

p вершин,

 

 

 

 

 

 

 

равно 2, если p четно,и3,если

p нечетно.

 

 

 

 

 

 

 

 

Еслиграф

 

G содержитциклнечедлины, о ой

 

 

 

( ) > .

 

 

 

 

 

 

 

 

Леммаораскраскеполногографа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хроматическоечисло

полного графа

 

равно p.

 

 

 

 

 

 

 

Еслиграф

 

то ( )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G содержитподграф

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

Граф,укоторого

 

χ = 2 , называются бихроматическим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТеоремаКёнига

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непустойграфявляется

бихроматическим тогдаитолькотогда,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коннегдасодержитцикловнечедлины. ой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие1. Людеревобоеихроматично.

Следствие2. Любойдвудольныйграфбихроматичен.

 

 

Оценкихроматического

числаграфа

 

 

 

 

Под нижнимиоценкамихроматическогочисла

 

 

 

понимают

неравенствавида

:

 

,где c некоторвычисляемаянст, апонта

 

 

 

графу G ,апод

верхними

неравенства

вида

 

 

, где c

 

 

оценками

 

 

иметотжесмысл.т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

Перваянижняя

 

оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дляпроизвольногографа

 

= ( , ), | | = , | | =

 

 

 

 

 

 

справедливонеравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) ≥ !

 

 

 

 

 

 

 

Хроматическоеплотностьграфа

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

вторая нижняяоценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дляпроизвольногографа

 

 

G справедливонеравенство

 

 

 

 

 

 

( ) ≥ ( ), где ( ) − плотностьграфаиликликовчислое

 

 

 

 

 

 

 

Теографбезематреугольниковх

 

 

 

 

 

 

 

Дляпроизвольного

 

 

( ) = и ( )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сущепростойвязныйтвуетграф

 

 

 

 

 

 

 

такой,что

справедливо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хроматическоечислонезавграфалимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

третья нижняяоценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дляпроизвольногографа

 

G справедливонеравенство

 

:

 

 

 

 

 

( ) ≥ ( ), где ( ) − числонезависимости

графа

 

 

 

 

 

 

Вероценкихроматическогониечисла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дляпроизвольногографа

 

G справедливонеравенство

 

:

 

 

 

 

( ) ≤ ( ) + , где ( ) − максимумизстепенейвершин

 

графа

 

 

 

 

 

 

ТеоБруксаема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

связннеполного

 

графа G приусловии,что

. ( ) ≥ ,

 

 

справедливонеравенство

 

:

( ) ≤ ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечаниеокомпонентахсвязности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хроматическоечислографаравноксимумуиз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хроматическихчиселегомпонентсвязности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

Гипокраскахырехеза

любогопланарного графа

4

Теорема

любогопланарного графа

5

 

п

 

(субоптимальный

 

1.

графа

 

приписываем.

 

 

2.

Пустьраскрашены

вершинграфа

вцвета

1

k,где

k i.

 

 

 

!

приписываем

 

неиспользованный

а краске

 

сней

вершин.

последовательной

 

вы

 

 

бора

вершин

 

 

 

 

 

 

Напри

 

Впервом

вершинградлфая

 

 

 

:

 

b,

.Число,

 

 

 

правильной раскграфааски,равно

 

 

 

 

 

2

 

2

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

f

 

 

g

g

втором

оследовыбоатерадлраскраскиь ость

 

(a, b, d,

g)

правильнойраскраски

вершинграфа, 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

 

раскраска

 

 

 

 

 

 

 

, i, j

 

графа G V,

 

V

 

 

,

 

E

 

= q, c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицейсмежности

 

 

 

 

 

aij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пере

 

 

 

вершин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аибольшие

»

 

 

 

 

 

или

 

упорядочение

 

 

 

 

 

Упорядочиваемвершиныграфа

 

 

 

 

 

 

G впоряд

 

возрастаниястепеней

deg

i ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

графа G

 

последовательной

 

 

 

 

 

раскраски, изсписка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеют

степенидвухшаговыепени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

deg

vi )

маршрут2,и

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vi итак

.Рекурдляропределенияентнаямула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степени

вершиныграфа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gk

) =

aij

eg

 

 

v

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

j )

 

p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последними

 

 

 

 

 

 

 

» илиПН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в графесна

еипенью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

номер

 

 

.Удаляемэтусовсемией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ребрами.Вполученномнаходимв

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

номер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

(d,

b,

, g)

 

 

 

 

 

 

 

 

d,

b, a, g)

НП-

 

 

 

 

 

-

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

g

 

 

 

 

 

 

38

 

 

Раскраска

ребернаяраскраска

 

 

Пуесть

 

G =

| V |

| E | = q.

 

 

Реберной

k

 

 

называется

 

ϕ ,

 

 

отображение

множества реберграфа

в некоторое k-

 

 

множество

,т. е. ϕ : E

{a1,..., ak }

Если ϕ(e) =

,что

 

e окрашеновцвет

c.

 

Реберная

 

 

 

правильной,е лиребра

 

 

 

в .

 

 

 

 

Граф G называется k

 

слиуществуетправильная

k-

 

 

ребер.

 

 

 

 

число

 

 

существуправильнаяребернаят

 

k-

 

 

называется

ребернымхроматическимчислом

или

 

 

 

индексом.

 

 

Граф G

называется

 

-

хроматический

 

 

равен

k: χ!

) = k.

 

 

Множреб,окрашенстворопред ыхленный

 

 

 

 

K3

2

a

2

b

1

3

1

 

1

1

2

3

c

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

Хроматическийиндекс

 

графасчетнымчисломверш

ин

равен:

χʹ(K2n ) = 2n 1 исне етным

ʹ(K2n+1 ) = 2n + 1.

Примерможно

проиллюстрировать:

 

 

 

K4

a

3

b

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

c

 

d

 

 

 

3

 

Задклабораторнойние

 

 

Исходданграфные

G (13, {5, 6}).

 

1)

Планграфрный

работы№6

 

обозначить G1

(исходныйилипреобразованный),

а непланарный G

 

2)

Вычислить ипроанализировать

для плаинепланарного

графов верхниенижниеоц нкичисла.

 

 

 

3)

Последовраскраситьграфтельно

ы G и

G2, используя

алгоритм последовательнойраскраски,модификацииалгоритмаНП

 

- и

ПН-упорядочевершинием

.

 

 

4)

Найти хроматическоесло

хроматическийиндекс

графов G1

и G2. Ответобосновать.

 

 

 

5)

Сравнитьхроматическоечислографов

и G2 соценками,

полученнымианалитвзадан2врезультатеческипр трм нениях

 

 

 

алгоритм,взадании3Пр. оанавполученныеизировать

 

результаты.

6) Привестипримерграфа,укоторогочислокрасокзависеть

отпорядкаобходавершин.

40

Контрольныевопросы

1.Вершиннаяаскрасканеориентированныхграфов

2.Какаяраскрасканазываетсяправильной?

3.

Длякакихграфовмогутбытьпримененыалгоритмы

раскраски?

4.Какойграфназываютправильнораскрашенным?

5.Чтоназываетхроматическимчиграфа?ялом

6.Нижниеоценкихроматическогочислаграфа.

7.Вероценкихниероматическогочислаграфа.

8.Определениецветногокласса.

9.

СформулироватьтеоремуКенига

.

10.

Сформулироватьгипоче пятиырехезу

красок.

11.

Алгпоследовательнойритм

вершинной раскраскиграфов .

12.Последовательныеметодыраскрашива,основанна нияые

упорядочении множествавершин.

НПиПН -упорядочениевершин.

13.

k-шаговаястепеньвершины

рекурформулаеентная

вычисления.

 

14.Ребернраскраскаилияскраскаребер.

15.Правильреберраскраска,реберныйнаяцветнойкласс.

16.Опреберногоеделенхроматическогоилисла

хроматическогоиндекса.

17.Хроматическийиндексполныхграфов.